Fungsi Distribusi Binomial

Mengenal Jacob Bernoulli

Jacob Bernoulli, yang juga dikenal sebagai James atau Jacques, adalah salah satu matematikawan terkemuka dari keluarga Bernoulli. Dia adalah pelopor pertama dalam analisis Leibnizian dan mendukung Leibniz dalam perdebatan kalkulus melawan Newton.

Jacob Bernoulli terkenal karena banyak kontribusinya untuk kalkulus. Dia adalah salah satu pendiri kalkulus variasi dan mengusulkan versi pertama dari hukum bilangan besar dalam bukunya "Ars Conjectandi" yang diterbitkan pada tahun 1713. Salah satu pembahasan penting dalam buku tersebut adalah mengenai percobaan binomial.

Kombinasi dan Peluang Dasar

Sebelum masuk ke distribusi binomial, ada beberapa rumus dasar yang perlu kita kuasai dulu.

Pertama, rumus kombinasi untuk memilih objek:

Kedua, faktorial (perkalian berurutan):

Dan yang ketiga, hubungan peluang kejadian dan kebalikannya:

dengan $P(A)$ adalah peluang kejadian terjadi dan $P(A^c)$ adalah peluang kejadian tidak terjadi.

Konsep Distribusi Binomial

Distribusi binomial itu sebenarnya konsep yang cukup sederhana kalau kita pahami dari dasarnya. Bayangkan kamu sedang melakukan percobaan yang hanya punya dua kemungkinan hasil: berhasil atau gagal. Contohnya seperti melempar koin yang hanya bisa menghasilkan angka atau gambar.

Distribusi binomial digunakan ketika kita melakukan percobaan yang sama berulang kali dengan kondisi yang tetap sama. Yang penting, setiap percobaan bersifat independen (tidak saling mempengaruhi) - artinya hasil percobaan sebelumnya tidak mempengaruhi percobaan berikutnya.

Syarat-syarat percobaan binomial:

• Hanya ada dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal

• Jumlah percobaan sudah ditentukan dan tetap

• Setiap percobaan saling independen

• Peluang sukses sama untuk setiap percobaan

Rumus Distribusi Binomial

Jika ada percobaan binomial dengan peluang berhasil $p$ dan peluang gagal $q = 1 - p$, maka rumus untuk menghitung peluang mendapatkan tepat $x$ keberhasilan dalam $n$ percobaan independen adalah:

Keterangan:

• $n$ = jumlah percobaan yang dilakukan

• $x$ = jumlah keberhasilan yang kita inginkan

• $p$ = peluang berhasil dalam satu percobaan

• $q = 1-p$ = peluang gagal dalam satu percobaan

Jadi, untuk menggunakan rumus ini, pastikan dulu percobaan yang kita hadapi memenuhi syarat-syarat binomial yang sudah disebutkan tadi.

Percobaan Koin

Mari kita lihat contoh sederhana. Misalkan kita punya koin yang seimbang. Kita sebut angka sebagai "A" dan gambar sebagai "G", jadi ruang sampelnya $S = \{A,G\}$.

Kalau kita anggap mendapatkan gambar sebagai "berhasil", maka peluang berhasilnya $p = \frac{1}{2}$. Otomatis, peluang gagal (mendapatkan angka) adalah $q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Soal: Jika kita melempar koin ini $7$ kali berturut-turut, berapa peluang mendapatkan gambar sebanyak $5$ kali?

Penyelesaian:

Kita identifikasi dulu parameternya:

• $n = 7$ (jumlah lemparan)
• $x = 5$ (jumlah gambar yang diinginkan)
• $p = \frac{1}{2}$ (peluang mendapatkan gambar)
• $q = \frac{1}{2}$ (peluang mendapatkan angka)

Sekarang kita gunakan rumus distribusi binomial:

Mari kita hitung $\binom{7}{5}$ terlebih dahulu:

Jadi perhitungan lengkapnya:

Jadi, peluang mendapatkan $5$ gambar dalam $7$ kali lemparan adalah $\frac{21}{128}$ atau sekitar $16{,}4\%$.

Latihan

1. Di sebuah kantong ada $10$ bola yang sama persis, kecuali warnanya: $6$ bola merah dan $4$ bola biru. Kalau kita ambil $5$ bola satu per satu dengan pengembalian (setiap bola yang diambil dikembalikan lagi), berapa peluang terambilnya tepat $3$ bola merah?

2. Seorang pemanah punya tingkat akurasi $80\%$ untuk mengenai target. Kalau dia memanah $6$ kali, berapa peluang dia mengenai target tepat $4$ kali?

3. Ada ujian pilihan ganda dengan $4$ pilihan jawaban di setiap soal. Seorang siswa menebak semua jawaban secara acak untuk $8$ soal. Berapa peluang dia menjawab benar tepat $2$ soal?

Kunci Jawaban

1. Jawaban Soal Bola Merah

   Langkah 1: Identifikasi parameter.

   • $n = 5$ (jumlah pengambilan)
   • $x = 3$ (jumlah bola merah yang diinginkan)
   • $p = \frac{6}{10} = 0{,}6$ (peluang terambil bola merah)
   • $q = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$ (peluang terambil bola biru)

   Langkah 2: Hitung menggunakan rumus distribusi binomial.

   $$b(3;5,0{,}6) = \binom{5}{3} (0{,}6)^3 (0{,}4)^2$$

   Mari hitung $\binom{5}{3}$ dulu:

   $$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

   Kemudian:

   $$= 10 \times (0{,}6)^3 \times (0{,}4)^2$$

   $$= 10 \times 0{,}216 \times 0{,}16 = 0{,}3456$$

   Jadi, peluang terambilnya tepat $3$ bola merah adalah $0{,}3456$ atau sekitar $34{,}6\%$.

2. Jawaban Soal Pemanah

   Langkah 1: Identifikasi parameter.

   • $n = 6$ (jumlah panahan)
   • $x = 4$ (jumlah target yang diinginkan)
   • $p = 0{,}8$ (peluang mengenai target)
   • $q = 0{,}2$ (peluang meleset)

   Langkah 2: Hitung menggunakan rumus distribusi binomial.

   $$b(4;6,0{,}8) = \binom{6}{4} (0{,}8)^4 (0{,}2)^2$$

   Mari hitung $\binom{6}{4}$ dulu:

   $$\binom{6}{4} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$

   Kemudian:

   $$= 15 \times (0{,}8)^4 \times (0{,}2)^2$$

   $$= 15 \times 0{,}4096 \times 0{,}04 = 0{,}2458$$

   Jadi, peluang pemanah mengenai target tepat $4$ kali adalah $0{,}2458$ atau sekitar $24{,}6\%$.

3. Jawaban Soal Ujian Pilihan Ganda

   Langkah 1: Identifikasi parameter.

   • $n = 8$ (jumlah soal)
   • $x = 2$ (jumlah jawaban benar yang diinginkan)
   • $p = \frac{1}{4} = 0{,}25$ (peluang menjawab benar dengan menebak)
   • $q = \frac{3}{4} = 0{,}75$ (peluang menjawab salah)

   Langkah 2: Hitung menggunakan rumus distribusi binomial.

   $$b(2;8,0{,}25) = \binom{8}{2} (0{,}25)^2 (0{,}75)^6$$

   Mari hitung $\binom{8}{2}$ dulu:

   $$\binom{8}{2} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$$

   Kemudian:

   $$= 28 \times (0{,}25)^2 \times (0{,}75)^6$$

   $$= 28 \times 0{,}0625 \times 0{,}178 = 0{,}3115$$

   Jadi, peluang siswa menjawab benar tepat $2$ soal adalah $0{,}3115$ atau sekitar $31{,}2\%$.