Sifat Limit Fungsi

Memahami Sifat Limit Fungsi

Setelah mempelajari konsep dasar limit, sekarang kita akan mendalami sifat-sifat limit fungsi yang sangat membantu dalam menyelesaikan perhitungan limit yang kompleks. Bayangkan sifat-sifat ini seperti aturan permainan yang memungkinkan kita memecah limit yang rumit menjadi bagian-bagian yang lebih sederhana.

Sifat-sifat limit ini menjadi fondasi penting dalam kalkulus karena memungkinkan kita untuk menghitung limit tanpa harus selalu menggunakan definisi formal atau tabel nilai. Dengan memahami sifat-sifat ini, perhitungan limit menjadi lebih efisien dan sistematis.

Sifat Dasar Limit

Sifat Konstanta

Sifat paling sederhana adalah limit dari fungsi konstanta. Jika $k$ adalah konstanta, maka:

Artinya, limit dari konstanta adalah konstanta itu sendiri. Hal ini masuk akal karena nilai konstanta tidak berubah terhadap variabel $x$.

Sifat Identitas

Untuk fungsi identitas, berlaku:

Ketika $x$ mendekati $c$, nilai fungsi $f(x) = x$ juga mendekati $c$.

Sifat Operasi Aritmatika

Misalkan $\lim_{x \to c} f(x) = L$ dan $\lim_{x \to c} g(x) = M$ dengan $L$ dan $M$ adalah bilangan real, maka berlaku sifat-sifat berikut:

Sifat Penjumlahan dan Pengurangan

Limit dari jumlah atau selisih dua fungsi sama dengan jumlah atau selisih limit masing-masing fungsi:

Sifat ini memungkinkan kita memecah limit yang kompleks menjadi bagian-bagian yang lebih sederhana.

Sifat Perkalian

Limit dari hasil kali dua fungsi sama dengan hasil kali limit masing-masing fungsi:

Sifat Perkalian dengan Konstanta

Konstanta dapat dikeluarkan dari tanda limit:

Sifat Pembagian

Limit dari hasil bagi dua fungsi sama dengan hasil bagi limit masing-masing fungsi, dengan syarat limit penyebut tidak nol:

dengan syarat $M \neq 0$.

Sifat Perpangkatan dan Akar

Sifat Perpangkatan

Limit dari fungsi berpangkat sama dengan pangkat dari limit fungsi:

dengan $n$ adalah bilangan real.

Sifat Akar

Limit dari akar fungsi sama dengan akar dari limit fungsi:

Syarat penting:

• Jika $n$ ganjil: sifat ini berlaku untuk semua nilai $L$
• Jika $n$ genap: $L \geq 0$ (tidak boleh negatif karena akar genap dari bilangan negatif tidak terdefinisi dalam bilangan real)

Contoh Penerapan Sifat Limit

Contoh Sederhana

Hitung $\lim_{x \to 2} (3x^2 + 5x - 1)$.

Penyelesaian:

Menggunakan sifat-sifat limit:

Contoh dengan Pecahan

Hitung $\lim_{x \to 4} \frac{x\sqrt{x}}{x^2 + 3}$.

Penyelesaian:

Menggunakan sifat pembagian dan perkalian:

Sekarang kita substitusi nilai $x = 4$:

Dalam bentuk desimal: $\frac{8}{19} \approx 0.421$

Contoh dengan Akar

Hitung $\lim_{x \to 0} \sqrt{x^2 - 3x + 2}$.

Penyelesaian:

Menggunakan sifat akar (karena $n = 2$ genap, kita perlu memastikan hasil di dalam akar tidak negatif):

Hitung limit di dalam akar terlebih dahulu:

Karena $2 > 0$, kita dapat menggunakan sifat akar:

Latihan

1. Hitung $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 4x + 1)$

2. Hitung $\lim_{x \to 1} \frac{3x + 2}{x^2 + 1}$

3. Hitung $\lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5}$

4. Hitung $\lim_{x \to 2} (x + 1)^3$

5. Hitung $\lim_{x \to 0} \frac{5x^2 + 3x}{2x + 1}$

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Menggunakan sifat penjumlahan dan perkalian dengan konstanta:

   $$\lim_{x \to 3} (2x^2 - 4x + 1) = 2\lim_{x \to 3} x^2 - 4\lim_{x \to 3} x + \lim_{x \to 3} 1$$

   Substitusi $x = 3$:

   $$= 2(3)^2 - 4(3) + 1 = 2(9) - 12 + 1 = 18 - 12 + 1 = 7$$

2. Penyelesaian:

   Menggunakan sifat pembagian:

   $$\lim_{x \to 1} \frac{3x + 2}{x^2 + 1} = \frac{\lim_{x \to 1} (3x + 2)}{\lim_{x \to 1} (x^2 + 1)}$$

   $$= \frac{3(1) + 2}{1^2 + 1} = \frac{5}{2}$$

   Dalam bentuk desimal: $\frac{5}{2} = 2.5$

3. Penyelesaian:

   Menggunakan sifat akar:

   $$\lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5} = \sqrt{\lim_{x \to 4} (x + 5)}$$

   $$= \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$$

4. Penyelesaian:

   Menggunakan sifat perpangkatan:

   $$\lim_{x \to 2} (x + 1)^3 = \left[\lim_{x \to 2} (x + 1)\right]^3$$

   $$= (2 + 1)^3 = 3^3 = 27$$

5. Penyelesaian:

   Menggunakan sifat pembagian:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{5x^2 + 3x}{2x + 1} = \frac{\lim_{x \to 0} (5x^2 + 3x)}{\lim_{x \to 0} (2x + 1)}$$

   $$= \frac{5(0)^2 + 3(0)}{2(0) + 1} = \frac{0}{1} = 0$$