Kombinasi Transformasi Fungsi

Pengertian Kombinasi Transformasi

Kombinasi transformasi adalah penerapan dua atau lebih transformasi secara berurutan pada suatu fungsi. Bayangkan seperti memasak dengan beberapa langkah: pertama kita potong sayuran, lalu tumis, kemudian tambahkan bumbu. Setiap langkah mengubah bahan dasar menjadi bentuk yang berbeda.

Dalam matematika, kita dapat menggabungkan translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi untuk menghasilkan transformasi yang lebih kompleks. Urutan penerapan transformasi sangat penting karena hasil akhirnya dapat berbeda.

Jenis Kombinasi Transformasi

Kombinasi Transformasi Vertikal

Transformasi vertikal melibatkan perubahan pada sumbu y. Kombinasi yang umum adalah translasi vertikal diikuti dengan dilatasi vertikal.

Untuk fungsi $f(x)$ yang mengalami translasi vertikal sebesar $b$ kemudian dilatasi vertikal dengan faktor $k$, rumusnya menjadi:

Kombinasi Transformasi Horizontal

Transformasi horizontal mempengaruhi sumbu x. Contohnya adalah refleksi terhadap sumbu y diikuti dengan translasi horizontal.

Untuk fungsi $f(x)$ yang direfleksikan terhadap sumbu y kemudian ditranslasi horizontal sebesar $a$, rumusnya adalah:

Visualisasi Kombinasi Transformasi

Mari kita lihat bagaimana kombinasi transformasi mempengaruhi fungsi kuadrat $f(x) = x^2$:

Langkah Perhitungan:

1. Fungsi Awal: $f(x) = x^2$

2. Langkah 1 - Translasi Vertikal: Geser 2 unit ke atas

   $$f_1(x) = f(x) + 2 = x^2 + 2$$

3. Langkah 2 - Dilatasi Vertikal: Kalikan dengan faktor 0.5

   $$g(x) = 0.5 \cdot f_1(x) = 0.5(x^2 + 2) = 0.5x^2 + 1$$

Contoh Perhitungan untuk $x = 2$:

• Fungsi awal: $f(2) = 2^2 = 4$
• Setelah translasi: $f_1(2) = 4 + 2 = 6$
• Setelah dilatasi: $g(2) = 0.5 \times 6 = 3$

Jika kita visualisasikan, maka akan terlihat seperti ini:

Urutan Transformasi

Urutan penerapan transformasi sangat mempengaruhi hasil akhir. Mari kita bandingkan dua urutan yang berbeda:

Perbandingan Urutan Transformasi:

Urutan A: Dilatasi dulu, lalu translasi

1. Fungsi awal: $f(x) = x^2$
2. Dilatasi vertikal dengan faktor 2: $h_1(x) = 2 \cdot f(x) = 2x^2$
3. Translasi vertikal +1: $h_A(x) = h_1(x) + 1 = 2x^2 + 1$

Urutan B: Translasi dulu, lalu dilatasi

1. Fungsi awal: $f(x) = x^2$
2. Translasi vertikal +1: $h_2(x) = f(x) + 1 = x^2 + 1$
3. Dilatasi vertikal dengan faktor 2: $h_B(x) = 2 \cdot h_2(x) = 2(x^2 + 1) = 2x^2 + 2$

Contoh Perhitungan untuk $x = 1$:

Urutan A:

• Fungsi awal: $f(1) = 1^2 = 1$
• Setelah dilatasi: $h_1(1) = 2 \times 1 = 2$
• Setelah translasi: $h_A(1) = 2 + 1 = 3$

Urutan B:

• Fungsi awal: $f(1) = 1^2 = 1$
• Setelah translasi: $h_2(1) = 1 + 1 = 2$
• Setelah dilatasi: $h_B(1) = 2 \times 2 = 4$

Terlihat bahwa hasil akhirnya berbeda: $h_A(1) = 3$ sedangkan $h_B(1) = 4$.

Transformasi Horizontal Kombinasi

Untuk transformasi horizontal, kita dapat menggabungkan refleksi dan translasi:

Langkah Perhitungan Transformasi Horizontal:

1. Fungsi Awal: $f(x) = 1.5^x$

2. Langkah 1 - Refleksi terhadap sumbu y: Ganti x dengan -x

   $$f_1(x) = f(-x) = 1.5^{-x}$$

3. Langkah 2 - Translasi horizontal: Geser 2 unit ke kanan

   $$g(x) = f_1(x-2) = 1.5^{-(x-2)} = 1.5^{-x+2}$$

Contoh Perhitungan untuk $x = 3$:

• Fungsi awal: $f(3) = 1.5^3 = 3.375$
• Setelah refleksi: $f_1(3) = 1.5^{-3} = \frac{1}{3.375} \approx 0.296$
• Setelah translasi: $g(3) = 1.5^{-(3-2)} = 1.5^{-1} = \frac{1}{1.5} \approx 0.667$

Mari kita visualisasikan transformasi ini:

Sifat Kombinasi Transformasi

Kombinasi transformasi memiliki beberapa sifat penting:

• Tidak Komutatif: Urutan transformasi mempengaruhi hasil akhir
• Dapat Disederhanakan: Beberapa kombinasi dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana
• Mempertahankan Kontinuitas: Jika fungsi asli kontinu, hasil transformasi juga kontinu

Latihan

1. Fungsi $f(x) = x^2$ ditranslasi vertikal 3 unit ke atas, kemudian dilatasi vertikal dengan faktor $\frac{1}{2}$. Tentukan rumus fungsi hasil transformasi.

2. Fungsi $g(x) = 2^x$ direfleksikan terhadap sumbu y, kemudian ditranslasi horizontal 1 unit ke kanan. Tuliskan rumus fungsi hasil transformasi.

3. Bandingkan hasil transformasi fungsi $h(x) = x^2$ dengan dua urutan berbeda:

   • Urutan A: Dilatasi vertikal faktor 3, lalu translasi vertikal 2 unit ke atas
   • Urutan B: Translasi vertikal 2 unit ke atas, lalu dilatasi vertikal faktor 3

4. Fungsi $f(x) = \sqrt{x}$ mengalami kombinasi transformasi sehingga menjadi $g(x) = 2\sqrt{x + 3} - 1$. Sebutkan transformasi apa saja yang terjadi dan urutannya.

5. Tentukan rumus fungsi hasil transformasi jika $f(x) = |x|$ ditranslasi horizontal 2 unit ke kiri, direfleksikan terhadap sumbu x, kemudian dilatasi vertikal dengan faktor 3.

Kunci Jawaban

1. Transformasi bertahap pada $f(x) = x^2$:

   Langkah 1: Translasi vertikal +3

   $$f_1(x) = x^2 + 3$$

   Langkah 2: Dilatasi vertikal dengan faktor $\frac{1}{2}$

   $$g(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 3) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}$$

   Jadi rumus fungsi hasil transformasi adalah $g(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}$.

   Transformasi Bertahap: Translasi Kemudian Dilatasi

   Transformasi bertahap fungsi kuadrat.

   Toggle GridToggle Play

2. Transformasi bertahap pada $g(x) = 2^x$:

   Langkah 1: Refleksi terhadap sumbu y

   $$g_1(x) = 2^{-x}$$

   Langkah 2: Translasi horizontal 1 unit ke kanan

   $$h(x) = 2^{-(x-1)} = 2^{-x+1} = 2 \cdot 2^{-x}$$

   Jadi rumus fungsi hasil transformasi adalah $h(x) = 2^{1-x}$.

   Refleksi dan Translasi Horizontal Fungsi Eksponensial

   Transformasi fungsi eksponensial.

   Toggle GridToggle Play

3. Perbandingan dua urutan transformasi:

   Urutan A: Dilatasi dulu, lalu translasi

   $$h_1(x) = 3x^2$$

   $$h_A(x) = 3x^2 + 2$$

   Urutan B: Translasi dulu, lalu dilatasi

   $$h_2(x) = x^2 + 2$$

   $$h_B(x) = 3(x^2 + 2) = 3x^2 + 6$$

   Hasil berbeda: $h_A(x) = 3x^2 + 2$ dan $h_B(x) = 3x^2 + 6$.

   Pengaruh Urutan Transformasi pada Hasil Akhir

   Perbandingan urutan transformasi yang berbeda.

   Toggle GridToggle Play

4. Analisis transformasi $g(x) = 2\sqrt{x + 3} - 1$ dari $f(x) = \sqrt{x}$:

   Transformasi yang terjadi secara berurutan:

   • Translasi horizontal 3 unit ke kiri: $f(x + 3) = \sqrt{x + 3}$
   • Dilatasi vertikal dengan faktor 2: $2\sqrt{x + 3}$
   • Translasi vertikal 1 unit ke bawah: $2\sqrt{x + 3} - 1$

5. Transformasi bertahap pada $f(x) = |x|$:

   $$f_1(x) = |x + 2|$$

   $$f_2(x) = -|x + 2|$$

   $$g(x) = -3|x + 2|$$

   Jadi rumus fungsi hasil transformasi adalah $g(x) = -3|x + 2|$.

   Kombinasi Translasi, Refleksi, dan Dilatasi Fungsi Mutlak

   Transformasi bertahap fungsi nilai mutlak.

   Toggle GridToggle Play