Translasi Vertikal

Konsep Dasar Translasi Vertikal

Translasi vertikal adalah transformasi geometri yang menggeser grafik fungsi ke atas atau ke bawah sepanjang sumbu y tanpa mengubah bentuk grafik tersebut. Bayangkan seperti mengangkat atau menurunkan sebuah objek secara vertikal, bentuknya tetap sama, hanya posisinya yang berubah.

Jika kita memiliki fungsi $f(x)$, maka translasi vertikal menghasilkan fungsi baru $g(x) = f(x) + k$ dimana $k$ adalah konstanta translasi.

Aturan Translasi Vertikal

Untuk setiap fungsi $f(x)$, translasi vertikal didefinisikan sebagai:

Dimana:

• Jika $k > 0$, grafik bergeser ke atas sebesar $k$ satuan
• Jika $k < 0$, grafik bergeser ke bawah sebesar $|k|$ satuan
• Jika $k = 0$, tidak ada translasi (grafik tetap sama)

Visualisasi Translasi Vertikal

Mari kita lihat bagaimana translasi vertikal bekerja pada fungsi linear $f(x) = 2x$.

Dari visualisasi di atas, kita dapat mengamati:

• Fungsi asli $f(x) = 2x$ (ungu) melewati titik asal
• Fungsi $g(x) = 2x + 3$ (oranye) adalah hasil translasi ke atas 3 satuan
• Fungsi $h(x) = 2x + (-2)$ (teal) adalah hasil translasi ke bawah 2 satuan

Translasi Vertikal pada Fungsi Kuadrat

Sekarang mari kita terapkan konsep yang sama pada fungsi kuadrat $f(x) = x^2$.

Perhatikan bahwa:

• Titik puncak parabola asli $f(x) = x^2$ berada di $(0, 0)$
• Setelah translasi vertikal +4, titik puncak $g(x) = x^2 + 4$ berada di $(0, 4)$
• Setelah translasi vertikal +(-3), titik puncak $h(x) = x^2 + (-3)$ berada di $(0, -3)$

Sifat Penting Translasi Vertikal

Bentuk Grafik Tidak Berubah

Translasi vertikal mempertahankan bentuk asli grafik. Jarak antara titik pada grafik tetap sama, hanya posisi vertikal yang berubah.

Pengaruh pada Titik Koordinat

Jika titik $(a, b)$ berada pada grafik $f(x)$, maka setelah translasi vertikal sebesar $k$, titik tersebut menjadi $(a, b + k)$ pada grafik $f(x) + k$.

Domain dan Range

• Domain: Tidak berubah setelah translasi vertikal
• Range: Bergeser sebesar $k$ satuan

Jika range fungsi asli adalah $[c, d]$, maka range setelah translasi vertikal $k$ menjadi $[c + k, d + k]$.

Contoh Penerapan

Contoh Fungsi Eksponensial

Mari kita lihat translasi vertikal pada fungsi eksponensial $f(x) = 2^x$.

Pada fungsi eksponensial:

• Asimtot horizontal $y = 0$ pada $f(x) = 2^x$ bergeser menjadi $y = k$ pada $f(x) + k$
• Titik potong dengan sumbu y bergeser dari $(0, 1)$ menjadi $(0, 1 + k)$

Latihan

1. Diberikan fungsi $f(x) = x^2 + 4x + 3$. Tentukan persamaan fungsi hasil translasi vertikal ke atas sebesar 5 satuan.

2. Jika grafik fungsi $g(x) = 3x + 2$ ditranslasi vertikal ke bawah sebesar 7 satuan, tentukan:

   • Persamaan fungsi hasil translasi
   • Titik potong dengan sumbu y setelah translasi

3. Fungsi $h(x) = \sqrt{x}$ mengalami translasi vertikal sehingga titik $(4, 2)$ menjadi $(4, 5)$. Tentukan nilai konstanta translasi dan persamaan fungsi hasil translasi.

Kunci Jawaban

1. Translasi vertikal ke atas 5 satuan: $f'(x) = f(x) + 5 = x^2 + 4x + 3 + 5 = x^2 + 4x + 8$

   Fungsi $f(x) = x^2 + 4x + 3$ dan Hasil Translasinya

   Fungsi kuadrat asli dan hasil translasi vertikal ke atas 5 satuan.

   Toggle GridToggle Play

2. Persamaan fungsi hasil translasi:

   • Translasi ke bawah 7 satuan: $g'(x) = g(x) + (-7) = 3x + 2 + (-7) = 3x + (-5)$
   • Titik potong dengan sumbu y: substitusi $x = 0$ ke $g'(x) = 3(0) + (-5) = -5$, jadi titik potongnya adalah $(0, -5)$

   Visualisasi:

   Fungsi $g(x) = 3x + 2$ dan Hasil Translasinya

   Fungsi linear asli dan hasil translasi vertikal ke bawah 7 satuan.

   Toggle GridToggle Play

3. Titik $(4, 2)$ pada $h(x) = \sqrt{x}$ menjadi $(4, 5)$, berarti translasi vertikal sebesar $k = 5 - 2 = 3$ satuan ke atas. Persamaan hasil translasi: $h'(x) = \sqrt{x} + 3$

   Fungsi $h(x) = \sqrt{x}$ dan Hasil Translasinya

   Fungsi akar kuadrat asli dan hasil translasi vertikal ke atas 3 satuan.

   Toggle GridToggle Play