Kesamaan Matriks

Definisi Kesamaan Matriks

Dalam aljabar linear, konsep kesamaan atau kemiripan matriks sangat penting untuk memahami bagaimana dua matriks yang berbeda dapat menggambarkan transformasi linear yang sama pada ruang yang berbeda. Bayangkan seperti dua potret yang berbeda dari objek yang sama, tapi diambil dari sudut pandang yang berbeda.

Dua matriks $A, B \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dikatakan serupa atau mirip jika terdapat matriks yang dapat dibalik $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ sehingga:

B = S^{-1} \cdot A \cdot S

Matriks $S$ dalam hal ini disebut sebagai matriks transformasi kesamaan.

Transformasi Basis dan Representasi Koordinat

Untuk memahami mengapa kesamaan matriks begitu penting, kita perlu melihat hubungannya dengan transformasi basis. Misalkan $e_1, \ldots, e_n \in \mathbb{K}^n$ adalah basis kanonik dan $v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{K}^n$ adalah basis lain dari $\mathbb{K}^n$ .

Jika $S$ adalah matriks yang dapat dibalik dengan kolom $v_k$ :

S = (v_1 \quad \ldots \quad v_n) \in \mathbb{K}^{n \times n}

Maka berlaku $v_k = S \cdot e_k$ atau $e_k = S^{-1} \cdot v_k$ untuk $k = 1, \ldots, n$ . Matriks $S$ menggambarkan transformasi basis.

Sebuah vektor $x \in \mathbb{K}^n$ dapat dinyatakan dalam basis kanonik melalui koordinat $x_k$ dan dalam basis $v_1, \ldots, v_n$ melalui koordinat $\xi_k$ :

x = \sum_{k=1}^n x_k \cdot e_k

= \sum_{k=1}^n \xi_k \cdot v_k = S \cdot \xi

\xi = \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{pmatrix} = S^{-1} \cdot x

Matriks $S^{-1}$ menggambarkan transformasi koordinat.

Transformasi Linear dalam Basis Berbeda

Sekarang pertimbangkan transformasi linear $y = A \cdot x$ . Dalam basis kanonik, $y$ dinyatakan melalui koordinat $y_k$ , sedangkan dalam basis $v_1, \ldots, v_n$ melalui koordinat $\eta_k$ :

y = \sum_{k=1}^n y_k \cdot e_k

= \sum_{k=1}^n \eta_k \cdot v_k = S \cdot \eta

\eta = \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \vdots \\ \eta_n \end{pmatrix} = S^{-1} \cdot y

Oleh karena itu:

S \cdot \eta = y = A \cdot x

= A \cdot S \cdot \xi

atau dengan kata lain:

\eta = S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot \xi

Dalam basis $v_1, \ldots, v_n$ , transformasi linear $y = A \cdot x$ digambarkan oleh $\eta = B \cdot \xi$ dengan matriks:

B = S^{-1} \cdot A \cdot S

Inilah mengapa matriks serupa menggambarkan transformasi linear yang sama namun dilihat dari basis yang berbeda. Matriks serupa menggambarkan transformasi linear yang sama terhadap basis yang berbeda dari $\mathbb{K}^n$ .

Sifat Invarian Matriks Serupa

Matriks serupa memiliki beberapa sifat mendasar yang sangat berguna. Karena mereka menggambarkan transformasi linear yang sama pada ruang berbeda, matriks serupa mempertahankan karakteristik bawaan yang sama.

Berdasarkan teorema tentang matriks serupa, jika matriks $A$ dan $B = S^{-1} \cdot A \cdot S$ serupa, maka keduanya memiliki:

Determinan yang sama
Polinomial karakteristik yang sama
Nilai eigen yang sama
Jejak yang sama

Pembuktian Kesamaan Determinan

Untuk determinan, kita dapat menunjukkan:

\det(B) = \det(S^{-1} \cdot A \cdot S)

= \det(S^{-1}) \cdot \det(A) \cdot \det(S)

Karena $\det(S^{-1}) = \frac{1}{\det(S)}$ , maka:

\det(B) = \frac{1}{\det(S)} \cdot \det(A) \cdot \det(S)

= \det(A)

Kesamaan Nilai Eigen

Jika $v \in \mathbb{K}^n$ adalah vektor eigen dari $A$ dengan nilai eigen $\lambda \in \mathbb{K}$ , sehingga $A \cdot v = \lambda \cdot v$ , maka $w = S^{-1} \cdot v$ adalah vektor eigen dari $B$ dengan nilai eigen yang sama:

B \cdot w = S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot w

= S^{-1} \cdot A \cdot v

= S^{-1} \cdot \lambda \cdot v

= \lambda \cdot w

Ini menunjukkan bahwa kesamaan matriks mempertahankan spektrum atau kumpulan nilai eigen, yang merupakan karakteristik dasar dari transformasi linear.