Teorema Spektral untuk Matriks Nyata

Kondisi Ekuivalen Teorema

Untuk matriks nyata $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, dua kondisi berikut ini ekuivalen satu sama lain.

1. Terdapat basis ortonormal dari $\mathbb{R}^n$ yang terdiri dari vektor eigen matriks $A$

2. Matriks $A$ normal dan polinomial karakteristik $\chi_A(t)$ dari $A$ terurai di $\mathbb{R}$ menjadi faktor linear

Perbedaan utama dengan kasus matriks kompleks terletak pada syarat tambahan tentang faktorisasi polinomial karakteristik. Dalam bilangan nyata, semua akar polinomial karakteristik harus berupa bilangan nyata.

Berdasarkan teorema ini, beberapa jenis matriks dapat didiagonalisasi menggunakan basis ortonormal dari vektor eigen. Matriks hermitian kompleks, matriks kesatuan kompleks, dan matriks simetris nyata selalu memenuhi kondisi ini. Matriks ortogonal dapat didiagonalisasi secara ortogonal hanya jika polinomial karakteristiknya terurai dalam faktor linear di bilangan nyata.

Matriks Normal tanpa Basis Ortonormal

Perhatikan matriks rotasi untuk sudut $\alpha$ yang bukan kelipatan $\pi$.

Matriks ini ortogonal sehingga otomatis normal. Namun polinomial karakteristiknya

tidak terurai menjadi faktor linear di bilangan nyata untuk sebagian besar nilai $\alpha$. Bayangkan seperti mencari solusi persamaan kuadrat yang tidak memiliki akar nyata. Akibatnya, meskipun matriks normal, tidak terdapat basis ortonormal dari vektor eigen nyata.

Matriks Non-Normal yang Didiagonalisasi

Matriks berikut memiliki nilai eigen $\lambda_1 = 1$ dan $\lambda_2 = 2$ dengan multiplisitas aljabar masing-masing 1.

Karena nilai eigen berbeda, matriks dapat didiagonalisasi. Namun matriks ini tidak normal karena

Kedua matriks ini tidak sama, sehingga $A \cdot A^T \neq A^T \cdot A$.

Ruang eigen dari matriks ini adalah

Di sini kernel (ruang nol) adalah himpunan semua vektor yang dipetakan ke vektor nol oleh matriks, sedangkan rentang adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor tersebut. Meskipun matriks dapat didiagonalisasi, tidak terdapat basis ortonormal dari vektor eigen karena vektor eigen tidak ortogonal satu sama lain.