Kemampuan Identifikasi dan Pemeringkatan

Definisi Kemampuan Identifikasi

Kemampuan identifikasi menentukan apakah semua parameter dalam suatu model dapat ditentukan secara unik dari data yang tersedia. Bayangkan seperti seorang detektif yang mencoba mengidentifikasi tersangka dari petunjuk yang ada. Jika petunjuknya cukup dan tidak saling bertentangan, identifikasi dapat dilakukan dengan pasti.

Untuk matriks $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ , vektor $b \in \mathbb{R}^m$ , dengan $m \geq n$ , masalah kuadrat terkecil

\min_x \|Ax - b\|_2^2

bertujuan mengestimasi parameter $x \in \mathbb{R}^n$ melalui sistem persamaan normal yang bersesuaian

A^T x = A^T b

Ketika sistem ini memiliki solusi yang unik, semua parameter dapat diidentifikasi.

Kondisi Identifikasi Penuh

Semua parameter dapat diidentifikasi dengan tepat ketika matriks $A$ memiliki peringkat penuh $n$ .

Secara matematis, kondisi ini dapat ditulis sebagai

\text{Peringkat}(A) = \min(m, n) = n

Kondisi peringkat penuh seperti memastikan bahwa setiap parameter memberikan informasi yang benar-benar baru dan tidak tumpang tindih. Mirip dengan kasus detektif yang memiliki cukup petunjuk independen untuk mengidentifikasi setiap tersangka tanpa kebingungan. Setiap parameter memberikan informasi yang tidak dapat diperoleh dari parameter lainnya, sehingga estimasi menjadi unik dan stabil.

Penentuan Peringkat Matriks

Peringkat matriks $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ dapat diperoleh selama proses komputasi dekomposisi QR atau dekomposisi LU dari matriks $A$ . Namun, pendekatan yang lebih mahal secara komputasi tetapi lebih stabil secara numerik adalah menentukan peringkat menggunakan dekomposisi nilai singular dari $A$ .

Perbedaan antara kedua pendekatan ini seperti membandingkan pengukuran dengan penggaris biasa dibandingkan dengan pengukuran menggunakan alat presisi tinggi. Dekomposisi nilai singular memberikan informasi yang lebih detail dan robust tentang struktur numerik matriks, terutama untuk kasus mendekati singular.

Dekomposisi Nilai Singular

Untuk matriks $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ dengan $\text{Peringkat}(A) = r$ , terdapat matriks ortogonal $U \in \mathbb{R}^{m \times m}$ dan $V \in \mathbb{R}^{n \times n}$ serta matriks $S = (s_{ij})_{i=1,\ldots,m}$ dengan $s_{ij} = 0$ untuk semua $i \neq j$ dan entri diagonal non-negatif $s_{11} \geq s_{22} \geq \cdots \geq 0$ , sehingga

A = USV^T

Representasi ini disebut dekomposisi nilai singular dari $A$ . Nilai $\sigma_i = s_{ii}$ disebut nilai singular dari $A$ . Matriks $U$ dan $V$ tidak ditentukan secara unik.

Dekomposisi ini seperti membongkar sebuah mesin kompleks menjadi komponen dasarnya. Kita dapat melihat bagaimana matriks mentransformasi ruang vektor, termasuk arah utama transformasi dan seberapa besar scaling yang terjadi dalam setiap arah.

Hubungan Nilai Singular dengan Peringkat

Jumlah nilai singular yang tidak nol dari matriks $A$ sama dengan $\text{Peringkat}(A)$ .

Secara matematis, ini berarti

\text{Peringkat}(A) = \#\{\sigma_i : \sigma_i > 0\}

dimana $\#$ menunjukkan jumlah elemen dalam himpunan.

Sifat fundamental ini memberikan cara numerik yang stabil untuk menentukan peringkat matriks. Nilai singular yang sangat kecil seperti sinyal radio yang lemah, masih ada tetapi hampir tidak terdeteksi.

Kondisi Defisiensi Peringkat

Istilah defisiensi peringkat merujuk pada kondisi ketika matriks tidak memiliki peringkat penuh. Artinya, $\text{Peringkat}(A) < \min(m, n)$ . Dalam konteks ini, beberapa baris atau kolom matriks saling bergantung secara linear.

Ketika matriks mengalami defisiensi peringkat, beberapa nilai singular menjadi nol atau sangat mendekati nol

\sigma_r > \sigma_{r+1} = \sigma_{r+2} = \cdots = \sigma_{\min(m,n)} = 0

Kondisi ini menandakan bahwa sistem persamaan memiliki lebih dari satu solusi atau bahkan tidak memiliki solusi unik. Dalam praktik numerik, kita sering menggunakan ambang batas (threshold) $\epsilon$ untuk menentukan apakah nilai singular dianggap nol

\sigma_i \leq \epsilon \cdot \sigma_1

dimana $\epsilon$ biasanya berkisar antara $10^{-12}$ hingga $10^{-16}$ tergantung presisi komputasi.

Komputasi Dekomposisi Nilai Singular

Dekomposisi nilai singular dapat dihitung menggunakan nilai eigen dan vektor eigen dari $A^T A$ . Hubungan matematisnya adalah

A^T A = V \Sigma^2 V^T

dimana $\Sigma^2 = \text{diag}(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots, \sigma_n^2)$ adalah matriks diagonal yang memiliki nilai-nilai $\sigma_i^2$ pada diagonal utama dan nol di tempat lain

\Sigma^2 = \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma_2^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \sigma_n^2 \end{pmatrix}

Dalam pustaka numerik, tersedia fungsi khusus untuk komputasi ini yang disebut SVD (singular value decomposition). Implementasi SVD dalam pustaka numerik modern menggunakan algoritma yang sangat efisien dan stabil, menjadikannya alat yang dapat diandalkan untuk berbagai aplikasi dalam analisis matriks dan komputasi ilmiah.

Command Palette