Rotasi

Pengertian Rotasi Fungsi

Rotasi adalah transformasi geometri yang memutar suatu objek terhadap titik pusat tertentu dengan sudut rotasi yang ditentukan. Dalam konteks fungsi, rotasi mengubah posisi grafik fungsi dengan cara memutar setiap titik pada grafik tersebut.

Bayangkan seperti memutar sebuah roda. Setiap titik pada roda akan bergerak mengikuti lingkaran dengan pusat rotasi sebagai pusatnya. Begitu juga dengan grafik fungsi, setiap titik akan berputar mengikuti pola yang sama.

Rumus Rotasi Terhadap Titik Pusat

Untuk rotasi terhadap titik pusat $(a, b)$ dengan sudut $\theta$, rumus transformasinya adalah:

Dimana:

• $(x, y)$ adalah koordinat titik asal
• $(x', y')$ adalah koordinat titik hasil rotasi
• $(a, b)$ adalah titik pusat rotasi
• $\theta$ adalah sudut rotasi (positif untuk arah berlawanan jarum jam)

Rotasi Khusus Terhadap Titik Asal

Ketika rotasi dilakukan terhadap titik asal $(0, 0)$, rumus menjadi lebih sederhana:

1. Rotasi $90^\circ$

   $$(x, y) \rightarrow (-y, x)$$

2. Rotasi $180^\circ$

   $$(x, y) \rightarrow (-x, -y)$$

3. Rotasi $270^\circ$

   $$(x, y) \rightarrow (y, -x)$$

Visualisasi Rotasi Fungsi Kuadrat

Mari kita lihat bagaimana rotasi mempengaruhi fungsi kuadrat $y = x^2$:

Sifat Rotasi Fungsi

Rotasi memiliki beberapa sifat penting:

• Mempertahankan Bentuk: Rotasi tidak mengubah bentuk dasar grafik, hanya mengubah orientasinya
• Mempertahankan Jarak: Jarak antara dua titik pada grafik tetap sama setelah rotasi
• Komposisi Rotasi: Rotasi berturut-turut dapat digabungkan dengan menjumlahkan sudut rotasinya

Penerapan Rotasi pada Berbagai Fungsi

Rotasi Fungsi Linear

Untuk fungsi linear $y = mx + c$, rotasi akan mengubah kemiringan dan posisi garis.

Rotasi Fungsi Eksponensial

Rotasi juga dapat diterapkan pada fungsi eksponensial dengan hasil yang menarik.

Langkah Menentukan Hasil Rotasi

Untuk menentukan hasil rotasi suatu fungsi, ikuti langkah berikut:

• Tentukan titik pusat rotasi dan sudut rotasi yang diinginkan
• Pilih beberapa titik pada grafik fungsi asli sebagai sampel
• Terapkan rumus rotasi pada setiap titik sampel
• Hubungkan titik hasil rotasi untuk membentuk grafik fungsi baru
• Verifikasi hasil dengan memeriksa beberapa titik tambahan

Latihan

1. Tentukan hasil rotasi titik $(3, 4)$ terhadap titik asal dengan sudut $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam.

2. Fungsi $f(x) = x^2 - 2x + 1$ dirotasi $180^\circ$ terhadap titik asal. Tentukan koordinat titik puncak hasil rotasi jika titik puncak asli berada di $(1, 0)$.

3. Garis $y = 3x - 2$ dirotasi $270^\circ$ terhadap titik asal. Tentukan persamaan garis hasil rotasi.

4. Titik $(2, 5)$ dirotasi $60^\circ$ terhadap titik $(1, 1)$. Tentukan koordinat hasil rotasi.

5. Fungsi $y = \sqrt{x}$ untuk $x \geq 0$ dirotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal. Jelaskan bentuk grafik hasil rotasi.

Kunci Jawaban

1. Menggunakan rumus rotasi $90^\circ$:

   $$(x, y) \rightarrow (-y, x)$$

   $$(3, 4) \rightarrow (-4, 3)$$

   Jadi hasil rotasi adalah $(-4, 3)$.

   Visualisasi Rotasi Titik $(3, 4)$

   Rotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.

   Toggle GridToggle Play

2. Titik puncak asli dirotasi $180^\circ$:

   $$(x, y) \rightarrow (-x, -y)$$

   $$(1, 0) \rightarrow (-1, 0)$$

   Koordinat titik puncak hasil rotasi adalah $(-1, 0)$.

   Rotasi Fungsi $f(x) = x^2 - 2x + 1$

   Rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal.

   Toggle GridToggle Play

3. Ambil dua titik pada garis dan rotasi $270^\circ$:

   $$(x, y) \rightarrow (y, -x)$$

   $$(0, -2) \rightarrow (-2, 0)$$

   $$(1, 1) \rightarrow (1, -1)$$

   $$m = \frac{-1 - 0}{1 - (-2)} = \frac{-1}{3}$$

   $$y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$$

   Maka persamaan garis hasil rotasi adalah $y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$.

   Rotasi Garis $y = 3x - 2$

   Rotasi $270^\circ$ terhadap titik asal.

   Toggle GridToggle Play

4. Menggunakan rumus rotasi terhadap titik dengan sudut $60^\circ$:

   $$x' = (x-a) \cos \theta - (y-b) \sin \theta + a$$

   $$y' = (x-a) \sin \theta + (y-b) \cos \theta + b$$

   $$x' = (2-1) \cdot \frac{1}{2} - (5-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$$

   $$x' = \frac{3}{2} - 2\sqrt{3}$$

   $$y' = (2-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (5-1) \cdot \frac{1}{2} + 1$$

   $$y' = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Koordinat hasil rotasi: $(\frac{3}{2} - 2\sqrt{3}, 3 + \frac{\sqrt{3}}{2})$

   Rotasi Titik $(2, 5)$ Terhadap Titik $(1, 1)$

   Rotasi $60^\circ$ berlawanan arah jarum jam.

   Toggle GridToggle Play

5. Fungsi $y = \sqrt{x}$ dirotasi $90^\circ$ menjadi:

   $$x = -\sqrt{y}$$

   $$y = x^2 \text{ untuk} x \leq 0$$

   Grafik hasil rotasi berbentuk parabola yang terbuka ke atas dengan domain $x \leq 0$ dan range $y \geq 0$. Ini adalah refleksi dari parabola $y = x^2$ terhadap sumbu $y$.

   Rotasi Fungsi $y = \sqrt{x}$

   Rotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.

   Toggle GridToggle Play