Teorema Spektral untuk Matriks Kompleks

Karakterisasi Diagonalisasi Ortogonal

Teorema spektral untuk matriks kompleks memberikan karakterisasi lengkap tentang kapan sebuah matriks kompleks dapat didiagonalisasi menggunakan basis ortonormal dari vektor eigen. Ini adalah hasil yang sangat penting dalam aljabar linear karena menghubungkan konsep geometri (basis ortonormal) dengan konsep aljabar (normalitas matriks).

Untuk matriks kompleks $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ , kondisi berikut ini ekuivalen satu sama lain:

Terdapat basis ortonormal dari $\mathbb{C}^n$ yang terdiri dari vektor eigen matriks $A$
Matriks $A$ adalah normal

Ekuivalensi ini sangat mendalam karena menunjukkan bahwa sifat aljabar (normalitas) berkaitan langsung dengan kemungkinan diagonalisasi ortogonal.

Pembuktian Arah Pertama

Mari kita buktikan bahwa jika terdapat basis ortonormal dari vektor eigen, maka matriks tersebut normal. Ini seperti membuktikan bahwa jika sebuah bangunan memiliki struktur yang sangat teratur dan simetris, maka bangunan tersebut memiliki sifat keseimbangan khusus.

Misalkan $v_1, \ldots, v_n$ adalah basis ortonormal yang terdiri dari vektor eigen matriks $A$ . Untuk setiap $j = 1, \ldots, n$ berlaku $Av_j = \lambda_j v_j$ .

Karena basis ortonormal, kita punya rangkaian perhitungan berikut:

(A^H v_i)^H v_j = v_i^H (Av_j) = v_i^H (\lambda_j v_j)

= \lambda_j v_i^H v_j = \lambda_j \delta_{ij}

Ini berarti $A^H v_i = \overline{\lambda_i} v_i$ , sehingga:

AA^H v_i = A(\overline{\lambda_i} v_i) = \overline{\lambda_i} \lambda_i v_i

= \lambda_i \overline{\lambda_i} v_i = \lambda_i (A^H v_i) = A^H (\lambda_i v_i) = A^H A v_i

Karena ini berlaku untuk semua vektor basis, maka $AA^H = A^H A$ , yang berarti $A$ normal.

Pembuktian Normalitas ke Diagonalisasi

Sekarang kita buktikan arah sebaliknya menggunakan induksi matematis. Bayangkan seperti membangun rumah tingkat, kita mulai dari lantai dasar dan membuktikan bahwa setiap lantai baru dapat dibangun menggunakan hasil dari lantai sebelumnya.

Struktur Induksi Matematis

Langkah Basis Untuk $n = 0$ (matriks kosong), pernyataan jelas benar.
Hipotesis Induksi Asumsikan pernyataan benar untuk semua matriks normal berukuran $(n-1) \times (n-1)$ .
Langkah Induksi Misalkan $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ normal. Berdasarkan teorema fundamental aljabar, terdapat nilai eigen $\lambda_1 \in \mathbb{C}$ dari $A$ . Misalkan $v_1 \in \mathbb{C}^n$ adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan $v_1^H v_1 = 1$ .

Kita punya $Av_1 = \lambda_1 v_1$ dan dari sifat matriks normal, $A^H v_1 = \overline{\lambda_1} v_1$ .

Pembentukan Subruang Invarian

Lengkapi $v_1$ menjadi basis ortonormal $\mathbb{C}^n$ dengan vektor $v_2, \ldots, v_n$ . Definisikan:

W = \text{rentang}(v_2, \ldots, v_n)

Di sini rentang dari vektor-vektor $v_2, \ldots, v_n$ adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor tersebut. Dengan kata lain, $W$ berisi semua vektor yang dapat ditulis sebagai $a_2 v_2 + a_3 v_3 + \cdots + a_n v_n$ dengan $a_2, a_3, \ldots, a_n \in \mathbb{C}$ .

Untuk setiap $w \in W$ , berlaku:

(Aw)^H v_1 = w^H (A^H v_1) = w^H (\overline{\lambda_1} v_1)

= \overline{\lambda_1} w^H v_1 = 0

Jadi $Aw \in W$ , yang berarti:

A(W) = \{Aw \mid w \in W\} \subset W

Dengan kata lain, $W$ adalah subruang yang invarian (tidak berubah) di bawah transformasi $A$ . Ini seperti kolam terpisah dimana ikan yang berenang di kolam tersebut tidak pernah keluar dari kolam.

Transformasi Kesatuan dan Pemeliharaan Normalitas

Misalkan $T \in \mathbb{C}^{n \times n}$ adalah matriks kesatuan dengan kolom $v_1, \ldots, v_n$ . Maka $T \cdot T^H = T \cdot T^{-1} = I$ .

Transformasi ini memberikan bentuk blok yang elegan:

T^H \cdot A \cdot T = T^{-1} \cdot A \cdot T

= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0^T \\ 0 & A' \end{pmatrix}

dengan:

A' \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)}

Karena transformasi kesatuan mempertahankan normalitas seperti cermin yang mempertahankan bentuk objek, kita dapat menunjukkan bahwa:

(T^H \cdot A \cdot T) \cdot (T^H \cdot A \cdot T)^H

= T^H \cdot A \cdot T \cdot T^H \cdot A^H \cdot T

= T^H \cdot A \cdot A^H \cdot T

= T^H \cdot A^H \cdot A \cdot T

= (T^H \cdot A \cdot T)^H \cdot (T^H \cdot A \cdot T)

Oleh karena itu matriks blok diagonal juga normal, yang berarti $A'$ juga normal.

Konstruksi Basis Ortonormal Lengkap

Sekarang kita sampai pada tahap akhir seperti menyusun teka-teki yang sudah hampir selesai. Berdasarkan hipotesis induksi, terdapat basis ortonormal $v'_2, \ldots, v'_n$ dari vektor eigen untuk $A'$ . Misalkan $S'$ adalah matriks kesatuan dengan kolom tersebut, dimana:

S' \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)}

sehingga:

S'^H \cdot A' \cdot S' = \begin{pmatrix} \lambda_2 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}

dengan nilai eigen $\lambda_2, \ldots, \lambda_n$ dari $A'$ .

Sekarang kita definisikan:

S = T \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0^T \\ 0 & S' \end{pmatrix}

Maka $S$ adalah matriks kesatuan dengan:

S \in \mathbb{C}^{n \times n}

dan:

S^H \cdot A \cdot S = \begin{pmatrix} 1 & 0^T \\ 0 & S'^H \end{pmatrix} \cdot T^H \cdot A \cdot T

\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0^T \\ 0 & S' \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0^T \\ 0 & S'^H A' S' \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}

Kolom dari $S$ membentuk basis ortonormal dari vektor eigen matriks $A$ .

Kasus Matriks Riil

Untuk matriks riil, situasinya sedikit berbeda seperti perbedaan antara menggambar di kanvas datar (riil) dibandingkan dengan menggambar dalam ruang 3D (kompleks). Matriks riil:

A \in \mathbb{R}^{n \times n}

disebut normal jika:

A \cdot A^T = A^T \cdot A

Matriks riil normal adalah kasus khusus dari matriks kompleks normal dengan entri riil. Karena itu, sifat yang sama berlaku untuk kedua jenis matriks simetris dan ortogonal.

Matriks simetris dan matriks ortogonal selalu normal. Untuk matriks simetris $A^T = A$ , jelas bahwa:

A \cdot A^T = A \cdot A = A^T \cdot A

Untuk matriks ortogonal $A^T = A^{-1}$ , kita punya:

A \cdot A^T = A \cdot A^{-1} = I

= A^{-1} \cdot A = A^T \cdot A

Namun, tidak semua matriks riil normal memiliki nilai eigen riil. Dalam teorema spektral riil, keberadaan nilai eigen riil tidak dijamin, sehingga diagonalisasi ortogonal mungkin tidak selalu dimungkinkan dalam bilangan riil.

Command Palette