Charakteristisches Polynom

Ein Eigenwert $\lambda$ einer quadratischen Matrix $A$ besitzt einen von null verschiedenen Eigenvektor $v$ mit

Durch Umstellen erhalten wir $(A-\lambda I)v=0$. Eine von null verschiedene Lösung existiert genau dann, wenn $A-\lambda I$ singulär ist. Daher muss die Determinante verschwinden. Das charakteristische Polynom erfasst diese Bedingung gleichzeitig für alle möglichen Skalare.

Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$. Wir können eine spezielle Funktion bilden:

Dieses Polynom vom Grad $n$ in $t$ mit Koeffizienten $a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{K}$ heißt charakteristisches Polynom von $A$. Wir verwenden hier die Konvention $\det(A-tI)$. Die ebenfalls verbreitete Konvention $\det(tI-A)$ unterscheidet sich nur um den Faktor $(-1)^n$ und hat daher dieselben Nullstellen.

Matrixspur und Polynomkoeffizienten

Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ eine quadratische Matrix. Die Spur von $A$ ist die Summe der Diagonalelemente:

Die Matrixspur steht in engem Zusammenhang mit den Koeffizienten des charakteristischen Polynoms.

Beziehung der Koeffizienten mit Spur und Determinante

Im charakteristischen Polynom $\chi_A(t)$ von $A$ haben seine Koeffizienten eine besondere Bedeutung:

Das bedeutet:

• Der höchste Koeffizient ist immer $(-1)^n$
• Der zweithöchste Koeffizient bezieht sich auf die Matrixspur
• Der konstante Term ist die Determinante der Matrix

Eigenwerte als Polynomwurzeln

Das wichtigste Konzept des charakteristischen Polynoms ist seine Beziehung zu Eigenwerten.

Betrachten wir nun eine sehr wichtige Beziehung: $\lambda \in \mathbb{K}$ ist genau dann ein Eigenwert von $A$, wenn $\det(A - \lambda \cdot I) = 0$.

Mit anderen Worten: Eigenwerte sind die Wurzeln des charakteristischen Polynoms.

Die Gleichung für $t \in \mathbb{K}$:

nennen wir die charakteristische Gleichung von $A$.

Algebraische Multiplizität

Was passiert nun, wenn ein Eigenwert mehrmals als Wurzel des charakteristischen Polynoms auftritt? Seien $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ und $\lambda \in \mathbb{K}$. Die Multiplizität der Wurzel $t = \lambda$ des charakteristischen Polynoms $\chi_A(t)$ wird als algebraische Multiplizität $\mu_A(\lambda)$ des Eigenwerts $\lambda$ von $A$ bezeichnet. Wir sagen, dass $\lambda$ ein Eigenwert mit der Multiplizität $\mu_A(\lambda)$ von $A$ ist.

Multiplizitätsgrenzen

Für jeden Eigenwert $\lambda$ gilt für seine algebraische Vielfachheit

Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit

Ein wichtiges Ergebnis der Eigenwerttheorie ist der Zusammenhang zwischen geometrischer und algebraischer Multiplizität.

Für einen Eigenwert $\lambda$ von $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ gilt zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit

Die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwerts ist immer kleiner oder gleich seiner algebraischen Vielfachheit.

Die geometrische Vielfachheit zählt die unabhängigen Eigenvektoren im Eigenraum. Die algebraische Vielfachheit zählt dagegen, wie oft die Nullstelle im charakteristischen Polynom vorkommt. Die Jordanform zeigt, dass jeder unabhängige Eigenvektor mindestens einen Jordanblock benötigt. Deshalb kann die geometrische Anzahl die algebraische nicht übersteigen.

Beispiele für die Berechnung charakteristischer Polynome

Nun wenden wir die Definition an und nutzen die Koeffizientenbeziehungen zur Kontrolle der Rechnung.

Beispiel für eine Matrix dritter Ordnung

Sei $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -4 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{3 \times 3}$. Das charakteristische Polynom von $A$ ist:

Für $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ hat $\chi_A(t)$ nur die Wurzel $\lambda_1 \approx -1{,}8003$ mit algebraischer Multiplizität $\mu_A(\lambda_1) = 1$.

Für $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ hat $\chi_A(t)$ Wurzeln $\lambda_1 \approx -1{,}8003$, $\lambda_2 \approx 2{,}9001 + 2{,}4559i$ und $\lambda_3 \approx 2{,}9001 - 2{,}4559i$ mit algebraischen Multiplizitäten $\mu_A(\lambda_1) = \mu_A(\lambda_2) = \mu_A(\lambda_3) = 1$.

Die Nullstellen bestehen zwei nützliche Kontrollen: Ihre Summe ist die Spur, ihr Produkt die Determinante.

Einfaches Beispiel

Das charakteristische Polynom der Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ist:

Diese Matrix hat die Wurzel $\lambda = 1$ mit der algebraischen Multiplizität $\mu_A(1) = 2$. $\lambda = 1$ ist der einzige Eigenwert von $A$. Wir haben berechnet, dass $\dim \text{Eig}_A(1) = 1$.

Beispiele für geometrische Transformationen

Die folgenden vertrauten Abbildungen auf $\mathbb{R}^2$ verbinden die algebraische Rechnung mit ihrer geometrischen Bedeutung.

Rotation

Die Rotation mit $A = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}$ hat das charakteristische Polynom:

Die Diskriminante ist $-4\sin^2(\alpha)$. Die Nullstellen sind genau dann reell, wenn $\sin(\alpha)=0$. Innerhalb einer vollen Umdrehung gilt also $\alpha\equiv0$ oder $\alpha\equiv\pi\pmod{2\pi}$.

Reflexion

Die Spiegelung an der $x$-Achse mit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ hat das charakteristische Polynom:

Die Eigenwerte sind $\lambda_1 = 1$ und $\lambda_2 = -1$ mit $\mu_A(1) = \mu_A(-1) = 1$.

Skalierung

Die Skalierung mit $A = \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix}$ hat das charakteristische Polynom:

Der Eigenwert ist $\lambda = s$ mit $\mu_A(s) = 2$.

Scheren

Das Scheren mit $A = \begin{pmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ mit $s \neq 0$ hat das charakteristische Polynom:

Der Eigenwert ist $\lambda = 1$ mit $\mu_A(1) = 2$.

Eigenschaften ähnlicher Matrizen

Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe lineare Abbildung in verschiedenen Basen. Sie besitzen deshalb dasselbe charakteristische Polynom, dieselben Eigenwerte, dieselbe Spur und dieselbe Determinante.

Sei $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ invertierbar und $B = S^{-1} \cdot A \cdot S$. Dann:

Eigenvektoreigenschaften ähnlicher Matrizen

Die Eigenvektoren ändern sich mit der Basis. Ist $v \in \mathbb{K}^n$ ein Eigenvektor von $A$ zu $\lambda$, dann ist $w = S^{-1}v$ ein Eigenvektor von $B$ zum selben Eigenwert.

Mit $Av=\lambda v$ und $w=S^{-1}v$ folgt

Damit bewahrt die Ähnlichkeit die Eigenwerte, während der inverse Basiswechsel die zugehörigen Eigenvektoren umrechnet.