Cramersche Regel

Lösen linearer Systeme

Die Cramersche Regel löst ein lineares Gleichungssystem direkt mithilfe von Determinanten, sofern seine Koeffizientenmatrix invertierbar ist.

Dabei wird jede Lösungskomponente $als Quotient zweier Determinanten$ ausgedrückt. Für große Systeme benötigt die Gauß-Elimination deutlich weniger Rechenaufwand.

Adjugierte Matrix

Die $adjugierte Matrix$ verbindet die Determinante mit der Inversenformel und der Cramerschen Regel.

Die $Adjugierte$ ist die transponierte Kofaktormatrix. Sie ist eine andere Konstruktion als die konjugiert transponierte Matrix.

Für die Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ist die adjugierte Matrix definiert als:

\tilde{A} = (\tilde{a}_{ij})_{i=1,\ldots,n \atop j=1,\ldots,n} \in \mathbb{R}^{n \times n}

Jeder Eintrag der adjugierten Matrix ist gegeben durch

\tilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det A_{ji}

Dabei ist $A_{ji}$ die Untermatrix, die durch Streichen der Zeile $j$ und der Spalte $i$ aus $A$ entsteht. Die Indizes sind vertauscht, weil die Kofaktoren in der adjugierten Matrix transponierte Positionen einnehmen.

Die adjugierte Matrix $\tilde{A}$ enthält die $Kofaktoren$ von $A$ an transponierten Positionen.

Struktur der adjugierten Matrix

Bezeichne jede Minordeterminante mit $c_{ij}$ . Die wechselnden Vorzeichen und $transponierten Indizes$ bleiben in der vollständigen Adjunkten sichtbar:

c_{ij}=\det A_{ij}

Für jedes Element wird die Determinante der passenden Untermatrix mit dem Vorzeichen aus dem Schachbrettmuster $(-1)^{i+j}$ versehen.

Identität der adjugierten Matrix

Die adjugierte Matrix erfüllt mit der Ausgangsmatrix die $folgende Identität$ :

\begin{aligned} &A \cdot \tilde{A} \\ &= \tilde{A} \cdot A \\ &= \begin{pmatrix} \det A & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \det A & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \det A \end{pmatrix} \end{aligned}

Mit anderen Worten:

A \cdot \tilde{A} = (\det A) \cdot I

Ein Diagonaleintrag des Produkts ist eine $Laplace-Entwicklung nach derselben Zeile$ und ergibt die Determinante. Außerhalb der Diagonale wird eine andere Zeile verwendet. Die entsprechende Determinante besitzt zwei gleiche Zeilen und ist deshalb null.

Formel zur Matrixinversion

Aus dieser Identität folgt mithilfe der adjugierten Matrix die $Inversenformel$ .

Wenn die Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ invertierbar ist, dann:

A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot \tilde{A}

Allerdings erfordert die Berechnung der Matrixinversen mit dieser Formel bei großen Matrizen deutlich mehr Rechenaufwand als die Gaußsche Eliminierung.

Beispiel für eine Matrix der Größe zwei mal zwei

Für eine $2\times2$ -Matrix gilt:

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

Die Determinante lautet:

\det A = a \cdot d - b \cdot c

Die adjugierte Matrix lautet:

\tilde{A} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Damit ergibt sich die inverse Matrix:

A^{-1} = \frac{1}{a \cdot d - b \cdot c} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Berechne die Einträge der $Zählermatrix$ einzeln:

\begin{aligned} &m_{11}=a\cdot d-b\cdot c \\ &m_{12}=-a\cdot b+a\cdot b \\ &m_{21}=c\cdot d-c\cdot d \\ &m_{22}=-c\cdot b+a\cdot d \end{aligned}

Ein lineares Gleichungssystem mit Determinanten lösen

Sei $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ eine invertierbare Matrix und $a^1, a^2, \ldots, a^n \in \mathbb{R}^n$ die Spalten von $A$ . Für den Vektor $b \in \mathbb{R}^n$ ist die Lösung $x \in \mathbb{R}^n$ des linearen Gleichungssystems $A \cdot x = b$ gegeben durch:

Bezeichne mit $A_j(b)$ die Matrix, deren Spalte $j$ durch $b$ ersetzt wird:

A_j(b)=(a^1\;\ldots\;a^{j-1}\;b\;a^{j+1}\;\ldots\;a^n)

Die Cramersche Formel gilt für $j = 1, 2, \ldots, n$ .

Um die $j$ -te Komponente der Lösung $x$ zu berechnen, $ersetzen wir$ die $j$ -te Spalte der Matrix $A$ durch den Vektor $b$ , berechnen dann die Determinante dieser modifizierten Matrix und dividieren sie durch die Determinante der ursprünglichen Matrix $A$ .

Die Lösungsformel beweisen

Der Beweis verwendet die $Laplace-Entwicklung$ und die Identität der adjugierten Matrix.

Für $j = 1, \ldots, n$ :

\begin{aligned} x_j &= (A^{-1} \cdot b)_j \\ &= \sum_{i=1}^{n} (A^{-1})_{ji} \cdot b_i \\ &= \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\det A} \cdot \tilde{a}_{ji} \cdot b_i \end{aligned}

= \frac{1}{\det A} \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot \det A_{ij} \cdot b_i

Die letzte Gleichheit folgt aus der Laplace-Entwicklung nach der $j$ -ten Spalte.

Ein Gleichungssystem mit drei Variablen durch Determinanten lösen

Wir lösen das folgende System und ersetzen bei jeder Berechnung $eine Spalte$ von $A$ :

\begin{aligned} &A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \\ &b = \begin{pmatrix} 20 \\ 40 \\ 30 \end{pmatrix} \end{aligned}

Wir berechnen die Determinante von $A$ .

\begin{aligned} \det A &= 1 \cdot ((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) \\ &\quad{}- 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) \\ &\quad{}+ (-1) \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) \\ &=-4 \end{aligned}

Die Rechnung ergibt $\det A=-4$ . Die Determinante ist also ungleich null. Damit ist $A$ invertierbar, und das System besitzt genau eine Lösung. Wir können daher die Cramersche Regel anwenden:

\begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 20 & 1 & -1 \\ 40 & -1 & 1 \\ 30 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{-120}{-4} \\ &= 30 \end{aligned}

\begin{aligned} x_2 &= \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 20 & -1 \\ 1 & 40 & 1 \\ -1 & 30 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{-100}{-4} \\ &= 25 \end{aligned}

\begin{aligned} x_3 &= \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 20 \\ 1 & -1 & 40 \\ -1 & 1 & 30 \end{pmatrix} \\ &= \frac{-140}{-4} \\ &= 35 \end{aligned}

Prüfe die drei Zählerdeterminanten durch Entwicklung nach der ersten Zeile. Setze die Lösung anschließend in jede Ausgangsgleichung ein.

\det A_1(b)=-40-10-70=-120

Lösungseigenschaften für ganzzahlige Matrizen

Sind $A \in \mathbb{Z}^{n \times n}$ invertierbar und $b \in \mathbb{Z}^n$ , dann sind die Einträge von $A^{-1}$ und die Lösung $x$ von $A \cdot x = b$ $rational$ . Vor dem Kürzen lassen sie sich alle über dem gemeinsamen Nenner $|\det A|$ schreiben. Jeder gekürzte Nenner teilt daher $|\det A|$ .

Der Grund ist einfach: Eine Determinante verwendet bei ganzzahligen Einträgen nur Addition, Subtraktion und Multiplikation und bleibt daher ganzzahlig. Erst die Inversenformel beziehungsweise die Cramersche Regel teilt durch $\det A$ .