Teorema Dasar Kalkulus

Jembatan Antara Turunan dan Integral

Teorema Dasar Kalkulus (TDK) adalah pilar utama dalam kalkulus yang secara menakjubkan menghubungkan dua konsep yang tampaknya berbeda: turunan dan integral. Teorema ini memberikan kita metode yang jauh lebih sederhana dan kuat untuk menghitung integral tentu, tanpa perlu melalui proses limit Jumlahan Riemann yang panjang. Teorema ini terbagi menjadi dua bagian penting.

Kedua bagian ini saling melengkapi: bagian pertama menunjukkan bahwa diferensiasi dan integrasi adalah operasi kebalikan, sedangkan bagian kedua memberikan cara praktis untuk menghitung integral tentu menggunakan antiturunan. Teorema ini dibangun atas dasar Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral, yang menjamin keberadaan titik tertentu dalam interval integrasi.

Diferensiasi Sebuah Fungsi Integral

Bagian pertama dari TDK mengungkapkan bahwa proses integrasi dan diferensiasi adalah operasi yang saling berlawanan. Secara formal, teorema ini menyatakan:

Ini berarti turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan sebagai integral adalah fungsi di dalam integral itu sendiri.

Analogi sederhananya, bayangkan $f(t)$ adalah kecepatan air yang mengalir ke dalam ember pada waktu $t$. Maka, $F(x)$ adalah total volume air di dalam ember pada waktu $x$. Teorema ini mengatakan bahwa laju perubahan volume air pada saat itu ($F'(x)$) sama persis dengan kecepatan aliran air pada saat itu ($f(x)$).

Contoh:

Tentukan turunan dari $F(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{2+t} \, dt$.

Penyelesaian:

Berdasarkan TDK Bagian Pertama, kita tidak perlu mengintegralkan fungsinya. Kita cukup mengganti variabel $t$ dalam integran dengan batas atas $x$.

Prosesnya sesederhana itu. Turunannya adalah fungsi aslinya, dievaluasi pada batas atas.

Evaluasi Integral dengan Antiturunan

Bagian kedua, yang juga dikenal sebagai Teorema Evaluasi, memberikan kita metode praktis untuk menghitung nilai pasti dari sebuah integral tentu. Teorema ini menyatakan:

Di mana $F(x)$ adalah antiturunan (integral tak tentu) dari $f(x)$. Artinya, untuk mencari luas di bawah kurva $f(x)$ dari $a$ sampai $b$, kita hanya perlu mencari antiturunannya, lalu menghitung selisih nilainya pada kedua batas tersebut.

Untuk menuliskannya, kita sering menggunakan notasi kurung siku $[F(x)]_{a}^{b}$ yang berarti $F(b) - F(a)$.

Contoh 1:

Tentukan nilai dari $\int_{1}^{3} x^2 \, dx$.

Penyelesaian:

1. Cari antiturunan: Antiturunan dari $f(x) = x^2$ adalah $F(x) = \frac{1}{3}x^3$.

2. Evaluasi pada batas: Hitung $F(3) - F(1)$.

   $$\int_{1}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{1}^{3}$$

   $$= \left( \frac{1}{3}(3)^3 \right) - \left( \frac{1}{3}(1)^3 \right)$$

   $$= \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$$

Contoh 2:

Tentukan nilai dari $\int_{1}^{5} (2x-1) \, dx$.

Penyelesaian:

1. Cari antiturunan: Antiturunan dari $f(x) = 2x - 1$ adalah $F(x) = x^2 - x$.

2. Evaluasi pada batas: Hitung $F(5) - F(1)$.

   $$\int_{1}^{5} (2x-1) \, dx = \left[ x^2 - x \right]_{1}^{5}$$

   $$= (5^2 - 5) - (1^2 - 1)$$

   $$= (25 - 5) - (1 - 1)$$

   $$= 20 - 0 = 20$$

Teorema Dasar Kalkulus secara fundamental menyederhanakan cara kita menghitung luas dan akumulasi, mengubahnya dari masalah limit yang rumit menjadi proses aljabar yang lugas menggunakan antiturunan.