Limit Fungsi Aljabar

Memahami Limit Fungsi Aljabar

Bayangkan kamu sedang mengendarai mobil menuju suatu tempat. Semakin dekat kamu dengan tujuan, semakin jelas kamu dapat melihat detailnya. Dalam matematika, limit fungsi aljabar bekerja dengan cara serupa. Limit menunjukkan nilai yang didekati oleh fungsi aljabar ketika variabel inputnya mendekati nilai tertentu.

Fungsi aljabar adalah fungsi yang terbentuk dari kombinasi operasi aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan dengan pangkat rasional. Contohnya adalah fungsi polinomial seperti $f(x) = x^2 + 3x - 2$ dan fungsi rasional seperti $g(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$.

Sifat Fundamental Limit Aljabar

Untuk menghitung limit fungsi aljabar, kita dapat menggunakan sifat-sifat dasar yang sangat membantu:

Limit Fungsi Polinomial

Untuk fungsi polinomial yang kontinu di semua titik, perhitungan limit sangat sederhana. Kita dapat langsung mensubstitusi nilai yang didekati.

Misalkan $f(x) = x^4 - 5x^3 + x^2 - 7$, maka:

Karena fungsi polinomial kontinu di semua titik, kita dapat mensubstitusi langsung:

Limit Fungsi Rasional

Fungsi rasional memiliki bentuk $\frac{P(x)}{Q(x)}$ dimana $P(x)$ dan $Q(x)$ adalah polinomial. Perhitungan limitnya bergantung pada nilai penyebut:

• Jika penyebut tidak nol: Gunakan substitusi langsung seperti fungsi polinomial.

• Jika penyebut nol: Kita memperoleh bentuk tak tentu yang memerlukan manipulasi aljabar.

Mengatasi Bentuk Tak Tentu

Ketika substitusi langsung menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita perlu menggunakan teknik khusus.

Teknik Pemfaktoran

Metode paling umum adalah memfaktorkan pembilang dan penyebut, kemudian menyederhanakan.

Contoh: Hitung $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Substitusi langsung memberikan $\frac{0}{0}$. Mari kita faktorkan:

Karena $x$ mendekati 2 (bukan sama dengan 2), kita dapat membatalkan faktor $(x - 2)$:

Teknik Rasionalisasi

Untuk limit yang melibatkan bentuk akar, sering kali kita perlu merasionalkan. Substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu.

Contoh: Hitung $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$

Substitusi langsung:

Kita rasionalkan dengan mengalikan dengan bentuk sekawan $\sqrt{x} + 1$. Tujuannya adalah menghilangkan bentuk akar di pembilang menggunakan rumus $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

Karena $x \neq 1$ (mendekati 1), kita dapat membatalkan $(x - 1)$:

Penerapan Sifat Limit pada Fungsi Aljabar

Sifat-sifat limit yang telah kita pelajari dapat diterapkan secara sistematis:

Kombinasi Sifat

Contoh: Hitung $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 + 2x - 15}$

Substitusi langsung:

Mari kita faktorkan keduanya. Untuk $x^2 + 2x - 15$, kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya $-15$ dan jika dijumlahkan hasilnya $2$. Bilangan tersebut adalah $5$ dan $-3$.

Sehingga:

Substitusi $x = 3$: $\frac{3 + 3}{3 + 5} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Jika pembilang bukan nol dan penyebut nol (seperti $\frac{a}{0}$ dengan $a \neq 0$), limit menuju tak hingga. Jika pembilang dan penyebut keduanya nol (bentuk $\frac{0}{0}$), gunakan teknik pemfaktoran atau rasionalisasi.

Kontinuitas dan Limit

Suatu fungsi $f$ dikatakan kontinu di $x = c$ jika:

1. $f(c)$ ada (terdefinisi)
2. $\lim_{x \to c} f(x)$ ada
3. $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$

Fungsi polinomial kontinu di semua titik, sedangkan fungsi rasional kontinu di semua titik kecuali dimana penyebutnya nol.

Latihan

1. Hitung $\lim_{x \to 2} (x^4 - 5x^3 + x^2 - 7)$

2. Hitung $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 + 16x + 28}$

3. Hitung $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}$

4. Tentukan apakah fungsi $f(x) = x^2 - 2x + 1$ kontinu di $x = 1$

5. Hitung $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Karena ini adalah fungsi polinomial yang kontinu di semua titik, kita dapat substitusi langsung:

   $$\lim_{x \to 2} (x^4 - 5x^3 + x^2 - 7) = 2^4 - 5(2^3) + 2^2 - 7$$

   $$= 16 - 5(8) + 4 - 7 = 16 - 40 + 4 - 7 = -27$$

2. Penyelesaian:

   Karena ini fungsi rasional dengan penyebut tidak nol di $x = 2$, gunakan substitusi langsung:

   $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 + 16x + 28} = \frac{2^2 - 6(2) + 8}{2^2 + 16(2) + 28}$$

   $$= \frac{4 - 12 + 8}{4 + 32 + 28} = \frac{0}{64} = 0$$

3. Penyelesaian:

   Substitusi langsung memberikan $\frac{0}{0}$. Mari faktorkan pembilang:

   $$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$$

   $$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x - 1) = 1 - 1 = 0$$

4. Penyelesaian:

   Untuk memeriksa kontinuitas di $x = 1$, periksa tiga syarat:

   • Syarat 1 (fungsi terdefinisi): $f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$ ✓ (ada)

   • Syarat 2 (limit ada): Karena fungsi polinomial, $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 0$ ✓ (ada)

   • Syarat 3 (limit sama dengan nilai fungsi): $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 0$ ✓ (sama)

   Karena ketiga syarat kontinuitas terpenuhi, fungsi kontinu di $x = 1$.

5. Penyelesaian:

   Substitusi langsung: $\frac{\sqrt{0 + 4} - 2}{0} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}$ (bentuk tak tentu).

   Gunakan rasionalisasi dengan mengalikan bentuk sekawan $\sqrt{x + 4} + 2$:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 4} + 2}{\sqrt{x + 4} + 2}$$

   $$= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 4})^2 - 2^2}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{(x + 4) - 4}{x(\sqrt{x + 4} + 2)}$$

   $$= \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}$$

   $$= \frac{1}{\sqrt{0 + 4} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$$