Nilai Harapan Distribusi Normal

Konsep Dasar Nilai Harapan

Pernahkah kamu bertanya-tanya, jika kita mengambil sampel berulang kali dari distribusi normal, berapa nilai yang paling sering muncul? Atau dengan kata lain, apa nilai tengah yang diharapkan dari distribusi tersebut?

Inilah yang disebut nilai harapan atau expected value. Dalam konteks distribusi normal, nilai harapan memiliki sifat yang sangat menarik dan sederhana.

Untuk distribusi normal $n(x; \mu, \sigma)$ , nilai harapannya selalu sama dengan parameter rata-rata $\mu$ .

Secara matematis, kita dapat menuliskan:

E(X) = \mu

di mana $X$ adalah variabel acak yang mengikuti distribusi normal dan $\mu$ adalah parameter rata-rata dari distribusi tersebut.

Mengapa demikian? Mari kita buktikan secara matematis.

Pembuktian Matematis

Nilai harapan suatu variabel acak kontinu didefinisikan sebagai:

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx

Untuk distribusi normal, fungsi kepadatan peluangnya adalah:

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}

Substitusikan fungsi ini ke dalam rumus nilai harapan:

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \, dx

Sekarang, mari kita lakukan substitusi $t = \frac{x-\mu}{\sigma}$ . Maka $x = \sigma t + \mu$ dan $dx = \sigma \, dt$ .

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (\sigma t + \mu) \cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} \cdot \sigma \, dt

E(X) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} (\sigma t + \mu) e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt

E(X) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} t e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt + \frac{\mu}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt

Perhatikan bahwa:

Integral pertama $\int_{-\infty}^{\infty} t e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt = 0$ karena fungsi $t e^{-\frac{1}{2}t^2}$ adalah fungsi ganjil. Artinya, $f(-t) = -f(t)$ , sehingga ketika diintegralkan pada interval simetris $[-\infty, \infty]$ , hasilnya saling meniadakan dan bernilai nol.
Integral kedua $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt = \sqrt{2\pi}$ karena ini adalah integral Gaussian fundamental. Integral ini merupakan luas total di bawah kurva distribusi normal standar, yang selalu bernilai $\sqrt{2\pi}$ .

Maka:

E(X) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \cdot 0 + \frac{\mu}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2\pi}

E(X) = 0 + \mu = \mu

Terbukti bahwa nilai harapan distribusi normal sama dengan parameter rata-ratanya.

Untuk setiap distribusi normal $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ , berlaku $E(X) = \mu$ . Ini berarti kita tidak perlu melakukan integrasi setiap kali menghitung nilai harapan distribusi normal, cukup menggunakan nilai parameter $\mu$ .

Interpretasi Praktis

Hasil pembuktian di atas memberikan pemahaman yang sangat penting:

Jika kita memiliki distribusi normal dengan rata-rata $\mu$ dan standar deviasi $\sigma$ , maka nilai harapan (expected value) dari variabel acak tersebut adalah tepat $\mu$ . Artinya, jika kita mengambil sampel dalam jumlah sangat besar dan menghitung rata-ratanya, hasilnya akan mendekati nilai $\mu$ .

Contoh sederhana:

Jika tinggi badan siswa di sekolahmu terdistribusi normal dengan rata-rata $165$ cm, maka nilai harapan tinggi badan siswa yang dipilih secara acak adalah $165$ cm.

Contoh Penerapan

Contoh 1

Misalkan hasil ujian matematika di suatu kelas terdistribusi normal dengan rata-rata $\mu = 75$ dan standar deviasi $\sigma = 10$ . Berapakah nilai harapan skor ujian seorang siswa?

Penyelesaian:

Karena distribusi normal memiliki sifat $E(X) = \mu$ , maka nilai harapan skor ujian adalah:

E(X) = 75

Jadi, nilai harapan skor ujian seorang siswa adalah $75$ .

Contoh 2

Berat bayi yang baru lahir di suatu rumah sakit terdistribusi normal dengan rata-rata $3.200$ gram dan standar deviasi $400$ gram. Tentukan nilai harapan berat bayi yang akan lahir!

Penyelesaian:

Diketahui $\mu = 3.200$ gram dan $\sigma = 400$ gram.

Nilai harapan berat bayi yang akan lahir adalah:

E(X) = \mu = 3.200 \text{ gram}

Latihan

Waktu tempuh perjalanan dari rumah ke sekolah terdistribusi normal dengan rata-rata $25$ menit dan standar deviasi $5$ menit. Tentukan nilai harapan waktu tempuh perjalanan!
Suhu udara harian di kota Jakarta selama bulan Juni terdistribusi normal dengan rata-rata $28°C$ dan standar deviasi $3°C$ . Berapa nilai harapan suhu udara pada hari yang dipilih secara acak?
Nilai ujian fisika siswa kelas 12 terdistribusi normal dengan rata-rata $78$ dan standar deviasi $12$ . Jika seorang siswa mengikuti ujian, berapa nilai harapan yang akan diperolehnya?

Kunci Jawaban

Penyelesaian Soal 1:

Diketahui: $\mu = 25$ menit, $\sigma = 5$ menit

Karena distribusi normal memiliki sifat $E(X) = \mu$ , maka:

$E(X) = 25 \text{ menit}$

Jawaban: Nilai harapan waktu tempuh perjalanan adalah $25$ menit.
Penyelesaian Soal 2:

Diketahui: $\mu = 28°C$ , $\sigma = 3°C$

Menggunakan sifat dasar distribusi normal:

$E(X) = \mu = 28°C$

Jawaban: Nilai harapan suhu udara adalah $28°C$ .
Penyelesaian Soal 3:

Diketahui: $\mu = 78$ , $\sigma = 12$

Berdasarkan sifat fundamental distribusi normal:

$E(X) = \mu = 78$

Jawaban: Nilai harapan yang akan diperoleh siswa adalah $78$ .