Fungsi Distribusi Normal

Mengenal Distribusi Normal

Tahukah kamu bahwa tinggi badan siswa di sekolahmu, nilai ujian nasional, atau bahkan berat buah apel di supermarket semuanya mengikuti pola yang sama? Pola ini disebut distribusi normal.

Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de Moivre pada tahun $1733$ sebagai pendekatan dari distribusi binomial untuk $n$ yang besar. Kemudian, Pierre-Simon Laplace mengembangkannya lebih lanjut dan dikenal sebagai Teorema More Blue Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk menganalisis kesalahan dalam percobaan.

Distribusi normal sangat berguna karena banyak fenomena alam dan sosial yang mengikuti pola ini. Dari tinggi badan manusia hingga hasil pengukuran ilmiah, semuanya cenderung terdistribusi normal.

Karakteristik Kurva Normal

Bayangkan sebuah bukit yang sangat simetris, seperti lonceng terbalik. Itulah bentuk kurva distribusi normal. Mari kita lihat visualisasi kurva normal standar dengan $\mu = 0$ dan $\sigma = 1$:

Kurva ini memiliki beberapa karakteristik unik yang membuatnya istimewa:

1. Bentuk dan Simetri

   Kurva berbentuk seperti lonceng dan simetris terhadap garis vertikal yang melewati rata-rata ($\mu$). Artinya, bagian kiri dan kanan kurva adalah cerminan sempurna satu sama lain.

2. Titik Pusat

   Mean, median, dan modus semua berada di titik yang sama, yaitu di puncak kurva. Ini terjadi karena distribusinya simetris.

3. Titik Belok

   Kurva memiliki titik belok di $x = \mu \pm \sigma$, yang berarti kurva berubah dari cekung ke cembung (atau sebaliknya) pada jarak satu standar deviasi dari mean.

4. Asimtot Horizontal

   Kurva mendekati sumbu $x$ tapi tidak pernah menyentuhnya, baik di ujung kiri maupun kanan.

Fungsi Matematisnya

Nah, sekarang mari kita lihat rumus matematisnya. Jangan khawatir kalau terlihat rumit, yang penting kamu paham konsepnya.

Jika $X$ adalah variabel acak normal dengan rata-rata $\mu$ dan varians $\sigma^2$, maka fungsi distribusi normal dapat dituliskan:

untuk $-\infty < x < \infty$.

Di mana:

• $\pi$ adalah konstanta $3.1416$
• $e$ adalah bilangan konstan $2.7183$
• $\mu$ adalah rata-rata distribusi
• $\sigma$ adalah simpangan baku

Rumus ini terlihat kompleks, tapi kamu tidak perlu menghafal atau menghitung secara manual. Yang penting adalah memahami bahwa bentuk kurva ditentukan oleh nilai $\mu$ dan $\sigma$.

Transformasi ke Normal Standar

Dalam praktik, kita sering menggunakan distribusi normal standar dengan rata-rata $\mu = 0$ dan simpangan baku $\sigma = 1$. Untuk mengubah distribusi normal biasa menjadi normal standar, kita menggunakan transformasi:

Variabel $Z$ ini disebut skor standar atau z-score. Transformasi ini sangat berguna karena memungkinkan kita menggunakan tabel distribusi normal standar yang sudah tersedia.

Mengapa menggunakan z-score?

Dengan transformasi ini, kita bisa membandingkan data dari distribusi yang berbeda. Misalnya, kamu bisa membandingkan nilai matematika dengan nilai fisika, meskipun rata-rata dan standar deviasinya berbeda.

Contoh Perhitungan

Mari kita lihat contoh praktis. Misalkan distribusi normal dengan $\mu = 50$ dan $\sigma = 10$. Kita ingin mencari peluang bahwa $X$ berada antara $45$ dan $62$.

Langkah 1: Transformasi ke z-score

Langkah 2: Gunakan tabel distribusi normal standar

Kita perlu mencari $P(-0.5 < Z < 1.2)$. Ingat bahwa untuk interval peluang, kita menggunakan rumus:

Dari tabel distribusi normal standar:

• $P(Z < -0.5) = 0.3085$
• $P(Z < 1.2) = 0.8849$

Langkah 3: Hitung peluang akhir

Jadi, peluang bahwa $X$ berada antara $45$ dan $62$ adalah $0.5764$ atau sekitar $57.64\%$.