Charakteristisches Polynom

Das Polynom aus der Matrixgleichung herleiten

Ein Eigenwert $\lambda$ einer quadratischen Matrix $A$ besitzt einen von null verschiedenen Eigenvektor $v$ mit

Av=\lambda v

Durch Umstellen erhalten wir $(A-\lambda I)v=0$ . Eine von null verschiedene Lösung existiert genau dann, wenn $A-\lambda I$ singulär ist. Daher $muss die Determinante verschwinden$ . Das charakteristische Polynom erfasst diese Bedingung gleichzeitig für alle möglichen Skalare.

Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ . Wir können eine spezielle Funktion bilden:

\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I)

Dieses Polynom vom Grad $n$ in $t$ mit Koeffizienten $a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{K}$ heißt $charakteristisches Polynom$ von $A$ . Wir verwenden hier die Konvention $\det(A-tI)$ . Die ebenfalls verbreitete Konvention $\det(tI-A)$ unterscheidet sich nur um den Faktor $(-1)^n$ und hat daher dieselben Nullstellen.

Matrixspur und Polynomkoeffizienten

Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ eine quadratische Matrix. Die $Spur$ von $A$ ist die Summe der Diagonalelemente:

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}

Die Matrixspur steht in engem Zusammenhang mit den Koeffizienten des charakteristischen Polynoms.

Beziehung der Koeffizienten mit Spur und Determinante

Im charakteristischen Polynom $\chi_A(t)$ von $A$ haben seine Koeffizienten eine besondere Bedeutung:

\begin{aligned} &a_n = (-1)^n, \\ &a_{n-1} = (-1)^{n-1}\operatorname{tr}(A), \\ &a_0 = \det A \end{aligned}

Das bedeutet:

Der höchste Koeffizient ist immer $(-1)^n$
Der zweithöchste Koeffizient bezieht sich auf die Matrixspur
Der $konstante Term$ ist die Determinante der Matrix

Eigenwerte als Polynomwurzeln

Der Wert $\lambda \in \mathbb{K}$ ist genau dann ein Eigenwert von $A$ , wenn $\det(A - \lambda \cdot I) = 0$ .

Daher sind die Eigenwerte die $Nullstellen des charakteristischen Polynoms$ .

Für $t \in \mathbb{K}$ betrachten wir die folgende Gleichung.

\det(A - t \cdot I) = 0

Diese Gleichung heißt $charakteristische Gleichung$ von $A$ .

Algebraische Multiplizität

Was passiert nun, wenn ein Eigenwert mehrmals als Wurzel des charakteristischen Polynoms auftritt? Seien $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ und $\lambda \in \mathbb{K}$ . Die Multiplizität der Wurzel $t = \lambda$ des charakteristischen Polynoms $\chi_A(t)$ wird als $algebraische Multiplizität$ $\mu_A(\lambda)$ des Eigenwerts $\lambda$ von $A$ bezeichnet. Wir sagen, dass $\lambda$ ein Eigenwert mit der Multiplizität $\mu_A(\lambda)$ von $A$ ist.

Multiplizitätsgrenzen

Für jeden Eigenwert $\lambda$ gilt für seine $algebraische Vielfachheit$

1 \leq \mu_A(\lambda) \leq n

Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit

Geometrische und algebraische Multiplizität erfüllen die folgende Beziehung.

Für einen Eigenwert $\lambda$ von $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ gilt zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit

1 \leq \dim \operatorname{Eig}_A(\lambda) \leq \mu_A(\lambda) \leq n

Die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwerts ist immer kleiner oder gleich seiner algebraischen Vielfachheit.

Die geometrische Vielfachheit $zählt die unabhängigen Eigenvektoren$ im Eigenraum. Die algebraische Vielfachheit zählt dagegen, wie oft die Nullstelle im charakteristischen Polynom vorkommt. Die Jordanform zeigt, dass jeder unabhängige Eigenvektor mindestens einen Jordanblock benötigt. Deshalb kann die geometrische Anzahl die algebraische nicht übersteigen.

Charakteristische Polynome berechnen

Die Definition wird jetzt auf konkrete Matrizen angewendet, und die $Koeffizientenbeziehungen$ dienen als Kontrolle der Rechnung. Verfolge jeden Determinantenschritt und vergleiche die Wurzeln anschließend mit Spur und Determinante, um das Polynom zu bestätigen.

Matrix dritter Ordnung

Diese Matrix dritter Ordnung erzeugt ein charakteristisches Polynom vom $Grad drei$ :

A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -4 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{3 \times 3}

Ihr charakteristisches Polynom lautet:

\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 3-t & 2 & -1 \\ 1 & -t & -4 \\ 3 & 0 & 1-t \end{pmatrix}

Für $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ hat $\chi_A(t)$ nur die Wurzel $\lambda_1 \approx -1{,}8003$ mit algebraischer Multiplizität $\mu_A(\lambda_1) = 1$ .

Für $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ hat $\chi_A(t)$ Wurzeln $\lambda_1 \approx -1{,}8003$ , $\lambda_2 \approx 2{,}9001 + 2{,}4559i$ und $\lambda_3 \approx 2{,}9001 - 2{,}4559i$ mit algebraischen Multiplizitäten $\mu_A(\lambda_1) = \mu_A(\lambda_2) = \mu_A(\lambda_3) = 1$ .

Die Nullstellen bestehen zwei nützliche Kontrollen: Ihre Summe ist die Spur, ihr Produkt die Determinante.

\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=4=\operatorname{tr}(A)

Wiederholter Eigenwert bei einer oberen Dreiecksmatrix

Diese Matrix hat zweimal $denselben Diagonaleintrag$ , nämlich $1$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Ihr charakteristisches Polynom lautet:

\begin{aligned} \chi_A(t) &= \det(A - t \cdot I) \\ &= \det \begin{pmatrix} 1-t & 2 \\ 0 & 1-t \end{pmatrix} \end{aligned}

Diese Matrix hat die Wurzel $\lambda = 1$ mit der algebraischen Multiplizität $\mu_A(1) = 2$ . $\lambda = 1$ ist der einzige Eigenwert von $A$ .

(A-I)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2y\\0\end{pmatrix}=0\iff y=0,\qquad E_A(1)=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right\}

Der Eigenraum hat $Dimension 1$ , obwohl die Polynomnullstelle doppelt vorkommt.

Charakteristische Polynome geometrischer Transformationen

Die Rechnung wird jetzt an vertrauten Abbildungen auf $\mathbb{R}^2$ wiederholt, sodass algebraisches Ergebnis und $geometrische Bedeutung$ zusammen erscheinen. Rotation, Reflexion, Skalierung und Scheren liefern jeweils ein Polynom, dessen Wurzeln beschreiben, was diese Abbildung mit Richtungen macht.

Rotation

Die Rotation wird durch folgende Matrix beschrieben:

A = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}

Ihr charakteristisches Polynom lautet:

\begin{aligned} \chi_A(t) &= (\cos(\alpha) - t)^2 + \sin(\alpha)^2 \\ &= t^2 - 2 \cdot \cos(\alpha) \cdot t + 1 \end{aligned}

Die $Diskriminante$ ist $-4\sin^2(\alpha)$ . Die Nullstellen sind genau dann reell, wenn $\sin(\alpha)=0$ . Innerhalb einer vollen Umdrehung gilt also $\alpha\equiv0$ oder $\alpha\equiv\pi\pmod{2\pi}$ .

Reflexion

Die $Spiegelung an$ der $x$ -Achse hat die Matrix:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Ihr charakteristisches Polynom lautet:

\chi_A(t) = (1-t) \cdot (-1-t) = t^2 - 1

Die Eigenwerte sind $\lambda_1 = 1$ und $\lambda_2 = -1$ mit $\mu_A(1) = \mu_A(-1) = 1$ .

Skalierung

Die $Skalierung hat$ die Matrix:

A = \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix}

Ihr charakteristisches Polynom lautet:

\chi_A(t) = (s-t)^2 = t^2 - 2 \cdot s \cdot t + s^2

Der Eigenwert ist $\lambda = s$ mit $\mu_A(s) = 2$ .

Scheren

$Für eine Scherung$ mit $s \neq 0$ lautet die Matrix:

A = \begin{pmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Ihr charakteristisches Polynom lautet:

\chi_A(t) = (1-t)^2 = t^2 - 2 \cdot t + 1

Der Eigenwert ist $\lambda = 1$ mit $\mu_A(1) = 2$ .

Eigenschaften ähnlicher Matrizen

Ähnliche Matrizen beschreiben $dieselbe lineare Abbildung$ in verschiedenen Basen. Sie besitzen deshalb dasselbe charakteristische Polynom, dieselben Eigenwerte, dieselbe Spur und dieselbe Determinante.

Sei $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ invertierbar und $B = S^{-1} \cdot A \cdot S$ . Dann:

\begin{aligned} &\chi_B(t) \\ &= \det(B - t \cdot I) \\ &= \det(S^{-1} \cdot A \cdot S - t \cdot S^{-1} \cdot I \cdot S) \end{aligned}

Eigenvektoreigenschaften ähnlicher Matrizen

Die Eigenvektoren ändern sich mit der Basis. Ist $v \in \mathbb{K}^n$ ein Eigenvektor von $A$ zu $\lambda$ , dann ist $w = S^{-1}v$ ein Eigenvektor von $B$ zum selben Eigenwert.

Mit $Av=\lambda v$ und $w=S^{-1}v$ folgt

\begin{aligned} B \cdot w &= S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot S^{-1} \cdot v \\ &= S^{-1} \cdot A \cdot v \end{aligned}

Damit bewahrt die Ähnlichkeit die Eigenwerte, während der $inverse Basiswechsel$ die zugehörigen Eigenvektoren umrechnet.

Das Polynom aus der Matrixgleichung herleiten

Ein Eigenwert $\lambda$ einer quadratischen Matrix $A$ besitzt einen von null verschiedenen Eigenvektor $v$ mit

Av=\lambda v

Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ . Wir können eine spezielle Funktion bilden:

\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I)

Matrixspur und Polynomkoeffizienten

Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ eine quadratische Matrix. Die $Spur$ von $A$ ist die Summe der Diagonalelemente:

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}

Die Matrixspur steht in engem Zusammenhang mit den Koeffizienten des charakteristischen Polynoms.

Beziehung der Koeffizienten mit Spur und Determinante

Im charakteristischen Polynom $\chi_A(t)$ von $A$ haben seine Koeffizienten eine besondere Bedeutung:

\begin{aligned} &a_n = (-1)^n, \\ &a_{n-1} = (-1)^{n-1}\operatorname{tr}(A), \\ &a_0 = \det A \end{aligned}

Das bedeutet:

Der höchste Koeffizient ist immer $(-1)^n$
Der zweithöchste Koeffizient bezieht sich auf die Matrixspur
Der $konstante Term$ ist die Determinante der Matrix

Eigenwerte als Polynomwurzeln

Der Wert $\lambda \in \mathbb{K}$ ist genau dann ein Eigenwert von $A$ , wenn $\det(A - \lambda \cdot I) = 0$ .

Daher sind die Eigenwerte die $Nullstellen des charakteristischen Polynoms$ .

Für $t \in \mathbb{K}$ betrachten wir die folgende Gleichung.

\det(A - t \cdot I) = 0

Diese Gleichung heißt $charakteristische Gleichung$ von $A$ .

Algebraische Multiplizität

Multiplizitätsgrenzen

Für jeden Eigenwert $\lambda$ gilt für seine $algebraische Vielfachheit$

1 \leq \mu_A(\lambda) \leq n

Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit

Geometrische und algebraische Multiplizität erfüllen die folgende Beziehung.

Für einen Eigenwert $\lambda$ von $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ gilt zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit

1 \leq \dim \operatorname{Eig}_A(\lambda) \leq \mu_A(\lambda) \leq n

Die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwerts ist immer kleiner oder gleich seiner algebraischen Vielfachheit.

Charakteristische Polynome berechnen

Matrix dritter Ordnung

Diese Matrix dritter Ordnung erzeugt ein charakteristisches Polynom vom $Grad drei$ :

A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -4 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{3 \times 3}

Ihr charakteristisches Polynom lautet:

\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 3-t & 2 & -1 \\ 1 & -t & -4 \\ 3 & 0 & 1-t \end{pmatrix}

Für $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ hat $\chi_A(t)$ nur die Wurzel $\lambda_1 \approx -1{,}8003$ mit algebraischer Multiplizität $\mu_A(\lambda_1) = 1$ .

Die Nullstellen bestehen zwei nützliche Kontrollen: Ihre Summe ist die Spur, ihr Produkt die Determinante.

\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=4=\operatorname{tr}(A)

Wiederholter Eigenwert bei einer oberen Dreiecksmatrix

Diese Matrix hat zweimal $denselben Diagonaleintrag$ , nämlich $1$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Ihr charakteristisches Polynom lautet:

\begin{aligned} \chi_A(t) &= \det(A - t \cdot I) \\ &= \det \begin{pmatrix} 1-t & 2 \\ 0 & 1-t \end{pmatrix} \end{aligned}

Diese Matrix hat die Wurzel $\lambda = 1$ mit der algebraischen Multiplizität $\mu_A(1) = 2$ . $\lambda = 1$ ist der einzige Eigenwert von $A$ .

(A-I)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2y\\0\end{pmatrix}=0\iff y=0,\qquad E_A(1)=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right\}

Der Eigenraum hat $Dimension 1$ , obwohl die Polynomnullstelle doppelt vorkommt.

Charakteristische Polynome geometrischer Transformationen

Rotation

Die Rotation wird durch folgende Matrix beschrieben:

A = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}

Ihr charakteristisches Polynom lautet:

\begin{aligned} \chi_A(t) &= (\cos(\alpha) - t)^2 + \sin(\alpha)^2 \\ &= t^2 - 2 \cdot \cos(\alpha) \cdot t + 1 \end{aligned}

Reflexion

Die $Spiegelung an$ der $x$ -Achse hat die Matrix:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Ihr charakteristisches Polynom lautet:

\chi_A(t) = (1-t) \cdot (-1-t) = t^2 - 1

Die Eigenwerte sind $\lambda_1 = 1$ und $\lambda_2 = -1$ mit $\mu_A(1) = \mu_A(-1) = 1$ .

Skalierung

Die $Skalierung hat$ die Matrix:

A = \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix}

Ihr charakteristisches Polynom lautet:

\chi_A(t) = (s-t)^2 = t^2 - 2 \cdot s \cdot t + s^2

Der Eigenwert ist $\lambda = s$ mit $\mu_A(s) = 2$ .

Scheren

$Für eine Scherung$ mit $s \neq 0$ lautet die Matrix:

A = \begin{pmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Ihr charakteristisches Polynom lautet:

\chi_A(t) = (1-t)^2 = t^2 - 2 \cdot t + 1

Der Eigenwert ist $\lambda = 1$ mit $\mu_A(1) = 2$ .

Eigenschaften ähnlicher Matrizen

Sei $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ invertierbar und $B = S^{-1} \cdot A \cdot S$ . Dann:

\begin{aligned} &\chi_B(t) \\ &= \det(B - t \cdot I) \\ &= \det(S^{-1} \cdot A \cdot S - t \cdot S^{-1} \cdot I \cdot S) \end{aligned}

Eigenvektoreigenschaften ähnlicher Matrizen

Die Eigenvektoren ändern sich mit der Basis. Ist $v \in \mathbb{K}^n$ ein Eigenvektor von $A$ zu $\lambda$ , dann ist $w = S^{-1}v$ ein Eigenvektor von $B$ zum selben Eigenwert.

Mit $Av=\lambda v$ und $w=S^{-1}v$ folgt

\begin{aligned} B \cdot w &= S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot S^{-1} \cdot v \\ &= S^{-1} \cdot A \cdot v \end{aligned}

Damit bewahrt die Ähnlichkeit die Eigenwerte, während der $inverse Basiswechsel$ die zugehörigen Eigenvektoren umrechnet.