Beste Approximation in Funktionen- und Polynomräumen

Eine Funktion kann aufwendig auszuwerten oder für eine spätere Rechnung zu kompliziert sein. Dann wählen wir eine einfachere Funktionenfamilie und stellen eine genaue Frage: Welches Mitglied dieser Familie liegt der ursprünglichen Funktion am nächsten?

Mit $C([a,b])$ bezeichnen wir den reellen Vektorraum der stetigen Funktionen auf $[a,b]$. Den Fehler messen wir über das gesamte Intervall und nicht nur an einem einzelnen Punkt.

Skalarprodukt und L2-Fehler

Für $f,g\in C([a,b])$ definieren wir

Dieses Skalarprodukt macht $C([a,b])$ zu einem Skalarproduktraum. Die angezeigte Norm ist die $L^2$-Norm. Sie ist erst dann der quadratische Mittelwert, wenn wir durch die Wurzel der Intervalllänge teilen:

Die Größe $\|f-g\|_2$ fasst den Fehler über das gesamte Intervall zusammen. Positive und negative Fehler können sich nicht gegenseitig aufheben, weil die Differenz im Integral quadriert wird.

Beste Approximation als orthogonale Projektion

Sei $S\subset C([a,b])$ ein endlichdimensionaler Unterraum. Die beste Approximation von $f$ in $S$ ist die eindeutige Funktion $g\in S$ mit

Geometrisch ist $g$ die orthogonale Projektion von $f$ auf $S$. Das Residuum $r=f-g$ muss zu jeder Funktion im Approximationsraum orthogonal sein:

Ist $\{\phi_0,\ldots,\phi_n\}$ eine Basis von $S$ und $g=\sum_{j=0}^n c_j\phi_j$, werden diese Orthogonalitätsbedingungen zu den Normalgleichungen

Durchgerechnetes Beispiel: Eine quadratische Funktion durch eine Gerade approximieren

Wir approximieren $f(x)=x^2$ auf $[-1,1]$ durch eine Funktion aus $S=\operatorname{span}\{1,x\}$. Setze $g(x)=c_0+c_1x$. Die Orthogonalität zu den beiden Basisfunktionen liefert

Die ungeraden Terme integrieren sich auf dem symmetrischen Intervall zu null. Aus der zweiten Gleichung folgt $c_1=0$, aus der ersten $c_0=1/3$. Damit gilt

Die beste Gerade ist waagerecht. Das ist keine Vermutung: Die Symmetrie von $x^2$ zwingt den Koeffizienten der ungeraden Basisfunktion $x$ auf null.

Polynomiale Approximationsräume

Für algebraische Polynome vom Grad höchstens $n$ verwenden wir

Ein größeres $n$ erweitert den Approximationsraum. Der kleinstmögliche $L^2$-Fehler kann deshalb nicht wachsen. In numerischen Rechnungen sind orthogonale Polynombasen häufig günstiger als einfache Potenzen, weil sie besser konditionierte Systeme ergeben.

Trigonometrische Approximationsräume

Für eine periodische Funktion mit der Periode $\omega>0$ eignet sich der Raum

Über eine volle Periode sind diese Sinus- und Kosinusbasisfunktionen paarweise orthogonal. Ihre Koeffizienten lassen sich daher berechnen, indem wir die Zielfunktion auf jede Basisfunktion projizieren. Das ist die endlichdimensionale Grundidee der Fourier-Approximation.

Eine beste Approximation ist nicht bloß eine optisch ähnliche Kurve. Sie ist die orthogonale Projektion, die durch den gewählten Funktionenraum, das Intervall und die Norm festgelegt wird.