Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume

Die meisten Vektoren ändern unter einer Matrixtransformation sowohl ihre Länge als auch ihre Richtung. Ein Eigenvektor ist besonders: Die Transformation hält ihn auf derselben Geraden. Ein positiver Eigenwert erhält die Orientierung, ein negativer kehrt sie um und ein Eigenwert von null bildet den Vektor auf den Nullvektor ab.

Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ eine quadratische Matrix. Ein Eigenvektor $v \in \mathbb{K}^n$ für einen Eigenwert $\lambda \in \mathbb{K}$ ist ein Nicht-Null-Vektor $v \neq 0$, der Folgendes erfüllt:

Diese Gleichung zeigt, dass das Ergebnis ein skalares Vielfaches desselben Vektors ist, wenn die Matrix $A$ auf den Vektor $v$ operiert.

Per Definition können Eigenwerte gleich $0$ sein, aber Eigenvektoren sind immer ungleich Null.

Grundlegende Eigenschaften von Eigenvektoren

Eigenvektoren haben grundlegende Eigenschaften, die in verschiedenen mathematischen Anwendungen sehr nützlich sind.

Skalare Multiplikation: Seien $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ und $v \in \mathbb{K}^n$ mit $v \neq 0$ ein Eigenvektor von $A$ für den Eigenwert $\lambda \in \mathbb{K}$. Dann sind alle Vielfachen $t \cdot v$ mit $t \neq 0$ auch Eigenvektoren von $A$ für denselben Eigenwert $\lambda$.

Das folgt direkt aus der Linearität:

Diese Eigenschaft zeigt, dass, wenn wir einen Eigenvektor finden, alle seine Vielfachen ungleich Null auch Eigenvektoren für denselben Eigenwert sind.

Beispiele für Eigenvektorberechnungen

Betrachten wir einige konkrete Beispiele, um dieses Konzept besser zu verstehen:

Diagonale Matrix

Für Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$:

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ ist ein Eigenvektor für den Eigenwert $\lambda_1 = 1$, weil $A \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot v_1$

$v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist ein Eigenvektor für den Eigenwert $\lambda_2 = 2$, weil $A \cdot v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot v_2$

Symmetrische Matrix

Für Matrix $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$:

$v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist ein Eigenvektor für den Eigenwert $\lambda_1 = 2$, weil $A \cdot v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot v_1$

$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist ein Eigenvektor für den Eigenwert $\lambda_2 = 4$, weil $A \cdot v_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = 4 \cdot v_2$

Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren

Seien $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ und $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$ paarweise verschiedene Eigenwerte von $A$, sodass $\lambda_i \neq \lambda_j$ gilt, sobald $i \neq j$ ist. Dann sind die zugehörigen Eigenvektoren $v_1, \ldots, v_k \in \mathbb{K}^n$ linear unabhängig.

Dieser Satz kann durch mathematische Induktion bewiesen werden und hat die wichtige Konsequenz, dass eine $n \times n$-Matrix höchstens $n$ verschiedene Eigenwerte hat.

Eigenräume und geometrische Multiplizität

Für jeden Eigenwert können wir einen Vektorraum definieren, der aus allen Eigenvektoren besteht, die diesem Eigenwert entsprechen.

Seien $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ und $\lambda \in \mathbb{K}$. Die Menge

heißt der Eigenraum von $A$ für $\lambda$. Seine Dimension:

wird die geometrische Multiplizität des Eigenwerts $\lambda$ von $A$ genannt.

Eigenschaften von Eigenräumen

Eigenräume haben mehrere wichtige Eigenschaften:

1. Nullvektor ist kein Eigenvektor: Der Nullvektor ist kein Eigenvektor, gehört aber zu $E_A(\lambda)$.

2. Menge der Eigenvektoren: $E_A(\lambda) \setminus \{0\}$ ist die Menge aller Eigenvektoren von $A$ zu $\lambda$.

3. Eigenwertbedingung: $\lambda$ ist genau dann ein Eigenwert von $A$, wenn $E_A(\lambda) \neq \{0\}$.

4. Dimensionsgrenze: $0 \leq \dim E_A(\lambda) \leq n$. Ist $\lambda$ ein Eigenwert, verbessert sich die untere Grenze auf $1$.

5. Beziehung zum Kern: $E_A(0) = \{v \in \mathbb{K}^n : A \cdot v = 0\} = \ker A$.

6. Allgemeiner Eigenraum: $E_A(\lambda) = \{v \in \mathbb{K}^n : (A - \lambda \cdot I) \cdot v = 0\} = \ker(A - \lambda \cdot I)$.

7. Schnitt der Eigenräume: Wenn $\lambda_1 \neq \lambda_2$, dann gilt $E_A(\lambda_1) \cap E_A(\lambda_2) = \{0\}$.

Zusammenhang mit Invertibilität

Eigenwerte stehen in engem Zusammenhang mit der Invertibilitätseigenschaft von Matrizen.

Eine Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ ist genau dann invertierbar, wenn null keiner ihrer Eigenwerte ist.

Tatsächlich ist $A$ genau dann invertierbar, wenn $\operatorname{rank} A = n$ gilt, äquivalent zu $E_A(0) = \ker A = \{0\}$.

Eigenwerte der inversen Matrix

Wenn die Matrix $A$ invertierbar ist und $v \neq 0$ ein Eigenvektor von $A$ für den Eigenwert $\lambda \in \mathbb{K}$ ist, dann ist $v$ auch ein Eigenvektor von $A^{-1}$ für den Eigenwert $\frac{1}{\lambda}$.

Wenden wir $A^{-1}$ auf $A \cdot v = \lambda \cdot v$ an, erhalten wir:

Invertibilitätskriterien

Betrachten wir verschiedene Möglichkeiten, um zu bestimmen, ob eine Matrix invertierbar ist. Für eine quadratische Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. $A$ ist invertierbar
2. Es existiert eine Matrix $A^{-1} \in \mathbb{K}^{n \times n}$ mit $A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A$
3. $A$ hat vollen Rang, $\operatorname{rank} A = n$, äquivalent zu $\ker A = \{0\}$
4. Die Spalten von $A$ sind linear unabhängig
5. Die Zeilen von $A$ sind linear unabhängig
6. $\det A \neq 0$
7. $0$ ist kein Eigenwert von $A$

Dieser Satz bietet verschiedene äquivalente Möglichkeiten, um zu überprüfen, ob eine Matrix invertierbar ist, wobei Eigenwerte eines der sehr nützlichen Kriterien sind.