Limit Fungsi Trigonometri

Memahami Limit Fungsi Trigonometri

Bayangkan kamu mengamati bandul jam yang berayun sangat lambat mendekati titik keseimbangan. Gerakan ini mirip dengan perilaku fungsi trigonometri ketika variabelnya mendekati nilai tertentu. Limit fungsi trigonometri mengkaji bagaimana nilai fungsi sinus, cosinus, dan tangen berperilaku ketika input mendekati titik kritis.

Berbeda dengan limit fungsi aljabar yang sering dapat diselesaikan dengan substitusi langsung, fungsi trigonometri memiliki karakteristik khusus karena sifat periodik dan osilasi mereka. Hal ini membuat kita perlu menggunakan teorema dan sifat khusus untuk menyelesaikan limit trigonometri.

Teorema Fundamental Limit Trigonometri

Fondasi paling penting dalam limit trigonometri adalah teorema yang menyatakan bahwa fungsi sinus mendekati gradiennya ketika sudut mendekati nol.

Limit Dasar Sine

Teorema paling mendasar adalah:

Teorema ini tidak dapat dibuktikan menggunakan substitusi langsung karena menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$. Pembuktiannya memerlukan pendekatan geometris menggunakan lingkaran satuan dan teorema sandwich (squeeze theorem).

Dalam teorema ini, $x$ harus dalam radian, bukan derajat. Jika menggunakan derajat, hasilnya akan berbeda.

Konsekuensi dari Limit Dasar

Dari limit fundamental di atas, kita dapat menurunkan beberapa limit penting lainnya:

Sifat Limit Trigonometri

Berdasarkan teorema fundamental, kita dapat membangun serangkaian sifat yang sangat berguna:

Perbandingan Trigonometri

Untuk konstanta $a \neq 0$ dan $b \neq 0$, dan semua limit berikut ketika $x \to 0$:

Kombinasi Trigonometri

Dari sifat perbandingan trigonometri, kita dapat menurunkan beberapa sifat kombinasi trigonometri:

Teknik Penyelesaian Limit Trigonometri

Teknik Substitusi dan Manipulasi

Ketika menghadapi limit trigonometri yang kompleks, kita sering perlu memanipulasi ekspresi agar dapat menggunakan teorema fundamental.

Hitung: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$

Kita manipulasi agar memperoleh bentuk standar:

Teknik Identitas Trigonometri

Sering kali kita perlu menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan ekspresi. Selalu pastikan fungsi terdefinisi di titik yang didekati.

Hitung: $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x}$

Karena $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$, penyebut tidak nol di $x = \frac{\pi}{4}$.

Substitusi langsung:

Teknik untuk Bentuk Khusus

Untuk limit yang melibatkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita perlu teknik khusus.

Hitung: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2(x - \frac{\pi}{2})}{x(x - \frac{\pi}{2})}$

Misalkan $u = x - \frac{\pi}{2}$, maka ketika $x \to \frac{\pi}{2}$, kita punya $u \to 0$ dan $x = u + \frac{\pi}{2}$.

Limit Trigonometri dengan Identitas Sudut

Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih

Ketika berhadapan dengan fungsi trigonometri yang melibatkan jumlah atau selisih sudut, kita dapat menggunakan identitas trigonometri.

Hitung: $\lim_{t \to 0} \frac{\cot 5t}{\cot 10t}$

Menggunakan definisi cotangen:

Latihan

1. Hitung $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x}$

2. Hitung $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x}$

3. Hitung $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2}$

4. Hitung $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x - \frac{1}{2}}{x - \frac{\pi}{6}}$

5. Hitung $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{x}$

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Gunakan manipulasi aljabar untuk memperoleh bentuk standar:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin 3x}{3 \cdot 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{4} \cdot \frac{\sin 3x}{3x}$$

   $$= \frac{3}{4} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}$$

2. Penyelesaian:

   Gunakan sifat perbandingan trigonometri:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x}$$

   $$= \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2}{5}$$

   $$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$$

3. Penyelesaian:

   Gunakan identitas $1 - \cos ax = 2\sin^2\frac{ax}{2}$:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\frac{3x}{2}}{x^2}$$

   $$= \lim_{x \to 0} 2 \cdot \left(\frac{\sin\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2$$

   $$= 2 \cdot 1^2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$$

4. Penyelesaian:

   Misalkan $h = x - \frac{\pi}{6}$, maka $x = h + \frac{\pi}{6}$ dan ketika $x \to \frac{\pi}{6}$, kita punya $h \to 0$:

   $$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h + \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2}}{h}$$

   $$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin h \cos\frac{\pi}{6} + \cos h \sin\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}}{h}$$

   $$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin h \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos h \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{h}$$

   $$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin h + \frac{1}{2}(\cos h - 1)}{h}$$

   $$= \frac{\sqrt{3}}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} + \frac{1}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}$$

   $$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

5. Penyelesaian:

   Gunakan identitas $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}\sin 2x}{x}$$

   $$= \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x}{2x}$$

   $$= \frac{1}{2} \cdot 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1 \cdot 1 = 1$$