Definition der Determinante

Volumenänderung und Orientierung einer linearen Abbildung

Die Determinante einer quadratischen Matrix misst die $orientierte Volumenskalierung$ ihrer linearen Abbildung. Ihr Betrag gibt den Volumenfaktor an, ihr Vorzeichen zeigt, ob die Orientierung erhalten oder umgekehrt wird.

Jede quadratische Matrix besitzt genau eine Determinante. Bei einer Determinante von null liegt das Bild in einer Menge niedrigerer Dimension. Die Abbildung ist daher nicht invertierbar.

Determinante ist eine spezielle Funktion, die eine quadratische Matrix annimmt und eine reelle Zahl erzeugt:

\det : \mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R} : A \mapsto \det A

Vorzeichen und Wert der Determinante ergeben drei Fälle:

Determinante	Geometrische Wirkung	Invertierbarkeit
$\det A>0$	Skaliert das Volumen mit $\lvert\det A\rvert$ und erhält die Orientierung	Invertierbar
$\det A<0$	Skaliert das Volumen mit $\lvert\det A\rvert$ und kehrt die Orientierung um	Invertierbar
$\det A=0$	Skaliert das Volumen auf null und bildet den Raum auf eine Menge niedrigerer Dimension ab	Nicht invertierbar

Der türkisfarbene Einheitswürfel wird durch die folgende Matrix zum orangefarbenen Parallelepiped. Die schrägen Kanten zeigen die Scherung. Das Volumen ergibt sich aus $Grundkantenlänge und senkrechten Höhen$ .

A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad \det A=2\cdot1\cdot1=2

Würfelvolumen nach Streckung und Scherung

Der türkisfarbene Einheitswürfel und sein orangefarbenes Bild haben denselben Ursprung. Drehe das Modell, um senkrechte Höhen und schräge Kanten zu vergleichen.

$x$: $[0; 3]$
$y$: $[0; 1]$
$z$: $[0; 1]$
Linien: 24

Die Grundkantenlänge wird 2, beide senkrechten Höhen bleiben 1. Das Volumen wächst deshalb von 1 auf 2. Die Länge einer schrägen Kante ist keine senkrechte Höhe.

Drei bestimmende Eigenschaften der Determinante

Genau eine Determinantenfunktion erfüllt die folgenden $drei Eigenschaften$ . Jede Eigenschaft legt ein Verhalten dieser Funktion fest: ihre Reaktion auf eine Zeilenoperation, das Ergebnis bei zwei gleichen Zeilen und den Wert, den die Einheitsmatrix liefern muss. Zusammen bestimmen sie die Determinante vollständig.

Lineare Eigenschaft in jeder Zeile

Die Determinante ist $in jeder Zeile linear, solange die übrigen Zeilen fest bleiben$ . Diese Eigenschaft heißt Multilinearität.

Wenn wir zwei Vektoren in einer Zeile hinzufügen:

\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_i + a_i' \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} &= \det \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_i \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \\ &\quad{}+ \det \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_i' \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \end{aligned}

Wenn wir eine Zeile mit einem Skalar multiplizieren:

\det \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ \lambda \cdot a_i \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}

Alternierende Eigenschaft

Die Determinante ist $alternierend$ : Sind zwei Zeilen gleich, ist ihr Wert null.

\det \begin{pmatrix} \vdots \\ a \\ \vdots \\ a \\ \vdots \end{pmatrix} = 0

Gleichbedeutend damit kehrt ein Tausch zweier Zeilen das Vorzeichen der Determinante um. Gleiche Zeilen blieben bei einem Tausch unverändert, zugleich müsste die Determinante ihr Vorzeichen wechseln. Daher kann ihr Wert nur null sein.

Normalisierungseigenschaft

Die Determinante wird $normalisiert$ , sodass die Determinante der Identitätsmatrix immer $1$ ist:

\det I = 1

Dabei ist $I$ die Einheitsmatrix passender Größe. Multilinearität, Alternierung und diese Normierung $bestimmen die Determinante eindeutig$ .

Matrixoperationen und Determinante

Wenn wir die $gesamte Matrix$ mit einem Skalar $\lambda$ multiplizieren, trägt jede Zeile einen Faktor zur Determinante bei:

\det(\lambda A) = \lambda^n \cdot \det A

Dies liegt daran, dass jede Zeile mit $\lambda$ multipliziert wird und es insgesamt $n$ Zeilen gibt.

Wenn wir zwei Zeilen einer Matrix vertauschen, ändert die Determinante das Vorzeichen:

\det B = -\det A

Das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile verändert die Determinante nicht:

\det \begin{pmatrix} \vdots \\ a_j \\ \vdots \\ a_i + \lambda a_j \\ \vdots \end{pmatrix}

Beziehung zur Matrixinvertibilität

Die Determinante entscheidet, ob eine quadratische Matrix $A$ invertierbar ist. Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

$Matrix A ist invertierbar$
$Es gibt eine inverse Matrix$ $A^{-1}$ , die $AA^{-1} = I$ erfüllt
$Matrix mit vollem Rang$ : $\operatorname{rank}(A) = n$
$Trivialer Kernel$ : $\ker(A) = \{0\}$
$Spalten sind linear unabhängig$
$Zeilen sind linear unabhängig$
$Determinante ist nicht Null$ : $\det A \neq 0$

Wenn die Determinante null ist, bildet die Transformation den Raum auf eine Menge niedrigerer Dimension ab und ist deshalb nicht umkehrbar.

Sind die Zeilen linear abhängig, ist eine Zeile eine Linearkombination der übrigen. Die Multilinearität zerlegt die Determinante dann in Terme mit wiederholten Zeilen, die wegen der alternierenden Eigenschaft alle null sind.

Multiplikationseigenschaften und ähnliche Matrizen

Die Determinante eines Matrixprodukts ist gleich dem Produkt der beiden Determinanten:

\det(AB) = \det A \cdot \det B

Ist die Matrix $A$ invertierbar, gilt für die Determinante ihrer Inversen:

\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}

Zwei Matrizen $A$ und $B$ heißen $ähnlich$ , wenn es eine invertierbare Matrix $S$ gibt, so dass:

B = S^{-1}AS

Ähnliche Matrizen haben dieselbe Determinante. Wende die Produktregel der Determinante an.

\det B = \det(S^{-1}AS)

Verwendet die Gauß-Elimination nur Zeilenadditionen und $p$ Zeilenvertauschungen, gilt für die Determinante der entstehenden oberen Dreiecksmatrix $R$

\det R = (-1)^p \cdot \det A

Wird eine Zeile zusätzlich skaliert, muss dieser Faktor gesondert berücksichtigt werden. Mit klar angegebenen Operationen liefert die Dreiecksform ein praktisches Verfahren zur Determinantenberechnung.

Häufige Fehler bei der Determinante

Die Determinante ist $im Allgemeinen nicht additiv$ . Das folgende Beispiel widerlegt eine Additionsregel.

Als einfaches Beispiel:

\det\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right)

Werden die beiden Determinanten getrennt berechnet, ergibt sich:

\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Da $4 \neq 2$ ist, ist die Determinante bei der Matrixaddition nicht additiv.