Beste Approximation in Funktionsräumen und Polynomräumen

Wenn eine einfachere Funktion genügt

Eine Funktion kann $aufwendig auszuwerten$ oder für eine spätere Rechnung zu kompliziert sein. Dann wählen wir eine einfachere Funktionsklasse und bestimmen darin die Funktion, die die ursprüngliche am besten annähert.

Mit $C([a,b])$ bezeichnen wir den reellen Vektorraum der stetigen Funktionen auf $[a,b]$ . Den Fehler messen wir über das gesamte Intervall.

Es gelte $a<b$ , damit das Intervall positive Länge hat.

Skalarprodukt und Fehler über das gesamte Intervall

Für $f,g\in C([a,b])$ definieren wir

\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)g(x)\,dx

Dieses Skalarprodukt macht $C([a,b])$ zu einem Skalarproduktraum. Die angezeigte Norm ist die $L^2$ -Norm. Durch Division mit der Wurzel der Intervalllänge erhalten wir den $quadratischen Mittelwert$ :

\operatorname{RMS}(f)=\frac{1}{\sqrt{b-a}}\|f\|_2

Die Größe $\|f-g\|_2$ fasst den Fehler über das gesamte Intervall zusammen. Positive und negative Fehler können sich nicht gegenseitig aufheben, weil die Differenz im Integral quadriert wird.

Beste Approximation als orthogonale Projektion

Sei $S\subset C([a,b])$ ein endlichdimensionaler Unterraum. Die beste Approximation von $f$ in $S$ ist die eindeutige Funktion $g\in S$ mit

\|f-g\|_2=\min_{\varphi\in S}\|f-\varphi\|_2

Geometrisch ist $g$ die $orthogonale Projektion$ von $f$ auf $S$ . Das Residuum $r=f-g$ muss zu jeder Funktion im Approximationsraum orthogonal sein:

\begin{aligned} &\langle f-g,s\rangle=0 \\ &\text{für jedes }s\in S \end{aligned}

Ist $\{\phi_0,\ldots,\phi_n\}$ eine Basis von $S$ und $g=\sum_{j=0}^n c_j\phi_j$ , werden diese Orthogonalitätsbedingungen zu den Normalgleichungen

\begin{aligned} &\sum_{j=0}^n\langle\phi_j,\phi_i\rangle c_j=\langle f,\phi_i\rangle, \\ &i=0,\ldots,n \end{aligned}

Eine quadratische Funktion durch eine Gerade approximieren

Wir approximieren $f(x)=x^2$ auf $[-1,1]$ durch eine Funktion aus $S=\operatorname{span}\{1,x\}$ . Setze $g(x)=c_0+c_1x$ . Die Orthogonalität zu den beiden Basisfunktionen liefert

\int_{-1}^{1}\left(x^2-c_0-c_1x\right)\,dx=0

\frac23-2c_0=0,\qquad -\frac23c_1=0\quad\Longrightarrow\quad c_0=\frac13,\ c_1=0

Die $ungeraden Terme$ integrieren sich auf dem symmetrischen Intervall zu null. Aus der zweiten Gleichung folgt $c_1=0$ , aus der ersten $c_0=1/3$ . Damit gilt

g(x)=\frac13

Die beste Gerade ist waagerecht. Das ist keine Vermutung: Die Symmetrie von $x^2$ zwingt den Koeffizienten der ungeraden Basisfunktion $x$ auf null.

Quadratische Funktion und beste lineare Approximation

Die cyanfarbene Parabel ist

x^2

, die orange Gerade ist

\frac{1}{3}

. Violette Strecken zeigen die vertikalen Differenzen, deren Quadrate integriert werden.

$x$: $[-1; 1]$
$y$: $[0; 1]$

Polynomiale Approximationsräume

Für algebraische Polynome vom Grad höchstens $n$ verwenden wir

P_n([a,b])=\operatorname{span}\{1,x,x^2,\ldots,x^n\}

Ein größeres $n$ erweitert den Approximationsraum. Der kleinstmögliche $L^2$ -Fehler kann deshalb $nicht wachsen$ . In numerischen Rechnungen sind orthogonale Polynombasen häufig günstiger als einfache Potenzen, weil sie besser konditionierte Systeme ergeben.

Trigonometrische Approximationsräume

Für eine Periode $\omega>0$ besteht der Raum $T_n(\omega)$ aus allen Funktionen der folgenden Form mit reellen Koeffizienten $a_i,b_i$ :

p(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{i=1}^n q_i(x)

Über eine volle Periode sind diese Sinus- und Kosinusbasisfunktionen $paarweise orthogonal$ . Ihre Koeffizienten lassen sich daher berechnen, indem wir die Zielfunktion auf jede Basisfunktion projizieren. Das ist die endlichdimensionale Grundidee der Fourier-Approximation.

Wahl von $S$	Geeignet für	Bestimmung der Koeffizienten
$P_n([a,b])$	Glattes Verhalten auf einem endlichen Intervall	Das Residuum ist zu den Polynomfunktionen der Basis orthogonal
$T_n(\omega)$	Periodisches Verhalten	Das Residuum ist zu den Sinus- und Kosinusfunktionen der Basis orthogonal

$Eine beste Approximation ist die orthogonale Projektion$ , die durch den gewählten Funktionenraum, das Intervall und die Norm festgelegt wird. Optische Ähnlichkeit allein genügt dafür nicht.