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Die Determinante einer quadratischen Matrix misst die orientierte Volumenskalierung ihrer linearen Abbildung. Ihr Betrag gibt den Volumenfaktor an, ihr Vorzeichen zeigt, ob die Orientierung erhalten oder umgekehrt wird.
Jede quadratische Matrix besitzt genau eine Determinante. Der Wert null bedeutet, dass mindestens eine Dimension zusammenfällt. Dann kann keine inverse Abbildung den ursprünglichen Vektor wiederherstellen.
Determinante ist eine spezielle Funktion, die eine quadratische Matrix annimmt und eine reelle Zahl erzeugt:
Diese Funktion ist einzigartig, da sie über drei charakteristische Eigenschaften verfügt, die keine andere Funktion aufweist.
| Determinante | Geometrische Wirkung | Invertierbarkeit |
|---|---|---|
| Skaliert das Volumen mit und erhält die Orientierung | Invertierbar | |
| Skaliert das Volumen mit und kehrt die Orientierung um | Invertierbar | |
| Lässt das Volumen auf eine niedriger dimensionale Menge zusammenfallen | Nicht invertierbar |
Die Determinante ist in jeder Zeile linear, solange die übrigen Zeilen fest bleiben. Diese Eigenschaft heißt Multilinearität.
Wenn wir zwei Vektoren in einer Zeile hinzufügen:
Wenn wir eine Zeile mit einem Skalar multiplizieren:
Die Determinante ist alternierend: Sind zwei Zeilen gleich, ist ihr Wert null.
Gleichbedeutend damit kehrt ein Tausch zweier Zeilen das Vorzeichen der Determinante um. Gleiche Zeilen blieben bei einem Tausch unverändert, zugleich müsste die Determinante ihr Vorzeichen wechseln. Daher kann ihr Wert nur null sein.
Die Determinante wird normalisiert, sodass die Determinante der Identitätsmatrix immer ist:
Dabei ist die Einheitsmatrix passender Größe. Multilinearität, Alternierung und diese Normierung bestimmen die Determinante eindeutig.
Wenn wir die gesamte Matrix mit einem Skalar multiplizieren, wird die Determinante durch die Potenz von n beeinflusst:
Dies liegt daran, dass jede Zeile mit multipliziert wird und es insgesamt Zeilen gibt.
Wenn wir zwei Zeilen einer Matrix vertauschen, ändert die Determinante das Vorzeichen:
Das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile verändert die Determinante nicht:
Die Multiplikation einer Zeile mit dem Skalar ändert die Determinante in . Durch Vertauschen der Zeilen ändert sich das Vorzeichen zu . Das Hinzufügen mehrerer anderer Zeilen ändert die Determinante überhaupt nicht.
Die Determinante entscheidet, ob eine quadratische Matrix invertierbar ist. Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:
Wenn die Determinante Null ist, „flacht“ die Matrix den Raum auf eine niedrigere Dimension ab, sodass die Transformation nicht umgekehrt werden kann.
Sind die Zeilen linear abhängig, ist eine Zeile eine Linearkombination der übrigen. Die Multilinearität zerlegt die Determinante dann in Terme mit wiederholten Zeilen, die wegen der alternierenden Eigenschaft alle null sind.
Eine der nützlichsten Eigenschaften der Determinante ist ihre Wechselwirkung mit der Matrixmultiplikation:
Ist die Matrix invertierbar, gilt für die Determinante ihrer Inversen:
Zwei Matrizen und heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix gibt, so dass:
Ähnliche Matrizen haben die gleiche Determinante. Der Beweis ist einfach:
Verwendet die Gauß-Elimination nur Zeilenadditionen und Zeilenvertauschungen, gilt für die Determinante der entstehenden oberen Dreiecksmatrix
Wird eine Zeile zusätzlich skaliert, muss dieser Faktor gesondert berücksichtigt werden. Mit klar angegebenen Operationen liefert die Dreiecksform ein praktisches Verfahren zur Determinantenberechnung.
Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass die Determinante nicht additiv ist:
Als einfaches Beispiel:
Aber:
Offensichtlich , daher ist die Determinante bei der Matrixaddition nicht additiv.
