Permutasi Semua Objek

Pengertian Permutasi Semua Objek

Permutasi semua objek adalah susunan semua objek yang tersedia, yaitu $n$ item dari $n$ objek, dimana setiap objek digunakan tepat satu kali dan urutan penyusunannya sangat penting. Dalam kasus ini, kita menggunakan seluruh objek yang ada tanpa ada yang tersisa.

Bayangkan seperti menyusun barisan foto untuk $5 \text{ siswa}$. Kelima siswa tersebut disusun dalam satu barisan. Setiap siswa mendapat satu posisi, tidak ada yang duduk di bangku cadangan, dan posisi Andi di depan atau di belakang memberikan hasil yang berbeda.

Rumus Permutasi Lengkap

Untuk permutasi $n$ item dari $n$ objek, rumus yang digunakan adalah:

Penjelasan mengapa rumus ini menjadi sederhana:

• $(n-n) = 0$, sehingga penyebutnya menjadi $0!$
• Berdasarkan definisi matematis, $0! = 1$
• Oleh karena itu: $\frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n!$

Jadi, rumusnya adalah:

Konsep Faktorial

Faktorial adalah perkalian berturut-turut dari bilangan bulat positif. Faktorial dari bilangan $n$ ditulis sebagai $n!$ dan didefinisikan sebagai:

Aturan khusus untuk faktorial:

• $0! = 1$ (berdasarkan definisi matematis)
• $1! = 1$

Penerapan dalam Kehidupan Sehari-hari

Organisasi Sekolah

Misalkan ada $4 \text{ siswa}$ yang akan mengisi $4$ posisi dalam kepengurusan kelas: ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara. Setiap siswa hanya dapat memegang satu jabatan.

Banyaknya cara menyusun kepengurusan tersebut adalah:

Susunan Tempat Duduk

Sebuah keluarga yang terdiri dari $6$ anggota akan duduk berjajar di sofa untuk foto keluarga. Banyaknya cara mereka dapat disusun adalah:

Langkah Perhitungan Sistematis

Untuk menghitung permutasi $n$ item dari $n$ objek, ikuti langkah berikut:

1. Identifikasi jumlah objek: Pastikan semua objek akan digunakan
2. Terapkan rumus: Gunakan $n!$
3. Hitung faktorial: Kalikan berturut-turut dari $n$ sampai $1$
4. Verifikasi hasil: Pastikan perhitungan sudah benar

Perhitungan Detail

Menghitung $5!$ dengan langkah-langkah yang jelas:

Perbedaan dengan Permutasi Sebagian

Permutasi lengkap ($n$ dari $n$ objek): Menggunakan semua objek yang tersedia. Permutasi sebagian ($r$ dari $n$ objek): Hanya menggunakan sebagian objek.

Contoh konkret:

• Permutasi lengkap: Menyusun $5 \text{ buku}$ dalam $5 \text{ posisi}$ di rak adalah $5! = 120 \text{ cara}$
• Permutasi sebagian: Memilih dan menyusun $3 \text{ buku}$ dari $5 \text{ buku}$ yang ada adalah $5P_3 = 60 \text{ cara}$

Perhitungan detail untuk permutasi sebagian:

Dalam permutasi $n$ item dari $n$ objek, tidak ada objek yang tersisa dan semua posisi harus diisi.

Latihan

1. Sebuah tim fotografer ingin menyusun $7 \text{ model}$ untuk sesi foto dalam satu barisan. Berapa banyak cara berbeda mereka dapat menyusun ketujuh model tersebut?

2. Dalam sebuah perlombaan lari, terdapat $5 \text{ peserta}$ yang semuanya harus finis. Berapa banyak kemungkinan urutan finis yang berbeda?

3. Seorang chef ingin menata $6 \text{ jenis makanan}$ berbeda di atas meja dalam satu barisan lurus. Berapa banyak cara berbeda ia dapat menata makanan tersebut?

4. Sebuah perpustakaan memiliki $8 \text{ buku}$ berbeda yang akan disusun dalam satu rak. Jika semua buku harus diletakkan di rak tersebut, berapa banyak cara penyusunan yang mungkin?

Kunci Jawaban

1. Diketahui: $7 \text{ model}$ akan disusun dalam satu barisan (semua model digunakan)

   $$7P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \text{ cara}$$

2. Diketahui: $5 \text{ peserta lari}$ dengan urutan finis yang berbeda (semua peserta finis)

   $$5P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \text{ kemungkinan urutan}$$

3. Diketahui: $6 \text{ jenis makanan}$ akan ditata dalam satu barisan lurus (semua makanan ditata)

   $$6P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \text{ cara}$$

4. Diketahui: $8 \text{ buku}$ berbeda akan disusun dalam satu rak (semua buku disusun)

   $$8P_8 = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \text{ cara}$$