Sifat-Sifat Integral Tak Tentu

Aturan Pangkat

Ini adalah salah satu aturan paling dasar dan penting dalam integral. Jika kamu menemukan integral dalam bentuk pangkat, gunakan formula ini:

\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C, \quad \text{dengan } n \neq -1

Sederhananya, tambahkan satu ke pangkatnya, lalu bagi dengan pangkat yang baru itu.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan $\int x^5 \, dx$ .

Disini, $n=5$ , jadi:

\int x^5 \, dx = \frac{1}{5+1}x^{5+1} + C

= \frac{1}{6}x^6 + C

Aturan Kelipatan Konstanta

Jika fungsi yang akan diintegralkan memiliki koefisien atau konstanta, kamu bisa "mengeluarkan" konstanta itu dari integral untuk mempermudah perhitungan.

\int a \cdot f(x) \, dx = a \int f(x) \, dx

Ingat, a adalah sebuah bilangan konstan. Sifat ini sangat berguna untuk menyederhanakan bentuk integral sebelum diselesaikan.

Aturan Penjumlahan dan Pengurangan

Bagaimana jika kita harus mengintegralkan dua fungsi yang dijumlahkan atau dikurangkan? Gampang, kita bisa memisahkan mereka menjadi dua integral yang berbeda.

\int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx

Contohnya, untuk menyelesaikan $\int (x^4 - x^3) \, dx$ , kita pisahkan dulu:

\int (x^4 - x^3) \, dx = \int x^4 \, dx - \int x^3 \, dx

= \left( \frac{1}{4+1}x^5 \right) - \left( \frac{1}{3+1}x^4 \right) + C

= \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{4}x^4 + C

Jangan lupa untuk hanya menambahkan satu konstanta C di akhir. Secara teknis, setiap integral akan menghasilkan konstantanya sendiri (misalnya, $C_1$ dan $C_2$ ). Namun, karena semua konstanta tersebut nilainya tak tentu, hasil penjumlahan atau pengurangannya pun akan menjadi sebuah konstanta tak tentu baru. Oleh karena itu, kita cukup menuliskannya sebagai satu C di akhir.

Aturan Substitusi

Untuk integral yang kelihatannya rumit, seperti perkalian dua fungsi di mana salah satunya adalah turunan dari yang lain (atau kelipatannya), kita bisa menggunakan aturan substitusi. Ide dasarnya adalah menyederhanakan integral dengan mengganti sebagian dari fungsi dengan variabel baru, biasanya u.

\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du

Ini sering disebut juga sebagai substitusi u. Metode ini sangat ampuh untuk menyelesaikan integral yang kompleks.

Latihan

Tentukan hasil dari $\int 6x^2 \, dx$ !
Tentukan hasil dari $\int (3x^2 + 2x - 5) \, dx$ !
Selesaikan integral $\int 2x(x^2 + 3)^4 \, dx$ menggunakan aturan substitusi!

Kunci Jawaban

Untuk menyelesaikan $\int 6x^2 \, dx$ , kita bisa menggunakan Aturan Kelipatan Konstanta dan Aturan Pangkat.

Langkah 1: Keluarkan konstanta 6 dari integral.

$\int 6x^2 \, dx = 6 \int x^2 \, dx$

Langkah 2: Gunakan aturan pangkat pada $\int x^2 \, dx$ , di mana $n=2$ .

$6 \left( \frac{1}{2+1}x^{2+1} \right) + C$
$= 6 \left( \frac{1}{3}x^3 \right) + C$

Langkah 3: Kalikan konstantanya untuk mendapatkan hasil akhir.

$= 2x^3 + C$
Untuk integral $\int (3x^2 + 2x - 5) \, dx$ , kita gunakan Aturan Penjumlahan dan Pengurangan untuk memecahnya menjadi tiga integral terpisah.

Langkah 1: Pisahkan setiap suku menjadi integralnya sendiri.

$\int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx - \int 5 \, dx$

Langkah 2: Selesaikan setiap integral satu per satu menggunakan aturan pangkat dan konstanta.

$= 3\left(\frac{1}{3}x^3\right) + 2\left(\frac{1}{2}x^2\right) - 5x + C$
$= x^3 + x^2 - 5x + C$

Jadi, jawabannya adalah $x^3 + x^2 - 5x + C$ .
Integral $\int 2x(x^2 + 3)^4 \, dx$ adalah contoh klasik untuk Aturan Substitusi.

Langkah 1: Pilih bagian dari fungsi untuk dijadikan $u$ . Pilihan yang baik adalah bagian dalam kurung.

Misalkan: $u = x^2 + 3$ .

Langkah 2: Cari turunan dari $u$ terhadap $x$ , yaitu $du/dx$ .

$\frac{du}{dx} = 2x$

Dari sini, kita bisa menulis $du = 2x \, dx$ .

Langkah 3: Lakukan substitusi. Ganti $x^2+3$ dengan $u$ dan $2x \, dx$ dengan $du$ .

$\int (x^2 + 3)^4 (2x \, dx) = \int u^4 \, du$

Langkah 4: Selesaikan integral yang sudah disederhanakan menggunakan aturan pangkat.

$\int u^4 \, du = \frac{1}{5}u^5 + C$

Langkah 5: Kembalikan $u$ ke bentuk aslinya.

$= \frac{1}{5}(x^2 + 3)^5 + C$

Inilah hasil akhirnya.