Konsep Turunan Fungsi

Ide di Balik Turunan

Coba bayangkan kita sedang mengendarai sepeda di jalan yang berbukit-bukit. Terkadang jalanan menanjak tajam, terkadang landai. Kemiringan jalan di setiap titik yang kita lalui pasti berbeda-beda. Dalam matematika, grafik sebuah fungsi bisa diibaratkan seperti jalan berbukit tersebut.

Untuk garis lurus, kemiringannya selalu sama di setiap titik. Namun, untuk kurva yang melengkung, kemiringannya terus berubah. Nah, turunan adalah alat canggih dalam matematika yang memungkinkan kita untuk menemukan kemiringan atau laju perubahan yang tepat di satu titik spesifik pada sebuah kurva.

Gradien Garis Sekan

Untuk memahami konsep turunan, mari kita mulai dengan sesuatu yang lebih sederhana: garis sekan (atau garis potong). Garis sekan adalah sebuah garis lurus yang memotong kurva di dua titik yang berbeda.

Misalkan kita punya sebuah kurva dari fungsi $y = f(x)$ . Kita pilih dua titik pada kurva itu, sebut saja titik $P(x, f(x))$ dan titik $Q(x+\Delta x, f(x+\Delta x))$ . Di sini, $\Delta x$ (dibaca "delta x") melambangkan perubahan kecil pada nilai $x$ .

Kemiringan (gradien) dari garis sekan yang melalui titik $P$ dan $Q$ dapat dihitung dengan rumus yang sudah kita kenal:

m_{\text{sekan}} = \frac{\text{perubahan } y}{\text{perubahan } x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Gradien garis sekan ini memberi kita gambaran rata-rata laju perubahan fungsi $f(x)$ antara titik $P$ dan $Q$ .

Visualisasi Garis Sekan dan Garis Singgung

Perhatikan bagaimana garis sekan menghubungkan dua titik pada kurva

y=x^2

, sementara garis singgung hanya menyentuh kurva di satu titik. Garis singgung menunjukkan kemiringan kurva di titik tersebut.

Dari Garis Sekan ke Garis Singgung

Sekarang, apa yang terjadi jika kita menggerakkan titik $Q$ semakin dekat ke titik $P$ ? Jarak antara keduanya, yaitu $\Delta x$ , akan menjadi sangat kecil, mendekati nol.

Ketika $\Delta x \to 0$ (dibaca "delta x mendekati nol"), garis sekan yang kita punya akan berangsur-angsur berubah menjadi sebuah garis singgung. Garis singgung adalah garis yang hanya menyentuh kurva di tepat satu titik (dalam kasus ini, titik $P$ ).

Kemiringan dari garis singgung inilah yang merepresentasikan kemiringan kurva yang sesungguhnya di titik $P$ . Untuk menemukannya, kita menggunakan konsep limit.

m_{\text{singgung}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Definisi Turunan

Limit dari gradien garis sekan saat $\Delta x$ mendekati nol ini sangatlah penting sehingga ia diberi nama khusus: turunan.

Turunan dari sebuah fungsi $f(x)$ , yang dinotasikan sebagai $f'(x)$ (dibaca "f aksen x"), didefinisikan sebagai:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Proses untuk menemukan turunan ini disebut diferensiasi.

Turunan $f'(x)$ pada dasarnya adalah sebuah fungsi baru yang memberitahu kita laju perubahan sesaat (atau kemiringan garis singgung) dari fungsi asli $f(x)$ di setiap titik $x$ di mana limitnya ada. Ini adalah fondasi dari kalkulus diferensial.

Command Palette

Ide di Balik Turunan

Gradien Garis Sekan

Dari Garis Sekan ke Garis Singgung

Definisi Turunan