Permutasi dengan Objek yang Sama

Pengertian Permutasi dengan Objek yang Sama

Permutasi dengan objek yang sama adalah susunan objek dimana terdapat beberapa objek yang identik atau sama. Ketika ada objek yang sama, jumlah susunan yang berbeda akan berkurang karena pertukaran objek yang identik tidak menghasilkan susunan baru.

Bayangkan menyusun huruf dari kata "MAMA". Walaupun ada $4$ huruf, kita tidak bisa membedakan antara huruf $M$ yang pertama dengan $M$ yang kedua, atau $A$ yang pertama dengan $A$ yang kedua. Akibatnya, susunan yang terlihat berbeda tetapi menggunakan huruf yang sama di posisi berbeda dianggap identik.

Rumus Permutasi Objek Identik

Untuk permutasi $n$ objek dimana terdapat objek yang sama, rumus yang digunakan adalah:

Keterangan:

• $n$ = jumlah total objek
• $r_1, r_2, r_3, \ldots, r_k$ = banyaknya objek yang sama pada setiap kelompok
• $k$ = banyaknya kelompok objek yang identik

Cara mengidentifikasi objek yang sama: Hitung berapa kali setiap objek muncul dalam seluruh susunan, bukan hanya melihat objek yang berbeda.

Penerapan pada Kata dan Huruf

Contoh Kata KALIMANTAN

Mari kita hitung berapa banyak susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "KALIMANTAN".

Langkah identifikasi sistematis: Tulis huruf satu per satu: K-A-L-I-M-A-N-T-A-N

Total huruf: $10$

Identifikasi huruf: K muncul $1 \text{ kali}$, A muncul $3 \text{ kali}$ (posisi ke-$2$, ke-$6$, ke-$9$), L muncul $1 \text{ kali}$, I muncul $1 \text{ kali}$, M muncul $1 \text{ kali}$, N muncul $2 \text{ kali}$ (posisi ke-$7$, ke-$10$), T muncul $1 \text{ kali}$

Perhitungan:

Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:

Hitung langkah demi langkah:

• Bagi $10$ dengan $2$: $\frac{10}{2} = 5$
• Jadi: $5 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4$
• $= 5 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 302.400$

Contoh Kata PALAPA

Untuk kata "PALAPA" dengan $6$ huruf: Tulis huruf satu per satu: P-A-L-A-P-A

Identifikasi huruf: P muncul $2 \text{ kali}$ (posisi ke-$1$, ke-$5$), A muncul $3 \text{ kali}$ (posisi ke-$2$, ke-$4$, ke-$6$), L muncul $1 \text{ kali}$

Hitung setiap faktorial:

• $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
• $2! = 2 \times 1 = 2$
• $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Jadi, perhitungannya adalah:

Sederhanakan dengan membagi $6$ dengan $2$:

• $\frac{6}{2} = 3$
• Jadi: $3 \times 5 \times 4 = 60 \text{ susunan}$

Langkah Perhitungan Sistematis

Untuk menyelesaikan masalah permutasi dengan objek yang sama, ikuti langkah berikut:

1. Hitung total objek: Tentukan nilai $n$
2. Identifikasi objek sama: Kelompokkan objek yang identik
3. Hitung frekuensi: Tentukan berapa kali setiap objek muncul
4. Terapkan rumus: Masukkan ke dalam rumus permutasi
5. Hitung faktorial: Selesaikan perhitungan dengan teliti

Kata BANANA

Mari kita terapkan langkah-langkah ini untuk mencari susunan kata "BANANA":

1. Hitung total objek

   Tulis huruf satu per satu: B-A-N-A-N-A

   Total huruf: $n = 6$

2. Identifikasi objek sama

   Kelompokkan huruf yang identik:

   • Kelompok B: B
   • Kelompok A: A, A, A
   • Kelompok N: N, N

3. Hitung frekuensi

   Hitung berapa kali setiap huruf muncul:

   • B muncul $1 \text{ kali}$
   • A muncul $3 \text{ kali}$
   • N muncul $2 \text{ kali}$

4. Terapkan rumus

   Gunakan rumus permutasi dengan objek yang sama:

   $$P = \frac{n!}{r_1! \times r_2! \times r_3!}$$

   $$P = \frac{6!}{1! \times 3! \times 2!}$$

5. Hitung faktorial

   Sederhanakan pecahan terlebih dahulu:

   $$P = \frac{6!}{1! \times 3! \times 2!}$$

   $$= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{1! \times 3! \times 2!}$$

   $$= \frac{6 \times 5 \times 4}{1 \times 2!}$$

   $$= \frac{6 \times 5 \times 4}{2}$$

   Hitung dengan penyederhanaan:

   • Bagi $6$ dengan $2$: $\frac{6}{2} = 3$
   • Jadi: $3 \times 5 \times 4 = 60$

Jadi, kata "BANANA" dapat disusun dalam $60 \text{ cara}$ yang berbeda.

Perbedaan dengan Permutasi Biasa

Permutasi biasa: Semua objek berbeda, menggunakan rumus $n!$

Permutasi dengan objek sama: Ada objek identik, menggunakan rumus:

Contoh perbandingan:

Menyusun huruf A, B, C, D (semua berbeda): $4! = 24 \text{ cara}$

Menyusun huruf $A, A, B, C$ (ada yang sama):

Objek yang sama mengurangi jumlah susunan karena pertukaran objek identik tidak menghasilkan perbedaan.

Latihan

1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA"?

2. Sebuah toko bunga memiliki $8$ bunga mawar dimana $3$ berwarna merah, $3$ berwarna putih, dan $2$ berwarna kuning. Berapa banyak cara menyusun bunga tersebut dalam satu barisan?

3. Dari angka $1, 1, 2, 2, 2, 3$, berapa banyak bilangan $6$ digit yang dapat dibentuk?

4. Kata "INDONESIA" memiliki berapa banyak susunan huruf yang berbeda?

Kunci Jawaban

1. Kata "MATEMATIKA" memiliki $10$ huruf

   Huruf satu per satu: M-A-T-E-M-A-T-I-K-A

   Identifikasi huruf: M muncul $2 \text{ kali}$ (posisi ke-$1$, ke-$5$), A muncul $3 \text{ kali}$ (posisi ke-$2$, ke-$6$, ke-$10$), T muncul $2 \text{ kali}$ (posisi ke-$3$, ke-$7$), E muncul $1 \text{ kali}$, I muncul $1 \text{ kali}$, K muncul $1 \text{ kali}$

   Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:

   $$P = \frac{10!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!}$$

   $$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3! \times 2!}$$

   $$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2! \times 2!}$$

   $$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{4}$$

   Hitung dengan penyederhanaan:

   • Perhitungan lengkap: $10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 604.800$
   • Bagi dengan $4$: $\frac{604.800}{4} = 151.200 \text{ susunan}$

2. Total $8$ bunga dengan merah $3$, putih $3$, kuning $2$

   Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:

   $$P = \frac{8!}{3! \times 3! \times 2!}$$

   $$= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3! \times 2!}$$

   $$= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{3! \times 2!}$$

   $$= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 2}$$

   $$= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{12}$$

   Hitung dengan penyederhanaan:

   • Bagi $6$ dengan $12$: $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
   • Jadi: $8 \times 7 \times \frac{1}{2} \times 5 \times 4$
   • $= 4 \times 7 \times 5 \times 4 = 560 \text{ cara}$

3. Angka $1, 1, 2, 2, 2, 3$ (total $6$ digit)

   Identifikasi angka: angka $1$ muncul $2 \text{ kali}$, angka $2$ muncul $3 \text{ kali}$, angka $3$ muncul $1 \text{ kali}$

   Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:

   $$P = \frac{6!}{2! \times 3! \times 1!}$$

   $$= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3!}$$

   $$= \frac{6 \times 5 \times 4}{2!}$$

   $$= \frac{6 \times 5 \times 4}{2}$$

   Hitung dengan penyederhanaan:

   • Bagi $6$ dengan $2$: $\frac{6}{2} = 3$
   • Jadi: $3 \times 5 \times 4 = 60 \text{ bilangan}$

4. Kata "INDONESIA" memiliki $9$ huruf

   Huruf satu per satu: I-N-D-O-N-E-S-I-A

   Identifikasi huruf: I muncul $2 \text{ kali}$ (posisi ke-$1$, ke-$8$), N muncul $2 \text{ kali}$ (posisi ke-$2$, ke-$5$), D muncul $1 \text{ kali}$, O muncul $1 \text{ kali}$, E muncul $1 \text{ kali}$, S muncul $1 \text{ kali}$, A muncul $1 \text{ kali}$

   Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:

   $$P = \frac{9!}{2! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1!}$$

   $$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2! \times 2!}$$

   $$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{2!}$$

   $$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{2}$$

   Hitung dengan penyederhanaan:

   • Bagi dengan $2$: $\frac{8}{2} = 4$
   • Jadi: $9 \times 4 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3$
   • $= 9 \times 4 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 90.720 \text{ susunan}$