Perhitungan Determinan

Metode Perhitungan Determinan

Setelah memahami konsep dasar determinan, kita perlu mengetahui cara menghitungnya secara praktis. Ada beberapa metode yang bisa digunakan tergantung pada bentuk matriks yang kita hadapi.

Untuk matriks berukuran kecil, kita bisa menggunakan rumus langsung. Namun untuk matriks yang lebih besar, kita memerlukan strategi yang lebih efisien.

Kasus Dasar Matriks 1×1

Untuk matriks berukuran $1 \times 1$ , determinan sangat sederhana. Jika $A \in \mathbb{R}^{1 \times 1}$ dengan $A = (a_{11})$ , maka:

\det A = a_{11}

Ini adalah kasus paling dasar yang menjadi fondasi untuk perhitungan determinan matriks yang lebih besar.

Sebelum membahas metode ekspansi kofaktor, kita perlu memahami konsep submatriks. Untuk matriks $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ dan indeks $i, j \in \{1, 2, \ldots, n\}$ , submatriks $A_{ij}$ adalah matriks berukuran $(n-1) \times (n-1)$ yang diperoleh dengan menghilangkan baris $i$ dan kolom $j$ dari matriks $A$ .

Mari kita lihat contoh untuk matriks $3 \times 3$ . Misalkan kita memiliki:

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

Untuk mendapatkan submatriks $A_{12}$ , kita menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-2:

A_{12} = \begin{pmatrix} \cancel{a_{11}} & \cancel{a_{12}} & \cancel{a_{13}} \\ a_{21} & \cancel{a_{22}} & a_{23} \\ a_{31} & \cancel{a_{32}} & a_{33} \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix}

Untuk submatriks $A_{23}$ , kita menghilangkan baris ke-2 dan kolom ke-3:

A_{23} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cancel{a_{13}} \\ \cancel{a_{21}} & \cancel{a_{22}} & \cancel{a_{23}} \\ a_{31} & a_{32} & \cancel{a_{33}} \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}

Proses ini berlaku untuk semua kombinasi baris dan kolom yang dihilangkan.

Ekspansi Kofaktor

Metode yang paling umum untuk menghitung determinan adalah ekspansi kofaktor. Untuk matriks $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ dengan $n > 1$ , determinan dapat dihitung menggunakan rumus:

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}

untuk kolom $j$ yang tetap dan dipilih secara bebas.

Dalam rumus ini, istilah $(-1)^{i+j} \cdot \det A_{ij}$ disebut kofaktor dari elemen $a_{ij}$ . Tanda $(-1)^{i+j}$ memberikan pola papan catur untuk menentukan tanda positif atau negatif.

Contoh Ekspansi Kofaktor 3×3

Mari kita lihat contoh ekspansi kofaktor untuk matriks 3×3:

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}

Kita pilih baris pertama untuk ekspansi:

\det A = 2 \cdot (-1)^{1+1} \det A_{11} + 1 \cdot (-1)^{1+2} \det A_{12} + 3 \cdot (-1)^{1+3} \det A_{13}

= 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

= 2 \cdot (4 \cdot 0 - 1 \cdot 2) - 1 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + 3 \cdot (0 \cdot 2 - 4 \cdot 1)

= 2 \cdot (-2) - 1 \cdot (-1) + 3 \cdot (-4) = -4 + 1 - 12 = -15

Kita bisa melakukan ekspansi berdasarkan baris atau kolom mana pun. Biasanya kita memilih baris atau kolom yang memiliki banyak nol untuk mempermudah perhitungan.

Matriks Segitiga dan Diagonal

Untuk beberapa jenis matriks khusus, perhitungan determinan menjadi sangat sederhana:

Matriks Segitiga Atas

Untuk matriks segitiga atas $R$ :

R = \begin{pmatrix} r_{11} & * & \cdots & * \\ 0 & r_{22} & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & r_{nn} \end{pmatrix}

Determinannya adalah:

\det R = r_{11} \cdot r_{22} \cdot \ldots \cdot r_{nn}

Matriks Segitiga Bawah

Untuk matriks segitiga bawah $L$ :

L = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ * & l_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ * & * & \cdots & l_{nn} \end{pmatrix}

Determinannya adalah:

\det L = l_{11} \cdot l_{22} \cdot \ldots \cdot l_{nn}

Matriks Diagonal

Untuk matriks diagonal $D$ :

D = \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_{nn} \end{pmatrix}

Determinannya adalah:

\det D = d_{11} \cdot d_{22} \cdot \ldots \cdot d_{nn}

Pada ketiga jenis matriks ini, determinan sama dengan perkalian semua elemen diagonal utama.

Matriks Elementer

Matriks elementer adalah matriks yang diperoleh dari matriks identitas dengan satu operasi baris elementer. Determinan matriks elementer memiliki nilai yang mudah dihitung:

Matriks skalar $S_i(\lambda)$ yang mengalikan baris ke-i dengan $\lambda$ :

$\det S_i(\lambda) = \lambda$
Matriks pertukaran $Q_i^j(\lambda)$ yang menukar baris ke-i dan ke-j:

$\det Q_i^j(\lambda) = 1$
Matriks transveksi $P_i^j$ yang menambahkan kelipatan baris ke-j ke baris ke-i:

$\det P_i^j = -1$

Perhatikan bahwa matriks pertukaran memiliki determinan 1, bukan -1 seperti yang sering dikira. Tanda negatif muncul ketika kita melakukan operasi pertukaran baris pada matriks lain.

Eliminasi Gauss untuk Perhitungan Determinan

Salah satu metode paling efisien untuk menghitung determinan adalah menggunakan eliminasi Gauss. Prosesnya adalah mengubah matriks menjadi bentuk segitiga atas, lalu mengalikan elemen-elemen diagonal.

Ketika matriks $A$ ditransformasi menjadi bentuk segitiga atas $R$ melalui eliminasi Gauss, kita perlu menghitung berapa kali pertukaran baris dilakukan. Jika ada $p$ pertukaran baris, maka:

\det A = (-1)^p \cdot \det R

Karena $R$ adalah matriks segitiga atas:

\det R = r_{11} \cdot r_{22} \cdot \ldots \cdot r_{nn}

Sehingga:

\det A = (-1)^p \cdot r_{11} \cdot r_{22} \cdot \ldots \cdot r_{nn}

Efisiensi Metode

Eliminasi Gauss memiliki kompleksitas waktu $O(\frac{1}{3}n^3)$ , yang jauh lebih efisien dibandingkan ekspansi kofaktor yang memiliki kompleksitas $O(n!)$ .

Untuk matriks besar yang tidak terstruktur, eliminasi Gauss adalah metode yang paling praktis dan dapat diandalkan.

Contoh Perhitungan Lengkap

Mari kita lihat contoh perhitungan determinan menggunakan eliminasi Gauss:

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Langkah 1: Tukar baris 1 dan 3 untuk mendapatkan pivot yang tidak nol:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}

Langkah 2: Eliminasi kolom pertama dengan mengurangi 2 kali baris 1 dari baris 2:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}

Langkah 3: Eliminasi kolom kedua dengan mengurangi 1.5 kali baris 2 dari baris 3:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} = R

Karena ada satu pertukaran baris ( $p = 1$ ):

\det A = (-1)^1 \cdot \det R

= (-1)^1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6

= -12

Command Palette