Nilai Harapan Distribusi Binomial

Memahami Konsep Nilai Harapan

Bayangkan kamu adalah seorang pemain basket. Secara rata-rata, dari $10$ kali lemparan bebas, kamu berhasil memasukkan bola sebanyak $8$ kali. Nah, angka $8$ ini bisa kita sebut sebagai nilai harapan atau ekspektasi keberhasilanmu.

Secara sederhana, nilai harapan adalah nilai rata-rata yang kita harapkan terjadi dari sebuah percobaan jika percobaan itu diulang berkali-kali dalam kondisi yang sama. Ini bukan berarti kamu pasti akan mendapatkan hasil itu setiap kali, tapi ini adalah prediksi rata-rata jangka panjangnya.

Rumus Harapan untuk Binomial

Konsep ini sangat berguna dalam distribusi binomial. Ingat, distribusi binomial dipakai untuk percobaan yang hasilnya hanya ada dua (sukses atau gagal) dan dilakukan berulang-ulang. Nilai harapan binomial membantu kita memprediksi berapa banyak keberhasilan yang paling mungkin kita dapatkan.

Distribusi binomial $b(x;n,p)$ memiliki nilai harapan:

dengan $n$ adalah banyaknya percobaan dan $p$ adalah peluang keberhasilan.

Rumus ini sangat intuitif. Jika peluang sukses dalam satu kali coba adalah $p$, maka dalam $n$ kali percobaan, harapan suksesnya adalah:

Dari Mana Rumusnya Berasal?

Mungkin kamu penasaran, kenapa rumusnya sesederhana itu? Mari kita bedah logikanya.

Setiap percobaan dalam distribusi binomial bisa kita anggap sebagai variabel acak kecil, sebut saja $I_k$. Variabel ini bernilai $1$ jika percobaan ke-$k$ sukses, dan $0$ jika gagal.

Nilai harapan untuk satu percobaan tunggal adalah:

Karena jumlah total keberhasilan ($X$) adalah jumlah dari semua keberhasilan di setiap percobaan, maka:

Dengan menggunakan sifat nilai harapan, kita bisa menjumlahkan semua nilai harapan dari setiap percobaan:

Terbukti, kan? Nilai harapan totalnya adalah hasil kali dari jumlah percobaan dengan peluang keberhasilannya.

Studi Kasus Lempar Dadu

Mari kita terapkan konsep ini pada sebuah contoh.

Soal:

Sebuah dadu seimbang dilempar sebanyak $7$ kali. Berapa nilai harapan untuk munculnya mata dadu lima dari seluruh lemparan tersebut?

Penyelesaian:

Pertama, mari kita pastikan bahwa ini memenuhi syarat distribusi binomial:

• Hanya ada dua kemungkinan: sukses (keluar angka $5$) atau gagal (keluar angka selain $5$)
• Jumlah percobaan tetap: $7$ kali
• Setiap lemparan independen: hasil lemparan sebelumnya tidak mempengaruhi lemparan berikutnya
• Peluang sukses sama: $p = \frac{1}{6}$ di setiap lemparan

Sekarang kita identifikasi parameternya:

Sekarang kita bisa langsung hitung nilai harapannya menggunakan rumus:

Jadi, apa artinya angka $1.167$ ini?

Nilai harapan $1.167$ bukan berarti kamu akan mendapat "$1.167$ kali" angka $5$ dalam satu eksperimen (karena itu tidak mungkin). Yang dimaksud adalah: jika kamu mengulangi eksperimen "lempar dadu $7$ kali" ini ratusan atau ribuan kali, maka rata-rata kamu akan mendapat angka $5$ sekitar $1.167$ kali per set $7$ lemparan.

Dalam praktiknya, dalam satu set $7$ lemparan, kamu mungkin mendapat angka $5$ sebanyak $0$, $1$, $2$, atau bahkan $3$ kali. Tapi kalau dirata-ratakan dalam jangka panjang, hasilnya akan mendekati $1.167$.