Jumlahan Riemann

Ide Dasar Jumlahan Riemann

Bayangkan kamu memiliki sebidang tanah dengan satu sisi yang bentuknya melengkung tidak beraturan. Bagaimana cara menghitung luasnya? Salah satu cara paling praktis adalah dengan membagi tanah itu menjadi beberapa potong persegi panjang dengan lebar yang sama, menghitung luas setiap potongan, lalu menjumlahkan semuanya.

Itulah ide dasar di balik Jumlahan Riemann. Ini adalah metode untuk memperkirakan luas daerah di bawah kurva dengan cara membaginya menjadi beberapa persegi panjang dan menjumlahkan luasnya. Semakin banyak persegi panjang yang kita gunakan, semakin akurat perkiraan luas yang kita dapatkan.

Komponen Utama

Untuk melakukan Jumlahan Riemann, kita perlu memahami beberapa komponen utamanya:

• Interval $[a, b]$: Ini adalah batas kiri dan kanan dari daerah yang ingin kita hitung luasnya.

• Partisi ($n$): Ini adalah jumlah persegi panjang yang akan kita gunakan untuk membagi daerah tersebut.

• Lebar Subinterval ($\Delta x$): Ini adalah lebar dari setiap persegi panjang. Jika kita membagi interval secara merata, lebarnya dihitung dengan rumus:

  $$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$

• Titik Sampel ($x_i^*$): Ini adalah titik pada setiap subinterval yang tingginya akan kita gunakan untuk menentukan tinggi persegi panjang ($f(x_i^*)$). Ada beberapa cara umum untuk memilih titik sampel, seperti titik ujung kiri, titik ujung kanan, atau titik tengah.

Formula Jumlahan Riemann

Jika kita menggabungkan semua komponen tersebut, kita mendapatkan formula umum untuk Jumlahan Riemann:

Notasi sigma ($\sum$) ini secara sederhana berarti "jumlahkan semua luas persegi panjang", di mana luas setiap persegi panjang adalah tinggi ($f(x_i^*)$) dikali lebar ($\Delta x$).

Contoh Perhitungan Visual

Mari kita terapkan konsep ini pada sebuah contoh.

Soal: Tentukan Jumlahan Riemann dari fungsi $f(x) = x$ pada interval $[0, 7]$ dengan membaginya menjadi 7 subinterval sama panjang dan menggunakan titik ujung kiri sebagai titik sampel.

Penyelesaian:

1. Identifikasi Komponen:

   • Fungsi: $f(x) = x$
   • Interval: $a=0, b=7$
   • Jumlah partisi: $n=7$

2. Hitung Lebar Subinterval ($\Delta x$):

   $$\Delta x = \frac{7 - 0}{7} = 1$$

   Setiap persegi panjang akan memiliki lebar 1.

3. Tentukan Titik Sampel (Ujung Kiri):

   Subinterval kita adalah:

   $$[0,1], [1,2], [2,3], [3,4], [4,5], [5,6], [6,7]$$

   Untuk metode ujung kiri, kita mengambil nilai x di sisi kiri setiap subinterval sebagai titik sampel:

   $$x_1=0, x_2=1, x_3=2, x_4=3, x_5=4, x_6=5, x_7=6$$

4. Hitung Tinggi Setiap Persegi Panjang:

   Tinggi setiap persegi panjang ditentukan oleh nilai fungsi $f(x) = x$ di titik sampel yang telah dipilih:

   $$f(x_1) = f(0) = 0$$

   $$f(x_2) = f(1) = 1$$

   $$f(x_3) = f(2) = 2$$

   $$f(x_4) = f(3) = 3$$

   $$f(x_5) = f(4) = 4$$

   $$f(x_6) = f(5) = 5$$

   $$f(x_7) = f(6) = 6$$

5. Hitung Jumlahan Riemann:

   Sekarang kita dapat menghitung total luas dengan menjumlahkan luas semua persegi panjang. Ingat bahwa luas setiap persegi panjang adalah tinggi dikali lebar:

   $$R_7 = \sum_{i=1}^{7} f(x_i^*) \Delta x$$

   $$= [f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6)] \cdot 1$$

   $$= (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \cdot 1$$

   $$= 21$$

   Jadi, perkiraan luas daerah di bawah kurva $f(x)=x$ dari 0 sampai 7 adalah 21.

Perhatikan bahwa karena fungsi $f(x)=x$ terus naik (monoton naik), penggunaan titik ujung kiri akan selalu menghasilkan persegi panjang yang berada di bawah kurva, sehingga perkiraan luasnya lebih kecil dari luas sebenarnya (underestimate). Sebaliknya, jika kita menggunakan titik ujung kanan pada fungsi yang monoton naik, hasilnya akan selalu menjadi overestimate.

Latihan

1. Hitung Jumlahan Riemann untuk fungsi $f(x) = x^2 + 1$ pada interval $[0, 4]$ menggunakan 4 subinterval dengan lebar yang sama dan titik sampel berupa titik ujung kanan.

Kunci Jawaban

1. Kita akan menghitung Jumlahan Riemann untuk $f(x) = x^2+1$ pada $[0,4]$ dengan $n=4$.

   Visualisasi Latihan Jumlahan Riemann

   Grafik fungsi $f(x)=x^2+1$ dengan 4 partisi persegi panjang menggunakan titik ujung kanan.

   Toggle GridToggle Play

   Langkah 1: Tentukan komponen utama.

   • Fungsi: $f(x) = x^2 + 1$
   • Interval: $a=0, b=4$
   • Jumlah partisi: $n=4$
   • Titik sampel: Ujung kanan

   Langkah 2: Hitung lebar subinterval.

   $$\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{4-0}{4} = 1$$

   Langkah 3: Tentukan titik sampel ujung kanan.

   Subintervalnya adalah:

   $$[0,1], [1,2], [2,3], [3,4]$$

   Untuk metode ujung kanan, kita mengambil nilai x di sisi kanan setiap subinterval:

   $$x_1=1, x_2=2, x_3=3, x_4=4$$

   Langkah 4: Hitung tinggi setiap persegi panjang.

   Tinggi setiap persegi panjang ditentukan oleh nilai fungsi $f(x) = x^2 + 1$ di titik sampel ujung kanan:

   $$f(x_1) = f(1) = 1^2 + 1 = 2$$

   $$f(x_2) = f(2) = 2^2 + 1 = 5$$

   $$f(x_3) = f(3) = 3^2 + 1 = 10$$

   $$f(x_4) = f(4) = 4^2 + 1 = 17$$

   Langkah 5: Hitung total Jumlahan Riemann.

   Sekarang kita jumlahkan luas semua persegi panjang (tinggi × lebar):

   $$R_4 = \sum_{i=1}^{4} f(x_i^*) \Delta x$$

   $$= [f(1) + f(2) + f(3) + f(4)] \cdot 1$$

   $$= (2 + 5 + 10 + 17) \cdot 1$$

   $$= 34$$

   Jadi, Jumlahan Riemann untuk fungsi tersebut adalah 34.