Definisi Determinan

Konsep Dasar Determinan

Determinan adalah alat matematika yang sangat penting dalam aljabar linear. Bayangkan determinan sebagai pengukur "kekuatan" suatu matriks, ia memberitahu kita seberapa besar perubahan yang dialami suatu ruang ketika ditransformasi oleh matriks tersebut.

Setiap matriks persegi memiliki satu nilai determinan yang unik. Nilai ini bisa positif, negatif, atau nol, dan masing-masing memberitahu kita informasi yang berbeda tentang matriks tersebut.

Determinan adalah fungsi khusus yang mengambil matriks persegi dan menghasilkan satu bilangan real:

\det : \mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R} : A \mapsto \det A

Fungsi ini unik karena memiliki tiga sifat khas yang tidak dimiliki fungsi lain.

Tiga Sifat Penentu Determinan

Sifat Linear pada Setiap Baris

Determinan bersifat linear pada setiap baris matriks. Artinya, jika kita mengubah satu baris, determinan akan berubah secara linear.

Ketika kita menjumlahkan dua vektor dalam satu baris:

\det \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_i + a_i' \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_i \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}

+ \det \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_i' \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}

Ketika kita mengalikan satu baris dengan skalar:

\det \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ \lambda \cdot a_i \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}

= \lambda \cdot \det \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_i \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}

Sifat Antisimetris

Determinan bersifat antisimetris, jika ada dua baris yang identik, determinan langsung menjadi nol:

\det \begin{pmatrix} \vdots \\ a \\ \vdots \\ a \\ \vdots \end{pmatrix} = 0

Ini masuk akal karena jika dua baris sama, matriks tidak dapat memiliki peringkat penuh.

Sifat Normalisasi

Determinan dinormalisasi sehingga determinan matriks identitas selalu bernilai 1:

\det I = 1

Di mana $I$ adalah matriks identitas berukuran berapa pun.

Operasi Matriks dan Determinan

Jika kita mengalikan seluruh matriks dengan skalar $\lambda$ , determinan akan terdampak dengan pangkat n:

\det(\lambda A) = \lambda^n \cdot \det A

Ini karena setiap baris dikalikan dengan $\lambda$ , dan ada $n$ baris total.

Ketika kita menukar dua baris matriks, determinan berubah tanda:

\det B = -\det A

Yang menarik, ketika kita menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain, determinan tidak berubah:

\det \begin{pmatrix} \vdots \\ a_j \\ \vdots \\ a_i + \lambda a_j \\ \vdots \end{pmatrix}

= \det \begin{pmatrix} \vdots \\ a_j \\ \vdots \\ a_i \\ \vdots \end{pmatrix}

Mengalikan baris dengan skalar $\lambda \neq 0$ mengubah determinan menjadi $\det A' = \lambda \cdot \det A$ . Menukar baris mengubah tanda menjadi $\det A' = -\det A$ . Menambahkan kelipatan baris lain tidak mengubah determinan sama sekali.

Hubungan dengan Keterbalikan Matriks

Determinan adalah kunci untuk memahami apakah matriks dapat dibalik. Untuk matriks persegi A, kondisi berikut setara:

Matriks A dapat dibalik
Terdapat matriks invers $A^{-1}$ yang memenuhi $AA^{-1} = I$
Peringkat matriks penuh: $\text{peringkat}(A) = n$
Kernel hanya berisi nol: $\ker(A) = \{0\}$
Kolom-kolom linear independen
Baris-baris linear independen
Determinan tidak nol: $\det A \neq 0$

Jika determinan nol, matriks "meratakan" ruang ke dimensi yang lebih rendah, sehingga transformasi tidak dapat dibalik.

Jika baris-baris matriks saling bergantung secara linear, determinan pasti nol. Ini terjadi karena sifat antisimetris determinan, dependensi linear menciptakan situasi di mana kita bisa membuat baris yang identik melalui operasi linear.

Sifat Perkalian dan Matriks Similar

Salah satu sifat paling berguna determinan adalah cara ia berinteraksi dengan perkalian matriks:

\det(AB) = \det A \cdot \det B

Jika matriks $A$ dapat dibalik, determinan inversnya adalah:

\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}

Dua matriks $A$ dan $B$ disebut serupa jika ada matriks dapat diinversi $S$ sehingga:

B = S^{-1}AS

Matriks yang serupa memiliki determinan yang sama. Buktinya sederhana:

\det B = \det(S^{-1}AS)

= \det(S^{-1}) \cdot \det A \cdot \det S

= \frac{1}{\det S} \cdot \det A \cdot \det S = \det A

Ketika melakukan eliminasi Gauss dengan $p$ pertukaran baris, determinan matriks hasil $R$ adalah:

\det R = (-1)^p \cdot \det A

Ini memberikan metode praktis untuk menghitung determinan.

Kesalahan Umum tentang Determinan

Penting untuk diingat bahwa determinan tidak bersifat additif:

\det(A + B) \neq \det A + \det B

Sebagai contoh sederhana:

\det\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right)

= \det\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 4

Tetapi:

\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

= 1 + 1 = 2

Jelas bahwa $4 \neq 2$ , sehingga determinan tidak bersifat additif pada penjumlahan matriks.

Command Palette