Eigenwerte Eigenvektoren und Eigenräume

Eigenwerte und Eigenvektoren

Die meisten Vektoren ändern unter einer Matrixtransformation sowohl ihre Länge als auch ihre Richtung. Bei einem Eigenvektor bleibt das Ergebnis auf derselben Geraden. Bei einem reellen Eigenwert erhält ein positiver Wert die Orientierung, ein negativer kehrt sie um und ein Eigenwert von null bildet den Vektor auf den Nullvektor ab.

Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ eine quadratische Matrix. Ein $Eigenvektor$ $v \in \mathbb{K}^n$ für einen $Eigenwert$ $\lambda \in \mathbb{K}$ ist ein Nicht-Null-Vektor $v \neq 0$ , der Folgendes erfüllt:

A \cdot v = \lambda \cdot v

Die $Multiplikation von$ $v$ mit $A$ ändert nur seine Skalierung oder Orientierung, und die Gerade durch den Vektor bleibt gleich.

Per Definition können Eigenwerte gleich $0$ sein, aber $Eigenvektoren sind immer ungleich Null$ .

Grundlegende Eigenschaften von Eigenvektoren

$Skalare Multiplikation$ : Seien $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ und $v \in \mathbb{K}^n$ mit $v \neq 0$ ein Eigenvektor von $A$ für den Eigenwert $\lambda \in \mathbb{K}$ . Dann sind alle Vielfachen $t \cdot v$ mit $t \neq 0$ auch Eigenvektoren von $A$ für denselben Eigenwert $\lambda$ .

Das folgt direkt aus der Linearität:

\begin{aligned} A \cdot (t \cdot v) &= t \cdot (A \cdot v) \\ &= t \cdot (\lambda \cdot v) \\ &= \lambda \cdot (t \cdot v) \end{aligned}

Wegen $t\neq0$ ist $tv$ weiterhin ungleich null und erfüllt die Eigenvektordefinition für denselben Eigenwert.

Beispiele für Eigenvektorberechnungen

Die Beispiele hier $prüfen die Gleichung$ $Av=\lambda v$ direkt, einmal mit einer diagonalen und einmal mit einer symmetrischen Matrix. Beide Rechnungen zeigen, woher der Eigenwert kommt und wie der Eigenvektor gefunden wird, und genau dieses Vorgehen brauchst du auch bei einer Matrix, die weder diagonal noch symmetrisch ist.

Diagonale Matrix

Betrachte die Matrix:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

Der folgende Vektor $v_1$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_1 = 1$ . Die $Multiplikation mit$ $A$ bestätigt das:

v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

Der folgende Vektor $v_2$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_2 = 2$ . Die $Multiplikation mit$ $A$ bestätigt das:

v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Ein Vektor außerhalb dieser Koordinatenachsen $ändert im Allgemeinen seine Richtung$ . Für die obige Diagonalmatrix gilt:

A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\neq\lambda\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\quad\text{für jedes }\lambda

Symmetrische Matrix

Betrachte die Matrix:

A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

Der folgende Vektor $v_1$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_1 = 2$ . Die $Multiplikation$ mit $A$ bestätigt das:

v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}

Der folgende Vektor $v_2$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_2 = 4$ . Die Multiplikation mit $A$ bestätigt das:

v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren

Seien $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ und $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$ $paarweise verschiedene Eigenwerte$ von $A$ , sodass $\lambda_i \neq \lambda_j$ gilt, sobald $i \neq j$ ist. Dann sind die zugehörigen Eigenvektoren $v_1, \ldots, v_k \in \mathbb{K}^n$ linear unabhängig.

Durch mathematische Induktion folgt aus diesem Satz, dass eine $n \times n$ -Matrix höchstens $n$ verschiedene Eigenwerte hat.

Eigenräume und geometrische Multiplizität

Für jeden Eigenwert definieren wir einen Vektorraum mit allen Lösungen von $Av=\lambda v$ , einschließlich des Nullvektors.

Seien $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ und $\lambda \in \mathbb{K}$ . Die folgende Menge heißt $Eigenraum$ der Matrix $A$ zum Eigenwert $\lambda$ .

E_A(\lambda) = \{v \in \mathbb{K}^n : A \cdot v = \lambda \cdot v\}

Die Dimension eines Eigenraums heißt $geometrische Multiplizität$ . Wir schreiben sie als

\dim E_A(\lambda)

Der Wert $\dim E_A(\lambda)$ gibt somit die geometrische Multiplizität des Eigenwerts $\lambda$ der Matrix $A$ an.

Eigenschaften von Eigenräumen

Für jeden Eigenraum gelten die folgenden Eigenschaften:

$Nullvektor ist kein Eigenvektor$ : Der Nullvektor ist kein Eigenvektor, gehört aber zu $E_A(\lambda)$ .
$Menge der Eigenvektoren$ : $E_A(\lambda) \setminus \{0\}$ ist die Menge aller Eigenvektoren von $A$ zu $\lambda$ .
$Eigenwertbedingung$ : $\lambda$ ist genau dann ein Eigenwert von $A$ , wenn $E_A(\lambda) \neq \{0\}$ .
$Dimensionsgrenze$ : $0 \leq \dim E_A(\lambda) \leq n$ . Ist $\lambda$ ein Eigenwert, verbessert sich die untere Grenze auf $1$ .
$Beziehung zum Kern$ : $E_A(0) = \{v \in \mathbb{K}^n : A \cdot v = 0\} = \ker A$ .
$Allgemeiner Eigenraum$ : $E_A(\lambda) = \{v \in \mathbb{K}^n : (A - \lambda \cdot I) \cdot v = 0\} = \ker(A - \lambda \cdot I)$ .
$Schnitt der Eigenräume$ : Wenn $\lambda_1 \neq \lambda_2$ , dann gilt $E_A(\lambda_1) \cap E_A(\lambda_2) = \{0\}$ .

Zusammenhang mit Invertibilität

Eine Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ ist genau dann invertierbar, wenn $null keiner ihrer Eigenwerte$ ist.

Tatsächlich ist $A$ genau dann invertierbar, wenn $\operatorname{rank} A = n$ gilt, äquivalent zu $E_A(0) = \ker A = \{0\}$ . Ein Eigenwert null bedeutet also, dass die Matrix einen Vektor ungleich null auf null abbildet, und genau das schließt die Invertierbarkeit aus.

Eigenwerte der inversen Matrix

Wenn die Matrix $A$ $invertierbar$ ist und $v \neq 0$ ein Eigenvektor von $A$ für den Eigenwert $\lambda \in \mathbb{K}$ ist, dann ist $v$ auch ein Eigenvektor von $A^{-1}$ für den Eigenwert $\frac{1}{\lambda}$ .

Die Multiplikation von $A \cdot v = \lambda \cdot v$ mit $A^{-1}$ ergibt:

v = \lambda A^{-1}v \quad \Longrightarrow \quad A^{-1}v = \frac{1}{\lambda}v

Invertibilitätskriterien

Für eine quadratische Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

$A$ ist invertierbar
Es existiert eine Matrix $A^{-1} \in \mathbb{K}^{n \times n}$ mit $A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A$
$A$ hat vollen Rang, $\operatorname{rank} A = n$ , äquivalent zu $\ker A = \{0\}$
Die Spalten von $A$ sind linear unabhängig
Die Zeilen von $A$ sind linear unabhängig
$\det A \neq 0$
$0$ ist kein Eigenwert von $A$

$Jede einzelne dieser Bedingungen$ reicht als Nachweis der Invertierbarkeit aus.

Eigenwerte und Eigenvektoren

A \cdot v = \lambda \cdot v

Die $Multiplikation von$ $v$ mit $A$ ändert nur seine Skalierung oder Orientierung, und die Gerade durch den Vektor bleibt gleich.

Per Definition können Eigenwerte gleich $0$ sein, aber $Eigenvektoren sind immer ungleich Null$ .

Grundlegende Eigenschaften von Eigenvektoren

Das folgt direkt aus der Linearität:

\begin{aligned} A \cdot (t \cdot v) &= t \cdot (A \cdot v) \\ &= t \cdot (\lambda \cdot v) \\ &= \lambda \cdot (t \cdot v) \end{aligned}

Wegen $t\neq0$ ist $tv$ weiterhin ungleich null und erfüllt die Eigenvektordefinition für denselben Eigenwert.

Beispiele für Eigenvektorberechnungen

Diagonale Matrix

Betrachte die Matrix:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

Der folgende Vektor $v_1$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_1 = 1$ . Die $Multiplikation mit$ $A$ bestätigt das:

v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

Der folgende Vektor $v_2$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_2 = 2$ . Die $Multiplikation mit$ $A$ bestätigt das:

v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Ein Vektor außerhalb dieser Koordinatenachsen $ändert im Allgemeinen seine Richtung$ . Für die obige Diagonalmatrix gilt:

A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\neq\lambda\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\quad\text{für jedes }\lambda

Symmetrische Matrix

Betrachte die Matrix:

A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

Der folgende Vektor $v_1$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_1 = 2$ . Die $Multiplikation$ mit $A$ bestätigt das:

v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}

Der folgende Vektor $v_2$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_2 = 4$ . Die Multiplikation mit $A$ bestätigt das:

v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren

Durch mathematische Induktion folgt aus diesem Satz, dass eine $n \times n$ -Matrix höchstens $n$ verschiedene Eigenwerte hat.

Eigenräume und geometrische Multiplizität

Für jeden Eigenwert definieren wir einen Vektorraum mit allen Lösungen von $Av=\lambda v$ , einschließlich des Nullvektors.

Seien $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ und $\lambda \in \mathbb{K}$ . Die folgende Menge heißt $Eigenraum$ der Matrix $A$ zum Eigenwert $\lambda$ .

E_A(\lambda) = \{v \in \mathbb{K}^n : A \cdot v = \lambda \cdot v\}

Die Dimension eines Eigenraums heißt $geometrische Multiplizität$ . Wir schreiben sie als

\dim E_A(\lambda)

Der Wert $\dim E_A(\lambda)$ gibt somit die geometrische Multiplizität des Eigenwerts $\lambda$ der Matrix $A$ an.

Eigenschaften von Eigenräumen

Für jeden Eigenraum gelten die folgenden Eigenschaften:

$Nullvektor ist kein Eigenvektor$ : Der Nullvektor ist kein Eigenvektor, gehört aber zu $E_A(\lambda)$ .
$Menge der Eigenvektoren$ : $E_A(\lambda) \setminus \{0\}$ ist die Menge aller Eigenvektoren von $A$ zu $\lambda$ .
$Eigenwertbedingung$ : $\lambda$ ist genau dann ein Eigenwert von $A$ , wenn $E_A(\lambda) \neq \{0\}$ .
$Dimensionsgrenze$ : $0 \leq \dim E_A(\lambda) \leq n$ . Ist $\lambda$ ein Eigenwert, verbessert sich die untere Grenze auf $1$ .
$Beziehung zum Kern$ : $E_A(0) = \{v \in \mathbb{K}^n : A \cdot v = 0\} = \ker A$ .
$Allgemeiner Eigenraum$ : $E_A(\lambda) = \{v \in \mathbb{K}^n : (A - \lambda \cdot I) \cdot v = 0\} = \ker(A - \lambda \cdot I)$ .
$Schnitt der Eigenräume$ : Wenn $\lambda_1 \neq \lambda_2$ , dann gilt $E_A(\lambda_1) \cap E_A(\lambda_2) = \{0\}$ .

Zusammenhang mit Invertibilität

Eine Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ ist genau dann invertierbar, wenn $null keiner ihrer Eigenwerte$ ist.

Eigenwerte der inversen Matrix

Die Multiplikation von $A \cdot v = \lambda \cdot v$ mit $A^{-1}$ ergibt:

v = \lambda A^{-1}v \quad \Longrightarrow \quad A^{-1}v = \frac{1}{\lambda}v

Invertibilitätskriterien

Für eine quadratische Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

$A$ ist invertierbar
Es existiert eine Matrix $A^{-1} \in \mathbb{K}^{n \times n}$ mit $A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A$
$A$ hat vollen Rang, $\operatorname{rank} A = n$ , äquivalent zu $\ker A = \{0\}$
Die Spalten von $A$ sind linear unabhängig
Die Zeilen von $A$ sind linear unabhängig
$\det A \neq 0$
$0$ ist kein Eigenwert von $A$

$Jede einzelne dieser Bedingungen$ reicht als Nachweis der Invertierbarkeit aus.