Polinomial Ortogonal

Perkalian Skalar Berbobot

Dalam analisis numerik, kita sering perlu mengukur perbedaan antara dua fungsi menggunakan norma maksimum. Norma ini didefinisikan sebagai:

\|f - g\|_\infty = \max_{x \in [-1,1]} |f(x) - g(x)|

Secara umum, norma maksimum dapat menjadi sangat besar, terutama di dekat ujung interval dimana kesalahan besar sering muncul. Bayangkan seperti mengukur ketinggian gunung hanya dari puncak tertinggi saja tanpa mempertimbangkan kemiringan lerengnya.

Untuk mengatasi masalah ini, kita dapat menggunakan perkalian skalar berbobot yang memberikan penekanan berbeda pada setiap bagian interval:

\langle f, g \rangle_\omega = \int_{-1}^{1} f(x)g(x)\omega(x) \, dx

dengan fungsi bobot:

\omega(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Fungsi bobot ini memberikan penekanan yang lebih kuat pada ujung interval, sehingga dapat menekan kesalahan besar yang biasanya terjadi di daerah tersebut.

Ortogonalisasi dan Polinomial Chebyshev

Ketika kita mengortogonalisasi basis monomial $1, x, \ldots, x^n$ terhadap perkalian skalar berbobot ini, kita memperoleh polinomial ortogonal $p_k$ yang memenuhi hubungan rekursi dua tingkat. Proses ini seperti mengatur ulang bangunan blok agar setiap lantai berdiri tegak lurus sempurna terhadap lantai lainnya:

p_0(x) = 1

p_1(x) = x

p_{k+1}(x) = 4xp_k(x) - 4p_{k-1}(x), \quad k = 1, \ldots, n

Norma dari polinomial ini adalah:

\|p_k\|_\omega = \begin{cases} \sqrt{\pi}, & k = 0 \\ \sqrt{\pi/2}, & k \neq 0 \end{cases}

p_k(1) = 2^{k-1}

Jika kita melakukan normalisasi pada $x = 1$ , kita memperoleh polinomial Chebyshev yang sangat terkenal:

T_k(x) = 2^{1-k}p_k(x) = \cos(k \arccos(x)), \quad k = 0, 1, 2, \ldots

Bentuk trigonometri ini menunjukkan bahwa polinomial Chebyshev pada dasarnya adalah transformasi dari fungsi kosinus yang disesuaikan untuk interval $[-1, 1]$ .

Terdapat suatu teorema yang menyatakan bahwa hubungan rekursi dua arah berlaku umum untuk polinomial yang berasal dari basis monomial pada ruang $C([-1, 1])$ dengan sifat simetri tertentu. Perkalian skalar memenuhi hubungan:

\langle p, xq \rangle = \langle xp, q \rangle

untuk semua polinomial $p, q \in P$ .

Proses Gram-Schmidt

Melalui proses ortogonalisasi Gram-Schmidt dari basis $1, x, \ldots, x^n$ , kita memperoleh polinomial ortogonal $\tilde{p}_k$ dengan $k = 0, \ldots, n$ . Proses ini seperti membuat kerangka bangunan dimana setiap balok diposisikan berdasarkan balok sebelumnya dengan perhitungan yang akurat:

\tilde{p}_0(x) = 1

\tilde{p}_1(x) = x - \beta_0

\tilde{p}_{k+1}(x) = (x - \beta_k)\tilde{p}_k(x) - \gamma_k\tilde{p}_{k-1}(x), \quad k = 1, \ldots, n

dengan koefisien:

\beta_k = \frac{\langle x\tilde{p}_k, \tilde{p}_k \rangle}{\|\tilde{p}_k\|^2}, \quad k = 0, \ldots, n

\gamma_k = \frac{\|\tilde{p}_k\|^2}{\|\tilde{p}_{k-1}\|^2}, \quad k = 1, \ldots, n

Polinomial ortonormal kemudian diperoleh melalui:

p_k = \|\tilde{p}_k\|^{-1}\tilde{p}_k, \quad k = 0, \ldots, n

Polinomial Legendre

Untuk ortonormalisasi basis $1, x, \ldots, x^n$ terhadap perkalian skalar standar:

\langle f, g \rangle = \int_{-1}^{1} f(x)g(x) \, dx

kita memperoleh polinomial yang terkait dengan polinomial Legendre:

\varphi_k(x) = \frac{(2k-2)!}{(k-1)!^2} \sqrt{\frac{2k-1}{2^{k-1}}} L_{k-1}(x), \quad k = 1, \ldots, n+1

dimana $L_k(x)$ adalah polinomial Legendre yang didefinisikan melalui hubungan rekursi dua tingkat.

Polinomial Legendre sendiri didefinisikan sebagai:

L_0(x) = 1

L_1(x) = x

L_{k+1}(x) = xL_k(x) - \frac{k^2}{4k^2-1}L_{k-1}(x), \quad k = 1, \ldots, n

Terhadap perkalian skalar standar, polinomial Legendre menghasilkan sistem ortonormal $\varphi_i : [-1, 1] \to \mathbb{R}$ dengan $i = 0, \ldots, n$ yang memenuhi:

\langle \varphi_i, \varphi_j \rangle_t = \delta_{ij}

Transformasi ke Interval Berbeda

Ketika kita memiliki interval aproksimasi lain $[a, b]$ yang berbeda dari interval standar, kita melakukan substitusi variabel linear. Proses ini seperti mengubah skala peta dari satu wilayah ke wilayah lain sambil mempertahankan proporsi yang tepat:

x = a + \frac{b-a}{2}(t+1) \in [a, b]

t = -1 + \frac{2}{b-a}(x-a) \in [-1, 1]

Maka diferensial menjadi:

dx = \frac{b-a}{2}dt

Pada interval $[a, b]$ terdapat polinomial $\tilde{\varphi}_i : [a, b] \to \mathbb{R}$ dengan $i = 0, \ldots, n$ yang dinyatakan sebagai:

\tilde{\varphi}_i(x) = \sqrt{\frac{2}{b-a}}\varphi_i\left(-1 + \frac{2}{b-a}(x-a)\right) = \sqrt{\frac{2}{b-a}}\varphi_i(t)

Verifikasi Sifat Ortonormal

Kita dapat memverifikasi bahwa sifat ortonormal tetap berlaku setelah transformasi:

\langle \tilde{\varphi}_i, \tilde{\varphi}_j \rangle_x = \int_a^b \tilde{\varphi}_i(x)\tilde{\varphi}_j(x) \, dx

= \int_a^b \sqrt{\frac{2}{b-a}}\varphi_i\left(-1 + \frac{2}{b-a}(x-a)\right)

\times \sqrt{\frac{2}{b-a}}\varphi_j\left(-1 + \frac{2}{b-a}(x-a)\right) \, dx

Dengan substitusi, kita memperoleh:

= \int_{-1}^1 \frac{2}{b-a}\varphi_i(t)\varphi_j(t) \frac{b-a}{2} \, dt

= \int_{-1}^1 \varphi_i(t)\varphi_j(t) \, dt = \langle \varphi_i, \varphi_j \rangle_t = \delta_{ij}

Dengan demikian:

\langle f, \tilde{\varphi}_i \rangle_x = \int_a^b f(x)\varphi_i\left(-1 + \frac{2}{b-a}(x-a)\right)\sqrt{\frac{2}{b-a}} \, dx

Aproksimasi Gauss

Dalam aproksimasi Gauss dengan perkalian skalar:

\langle f, g \rangle = \int_{-1}^1 f(t)g(x) \, dx

metode ini memberikan fondasi yang sangat penting dalam analisis numerik. Polinomial ortogonal yang telah kita pelajari menjadi dasar fundamental dalam pengembangan metode kuadratur Gauss yang efisien untuk berbagai aplikasi komputasi yang memerlukan aproksimasi fungsi dengan akurasi tinggi.

Command Palette