Kondisi Matriks

Norma Matriks dari Norma Vektor

Pernahkah kamu bertanya-tanya bagaimana kita bisa mengukur "ukuran" sebuah matriks? Sama seperti vektor yang memiliki panjang, matriks juga memerlukan konsep "ukuran" yang disebut norma matriks. Yang menarik adalah, kita dapat membangun norma matriks langsung dari norma vektor yang sudah kita kenal.

Jika kita memiliki norma vektor pada ruang $\mathbb{R}^n$ , maka kita dapat mendefinisikan norma matriks yang sesuai pada $\mathbb{R}^{n \times n}$ melalui formula:

\|A\| = \sup_{x \in \mathbb{R}^n} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \max_{x \in \mathbb{R}^n: \|x\|=1} \|Ax\|

Norma yang dihasilkan dengan cara ini disebut norma matriks alami yang diinduksi oleh norma vektor. Norma ini memiliki dua sifat penting yang membuatnya sangat berguna dalam analisis numerik.

Sifat Kompatibilitas: Untuk semua matriks $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ dan vektor $x \in \mathbb{R}^n$ , berlaku:

$\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$
Sifat Multiplikatif: Untuk semua matriks $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , berlaku:

$\|AB\| \leq \|A\| \cdot \|B\|$

Kedua sifat ini sangat fundamental karena memastikan bahwa norma matriks berperilaku konsisten dengan operasi perkalian matriks dan vektor.

Contoh Norma Matriks Khusus

Mari kita lihat beberapa contoh konkret dari norma matriks yang sering digunakan dalam praktik.

Norma Maksimum Kolom: Jika kita menggunakan norma $\|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$ pada vektor, maka norma matriks yang diinduksi adalah:

$\|A\|_1 = \max_{j=1,\ldots,n} \sum_{i=1}^n |a_{ij}|$

Ini berarti kita mencari kolom dengan jumlah nilai absolut terbesar.
Norma Maksimum Baris: Jika kita menggunakan norma maksimum $\|x\|_\infty = \max_{i=1,\ldots,n} |x_i|$ pada vektor, maka norma matriks yang diinduksi adalah:

$\|A\|_\infty = \max_{i=1,\ldots,n} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|$

Ini berarti kita mencari baris dengan jumlah nilai absolut terbesar.

Kedua norma ini sangat mudah dihitung dan memberikan estimasi yang baik untuk analisis stabilitas algoritma numerik.

Stabilitas Sistem Linear

Mengapa kita perlu memahami kondisi matriks? Jawabannya terletak pada masalah stabilitas numerik. Ketika kita menyelesaikan sistem persamaan linear $Ax = b$ menggunakan komputer, selalu ada kemungkinan kesalahan kecil dalam data atau perhitungan.

Bayangkan kita memiliki sistem yang sedikit terganggu. Alih-alih menyelesaikan $Ax = b$ , kita sebenarnya menyelesaikan sistem yang terganggu $\tilde{A}\tilde{x} = \tilde{b}$ dimana $\tilde{A} = A + \delta A$ dan $\tilde{b} = b + \delta b$ .

Pertanyaan krusialnya adalah seberapa besar pengaruh gangguan kecil $\delta A$ dan $\delta b$ terhadap solusi $\tilde{x}$ ?

Jika matriks $A$ adalah reguler dan gangguan cukup kecil sehingga $\|\delta A\| < \frac{1}{\|A^{-1}\|}$ , maka matriks yang terganggu $\tilde{A} = A + \delta A$ juga reguler.

Untuk kesalahan relatif dalam solusi, kita memperoleh estimasi:

\frac{\|\delta x\|}{\|x\|} \leq \frac{\text{cond}(A)}{1 - \text{cond}(A)\|\delta A\|/\|A\|} \left( \frac{\|\delta b\|}{\|b\|} + \frac{\|\delta A\|}{\|A\|} \right)

dimana $\text{cond}(A)$ adalah bilangan kondisi matriks $A$ .

Bilangan kondisi mengukur sensitivitas solusi sistem linear terhadap gangguan kecil dalam data masukan.

Spektralradius dan Nilai Eigen

Sebelum membahas bilangan kondisi lebih lanjut, kita perlu memahami konsep spektralradius. Spektralradius suatu matriks $A$ didefinisikan sebagai:

\text{spr}(A) = \max\{|\lambda| : \lambda \text{ adalah nilai eigen dari } A\}

Spektralradius memberikan informasi tentang nilai eigen dengan magnitudo terbesar dari matriks tersebut.

Ada hubungan menarik antara spektralradius dan norma matriks. Untuk setiap nilai eigen $\lambda$ dari matriks $A$ , berlaku:

|\lambda| \leq \|A\|

Ini berarti norma matriks memberikan batas atas untuk semua nilai eigen.

Hasil yang lebih spesifik berlaku untuk norma spektral atau norma-2 matriks. Untuk matriks simetris $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , norma spektral sama dengan spektralradius:

\|A\|_2 = \max\{|\lambda| : \lambda \text{ nilai eigen dari } A\} = \text{spr}(A)

Untuk matriks umum, norma spektral dihitung sebagai:

\|A\|_2 = \sqrt{\text{spr}(A^T A)}

Bilangan Kondisi

Sekarang kita sampai pada konsep sentral dalam analisis numerik, yaitu bilangan kondisi. Untuk matriks yang dapat dibalik $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , bilangan kondisi didefinisikan sebagai berikut.

\text{cond}(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|

Bilangan kondisi mengukur seberapa "buruk" suatu matriks dalam konteks stabilitas numerik. Semakin besar bilangan kondisi, semakin sensitif sistem terhadap gangguan kecil.

Kondisi Spektral

Untuk matriks simetris, kita dapat menghitung bilangan kondisi secara eksplisit menggunakan nilai eigen. Kondisi spektral matriks simetris adalah:

\text{cond}_2(A) = \frac{|\lambda_{\max}|}{|\lambda_{\min}|}

dimana $\lambda_{\max}$ dan $\lambda_{\min}$ adalah nilai eigen dengan magnitudo terbesar dan terkecil.

Kondisi spektral memberikan interpretasi yang sangat jelas. Matriks memiliki kondisi yang buruk jika:

Nilai eigennya sangat berbeda dalam magnitudo (rasio besar)
Ada nilai eigen yang sangat kecil (mendekati singular)

Sebaliknya, matriks dengan kondisi baik memiliki nilai eigen yang relatif seragam dalam magnitudo.

Bilangan kondisi memberikan ukuran kuantitatif tentang seberapa sensitif solusi sistem linear terhadap gangguan kecil dalam data masukan.