Produk Skalar

Definisi Produk Skalar

Produk skalar adalah operasi fundamental yang memungkinkan kita menghitung "perkalian" antara dua vektor dengan hasil berupa bilangan skalar. Melalui setiap matriks definit positif, kita dapat mendefinisikan produk skalar pada ruang vektor.

Produk skalar pada ruang kompleks $\mathbb{C}^n$ adalah bentuk sesquilinear Hermitian yang definit positif dengan tiga sifat utama.

Sifat Sesquilinear

Untuk semua vektor $x, y, z \in \mathbb{C}^n$ dan skalar $\lambda, \mu \in \mathbb{C}$ , produk skalar memenuhi:

\langle \lambda x + \mu y, z \rangle_A = \overline{\lambda} \langle x, z \rangle_A + \overline{\mu} \langle y, z \rangle_A

\langle x, \lambda y + \mu z \rangle_A = \lambda \langle x, y \rangle_A + \mu \langle x, z \rangle_A

Sifat ini disebut sesquilinear karena semilinear pada argumen pertama dan linear pada argumen kedua.

Sifat Hermitian

Untuk semua vektor $x, y \in \mathbb{C}^n$ , berlaku:

\langle y, x \rangle_A = \overline{\langle x, y \rangle_A}

Sifat Definit Positif

Untuk semua vektor $x \in \mathbb{C}^n$ , berlaku:

\langle x, x \rangle_A \geq 0

\langle x, x \rangle_A = 0 \Leftrightarrow x = 0

Dengan demikian, produk skalar adalah bentuk sesquilinear Hermitian yang definit positif pada $\mathbb{C}^n$ .

Produk Skalar pada Ruang Real

Jika $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ adalah matriks definit positif, maka pemetaan:

\langle \cdot, \cdot \rangle_A : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} : (x, y) \mapsto \langle x, y \rangle_A = x^T A y

memiliki sifat-sifat berikut:

Bilinear: Untuk semua vektor $x, y, z \in \mathbb{R}^n$ dan skalar $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ , berlaku:

$\langle \lambda x + \mu y, z \rangle_A = \lambda \langle x, z \rangle_A + \mu \langle y, z \rangle_A$
$\langle x, \lambda y + \mu z \rangle_A = \lambda \langle x, y \rangle_A + \mu \langle x, z \rangle_A$

Sifat ini disebut bilinear karena linear pada kedua argumen.
Simetris: Untuk semua vektor $x, y \in \mathbb{R}^n$ , berlaku:

$\langle y, x \rangle_A = \langle x, y \rangle_A$
Definit Positif: Untuk semua vektor $x \in \mathbb{R}^n$ , berlaku:

$\langle x, x \rangle_A \geq 0$
$\langle x, x \rangle_A = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Dengan demikian, produk skalar adalah bentuk bilinear simetris yang definit positif pada $\mathbb{R}^n$ .

Produk Skalar pada Ruang Kompleks

Generalisasi ke ruang kompleks melibatkan peran penting konjugat kompleks. Jika $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ adalah matriks definit positif, maka pemetaan:

\langle \cdot, \cdot \rangle_A : \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \to \mathbb{C} : (x, y) \mapsto \langle x, y \rangle_A = x^H A y

memiliki sifat-sifat yang sama seperti definisi umum di atas, yaitu sesquilinear pada argumen pertama, linear pada argumen kedua, Hermitian dengan konjugat kompleks, dan definit positif.

Hal ini menunjukkan bahwa ketika kita beralih ke ruang kompleks, konjugat kompleks berperan penting dalam mempertahankan struktur produk skalar yang konsisten.

Representasi Matriks

Hasil penting dalam teori produk skalar adalah bahwa setiap produk skalar dapat dinyatakan dalam bentuk matriks yang sesuai.

Setiap produk skalar $s(x, y)$ pada $\mathbb{R}^n$ maupun pada $\mathbb{C}^n$ dapat dinyatakan dalam bentuk:

s(x, y) = x^T A y \text{ (untuk kasus real)}

s(x, y) = x^H A y \text{ (untuk kasus kompleks)}

melalui matriks definit positif $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ yang sesuai atau $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ .

Elemen-elemen matriks $A$ dapat dihitung sebagai:

a_{ij} = s(e_i, e_j) \text{ untuk } i, j = 1, \ldots, n

dimana $e_i$ adalah vektor basis standar.

Contoh Produk Skalar Standar

Contoh paling sederhana adalah produk skalar standar yang menggunakan matriks identitas $I$ .

Produk skalar standar didefinisikan sebagai:

\langle x, y \rangle = x^T y \text{ (untuk kasus real)}

\langle x, y \rangle = x^H y \text{ (untuk kasus kompleks)}

Produk skalar standar ini diperoleh dengan menggunakan matriks identitas sebagai matriks representasinya, sehingga semua sifat yang diperlukan terpenuhi secara alami.

Melalui hubungan antara produk skalar dan matriks definit positif, kita dapat membangun berbagai jenis produk skalar yang sesuai dengan kebutuhan aplikasi tertentu.

Command Palette