Cramersche Regel

Die Cramersche Regel löst ein lineares Gleichungssystem direkt mithilfe von Determinanten, sofern seine Koeffizientenmatrix invertierbar ist.

Dabei wird der Zusammenhang zwischen Determinante und Lösung unmittelbar sichtbar. Für große Systeme ist die Gauß-Elimination allerdings deutlich effizienter.

Die adjugierte Matrix verbindet die Determinante mit der Inversenformel und der Cramerschen Regel.

Für die Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ist die adjugierte Matrix definiert als:

\tilde{A} = (\tilde{a}_{ij})_{i=1,\ldots,n \atop j=1,\ldots,n} \in \mathbb{R}^{n \times n}

Dabei sind die Indizes in $A_{ji}$ vertauscht, nicht in der Reihenfolge $A_{ij}$ .

Die adjugierte Matrix $\tilde{A}$ enthält die Kofaktoren von $A$ an transponierten Positionen.

Die adjugierte Matrix hat die folgende Struktur:

\tilde{A} = \begin{pmatrix} \det A_{11} & -\det A_{21} & \det A_{31} & \cdots \\ -\det A_{12} & \det A_{22} & -\det A_{32} & \cdots \\ \det A_{13} & -\det A_{23} & \det A_{33} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}

Für jedes Element wird die Determinante der passenden Untermatrix mit dem Vorzeichen aus dem Schachbrettmuster $(-1)^{i+j}$ versehen.

Die adjugierte Matrix erfüllt mit der Ausgangsmatrix die folgende Identität:

A \cdot \tilde{A} = \tilde{A} \cdot A = \begin{pmatrix} \det A & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \det A & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \det A \end{pmatrix}

Mit anderen Worten:

Diese Identität verknüpft die Matrix, ihre Adjugierte und ihre Determinante unmittelbar.

Aus dieser Identität folgt mithilfe der adjugierten Matrix die Inversenformel.

Wenn die Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ invertierbar ist, dann:

Allerdings ist die Berechnung der Matrixinversen mit dieser Formel im Vergleich zur Gaußschen Eliminierung für große Matrizen viel weniger effizient.

Für eine $2\times2$ -Matrix gilt:

Die Determinante lautet:

Die adjugierte Matrix lautet:

Damit ergibt sich die inverse Matrix:

A^{-1} = \frac{1}{a \cdot d - b \cdot c} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Wir können Folgendes überprüfen:

A \cdot A^{-1} = \frac{1}{a \cdot d - b \cdot c} \begin{pmatrix} a \cdot d - b \cdot c & -a \cdot b + a \cdot b \\ c \cdot d - c \cdot d & -c \cdot b + a \cdot d \end{pmatrix}

Damit lässt sich die Cramersche Regel formulieren.

Sei $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ eine invertierbare Matrix und $a^1, a^2, \ldots, a^n \in \mathbb{R}^n$ die Spalten von $A$ . Für den Vektor $b \in \mathbb{R}^n$ ist die Lösung $x \in \mathbb{R}^n$ des linearen Gleichungssystems $A \cdot x = b$ gegeben durch:

x_j = \frac{\det(a^1 \; \ldots \; a^{j-1} \; b \; a^{j+1} \; \ldots \; a^n)}{\det A}

für $j = 1, 2, \ldots, n$ .

Um die $j$ -te Komponente der Lösung $x$ zu berechnen, ersetzen wir die $j$ -te Spalte der Matrix $A$ durch den Vektor $b$ , berechnen dann die Determinante dieser modifizierten Matrix und dividieren sie durch die Determinante der ursprünglichen Matrix $A$ .

Der Beweis verwendet die Laplace-Entwicklung und die Identität der adjugierten Matrix.

Für $j = 1, \ldots, n$ :

x_j = (A^{-1} \cdot b)_j = \sum_{i=1}^{n} (A^{-1})_{ji} \cdot b_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\det A} \cdot \tilde{a}_{ji} \cdot b_i

= \frac{1}{\det A} \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot \det A_{ij} \cdot b_i

mithilfe der Laplace-Entwicklung nach der $j$ -ten Spalte.

Nun wenden wir die Regel auf ein konkretes System an:

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 20 \\ 40 \\ 30 \end{pmatrix}

\det A = 1 \cdot ((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1)

gilt, ist die Matrix $A$ invertierbar und das System besitzt genau eine Lösung.

Die Cramersche Regel liefert:

x_1 = \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 20 & 1 & -1 \\ 40 & -1 & 1 \\ 30 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{-120}{-4} = 30

x_2 = \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 20 & -1 \\ 1 & 40 & 1 \\ -1 & 30 & 1 \end{pmatrix} = \frac{-100}{-4} = 25

x_3 = \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 20 \\ 1 & -1 & 40 \\ -1 & 1 & 30 \end{pmatrix} = \frac{-140}{-4} = 35

Die Überprüfung zeigt, dass $A \cdot x - b = 0$ .

Sind $A \in \mathbb{Z}^{n \times n}$ invertierbar und $b \in \mathbb{Z}^n$ , dann sind die Einträge von $A^{-1}$ und die Lösung $x$ von $A \cdot x = b$ rational. Vor dem Kürzen lassen sie sich alle über dem gemeinsamen Nenner $|\det A|$ schreiben. Jeder gekürzte Nenner teilt daher $|\det A|$ .

Der Grund ist einfach: Eine Determinante verwendet bei ganzzahligen Einträgen nur Addition, Subtraktion und Multiplikation und bleibt daher ganzzahlig. Erst die Inversenformel beziehungsweise die Cramersche Regel teilt durch $\det A$ .

Cramersche Regel

Lösen linearer Systeme

Cramersche Regel

Lösen linearer Systeme

Adjugierte Matrix

Struktur der adjugierten Matrix

Grundlegende Eigenschaft der adjugierten Matrix

Matrix-Umkehrformel

Beispiel für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix

Satz

Beweis mit der Laplace-Entwicklung

Anwendungsbeispiel

Lösungseigenschaften für ganzzahlige Matrizen