Konsep Limit Fungsi

Memahami Limit Secara Intuitif

Bayangkan kamu sedang berjalan menuju pintu rumah. Semakin dekat kamu ke pintu, semakin jelas kamu bisa melihat detail pintunya. Dalam matematika, limit bekerja dengan cara yang serupa. Limit menggambarkan nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika variabel inputnya mendekati suatu nilai tertentu.

Konsep limit sangat fundamental dalam kalkulus karena menjadi dasar untuk memahami turunan, integral, dan kontinuitas fungsi. Limit membantu kita memahami perilaku fungsi di sekitar titik tertentu, bahkan ketika fungsi tersebut tidak terdefinisi tepat di titik itu.

Pendekatan Melalui Tabel Nilai

Untuk memahami limit secara lebih konkret, mari kita lihat bagaimana nilai fungsi berubah ketika variabel mendekati suatu titik. Misalkan kita memiliki fungsi $f(x) = x + 2$ dan ingin melihat apa yang terjadi ketika $x$ mendekati 3.

Dari tabel di atas, kita dapat melihat bahwa ketika $x$ mendekati 3 dari kiri (nilai $x < 3$) maupun kanan (nilai $x > 3$), nilai $f(x)$ mendekati 5. Nilai pendekatan inilah yang disebut limit.

Definisi Formal Limit

Secara matematis, limit dapat didefinisikan sebagai berikut:

Definisi ini dibaca sebagai "limit $f(x)$ ketika $x$ mendekati $c$ sama dengan $L$".

Syarat agar limit ini ada adalah:

• Limit kiri dan limit kanan harus ada
• Limit kiri harus sama dengan limit kanan
• Nilai limit tersebut adalah $L$

Secara lebih formal, limit kiri dan kanan dapat ditulis sebagai:

Jika kedua limit ini sama, maka $\lim_{x \to c} f(x) = L$. Jika berbeda, maka limit tidak ada.

Penerapan Limit

Contoh Sederhana

Tentukan $\lim_{x \to 4} (2x - 1)$.

Penyelesaian:

Karena fungsi $f(x) = 2x - 1$ kontinu di $x = 4$, kita dapat langsung mensubstitusi:

Contoh dengan Bentuk Tak Tentu

Tentukan $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Penyelesaian:

Jika kita substitusi langsung $x = 2$, kita mendapat bentuk $\frac{0}{0}$ yang tak tentu. Kita perlu menyederhanakan terlebih dahulu dengan memfaktorkan:

Karena kita menghitung limit ketika $x$ mendekati 2 (bukan sama dengan 2), maka $x \neq 2$ dan kita dapat membatalkan $(x - 2)$:

Sifat Dasar Limit

Beberapa sifat penting yang memudahkan perhitungan limit:

1. Sifat Linearitas:

   $\lim_{x \to c} [af(x) + bg(x)] = a\lim_{x \to c} f(x) + b\lim_{x \to c} g(x)$

2. Sifat Perkalian:

   $\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)$

3. Sifat Pembagian:

   $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}$ dengan syarat $\lim_{x \to c} g(x) \neq 0$

Latihan

1. Tentukan $\lim_{x \to 3} (x^2 + 2x - 1)$

2. Tentukan $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

3. Tentukan $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ (gunakan teorema limit trigonometri)

4. Jika $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 2 \\ 3x - 2, & x \geq 2 \end{cases}$, tentukan $\lim_{x \to 2} f(x)$

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Karena fungsi polinomial kontinu di semua titik, kita dapat substitusi langsung:

   $$\lim_{x \to 3} (x^2 + 2x - 1) = 3^2 + 2(3) - 1 = 9 + 6 - 1 = 14$$

2. Penyelesaian:

   Substitusi langsung menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$. Kita faktorkan terlebih dahulu:

   $$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$$

   $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}$$

   Karena $x$ mendekati 1 (bukan sama dengan 1), maka $x \neq 1$ dan kita dapat membatalkan $(x - 1)$:

   $$= \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$$

3. Penyelesaian:

   Ini adalah limit fundamental trigonometri yang sangat penting dalam kalkulus. Limit ini tidak dapat diselesaikan dengan substitusi langsung karena akan menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$. Namun, berdasarkan teorema limit trigonometri yang telah dibuktikan:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

   Catatan: $x$ dalam radian, bukan derajat.

4. Penyelesaian:

   Untuk fungsi piecewise (terdefinisi dengan aturan berbeda), kita harus memeriksa limit kiri dan kanan secara terpisah:

   Limit kiri (ketika $x$ mendekati 2 dari kiri, maka $x < 2$):

   $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 2 + 1 = 3$$

   Limit kanan (ketika $x$ mendekati 2 dari kanan, maka $x \geq 2$):

   $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x - 2) = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4$$

   Karena $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3 \neq 4 = \lim_{x \to 2^+} f(x)$, maka $\lim_{x \to 2} f(x)$ tidak ada.