Eigenwerte von Diagonalmatrizen und Dreiecksmatrizen

Diagonalmatrizen und ihre besonderen Eigenschaften

Bei Diagonal- und Dreiecksmatrizen lässt sich jeder Eigenwert zusammen mit seiner algebraischen Multiplizität $direkt von der Hauptdiagonale ablesen$ . Die Matrix kann eine der folgenden Formen haben:

Die drei folgenden Formen zeigen eine Diagonal-, eine obere Dreiecks- und eine untere Dreiecksmatrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ .

A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}

Bei allen drei Formen sind die Eigenwerte die Einträge der Hauptdiagonale:

\lambda_1 = a_{11}, \ldots, \lambda_n = a_{nn}

Warum ist das wahr? Da $\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I) = (a_{11} - t) \cdots (a_{nn} - t)$ mit Wurzeln $a_{11}, \ldots, a_{nn}$ .

Damit sind für eine Dreiecksmatrix weder eine vollständige Determinantenentwicklung noch ein Verfahren zur Nullstellensuche nötig.

Obere und untere Dreiecksmatrizen

Dreiecksmatrizen haben die gleichen Eigenschaften wie Diagonalmatrizen. Sowohl für obere als auch für untere Dreiecksmatrizen sind die Eigenwerte immer noch die Einträge der Hauptdiagonale.

Dies liegt daran, dass bei der Berechnung von $\det(A - tI)$ die Einträge oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonale keinen Einfluss auf die Determinantenberechnung haben. Die Dreiecksstruktur ermöglicht die Berechnung der Determinante als $Produkt diagonaler Einträge$ .

Zum Beispiel können sich Einträge außerhalb der Diagonale ändern, während die $Eigenwerte gleich bleiben$ :

T=\begin{pmatrix}2&4&1\\0&2&3\\0&0&-1\end{pmatrix},\qquad \chi_T(t)=(2-t)^2(-1-t)

Damit tritt 2 zweimal und −1 einmal auf. Das bestimmt die Eigenwerte, beweist aber noch keine Diagonalisierbarkeit.

Eigenwerte nicht dreieckiger Matrizen berechnen

Die Diagonalregel gilt speziell für Dreiecksmatrizen. Sobald die Matrix nicht mehr dreieckig ist, verbergen sich die Eigenwerte im charakteristischen Polynom, sodass die Arbeit vom Ablesen der Diagonaleinträge zum $Bestimmen der Wurzeln$ wechselt.

Komplexe Eigenwerte

Betrachte die Matrix:

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Ihr charakteristisches Polynom lautet:

\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 1-t & -1 \\ 1 & 1-t \end{pmatrix}

t^2-2t+2=0\iff(t-1)^2=-1\iff t=1\pm i

$Die Nullstellen dieses charakteristischen Polynoms$ sind $\lambda_1 = 1 + i$ und $\lambda_2 = 1 - i$ .

Eigenwerte gleich null

Betrachte die Matrix:

A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}

Ihr charakteristisches Polynom lautet:

\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 1-t & -i \\ i & 1-t \end{pmatrix}

$Die Nullstellen dieses charakteristischen Polynoms$ sind $\lambda_1 = 2$ und $\lambda_2 = 0$ .

Charakteristische Polynomfaktorisierung

Hat $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ die $mit algebraischer Multiplizität gezählten$ Eigenwerte $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ , dann faktorisiert das charakteristische Polynom als:

\chi_A(t) = (\lambda_1 - t) \cdots (\lambda_n - t)

Mit $\sigma(A)$ bezeichnen wir die endliche Menge der verschiedenen Eigenwerte von $A$ . Ihre algebraischen Multiplizitäten summieren sich zu $n$ :

\sum_{\lambda \in \sigma(A)} \mu_A(\lambda) = n

In kompakterer Form:

\chi_A(t) = \prod_{\lambda \in \sigma(A)} (\lambda - t)^{\mu_A(\lambda)}

Diese Eigenschaft gilt natürlich für komplexe Eigenwerte von Matrizen mit reellen Einträgen. Eigenwerte können reelle Zahlen oder komplex konjugierte Paare sein.

Beziehung zwischen Determinante und Spur

Wenn das charakteristische Polynom $\chi_A(t)$ über $\mathbb{K}$ in Linearfaktoren zerfällt, besitzt die Matrix $A$ dort $n$ Eigenwerte $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ , mit Vielfachheiten gezählt. Für ihre Summe und ihr Produkt gilt:

\det A = \prod_{i=1}^n \lambda_i

$Die Determinante ist das Produkt$ aller Eigenwerte und $die Spur ist die Summe$ aller Eigenwerte.

Prüfen wir anhand unserer vorherigen Beispiele:

Für die folgende Matrix mit den Eigenwerten $\lambda_1 = 1 + i$ und $\lambda_2 = 1 - i$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Mit Determinante und Spur prüfen wir die Eigenwerte:

\begin{aligned} \det A &= 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) \\ &= 2 \\ &= \lambda_1 \cdot \lambda_2 \end{aligned}

Für die folgende Matrix mit den Eigenwerten $\lambda_1 = 2$ und $\lambda_2 = 0$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}

Mit Determinante und Spur prüfen wir die Eigenwerte:

\begin{aligned} \det A &= 1 \cdot 1 - i \cdot (-i) \\ &= 0 \\ &= \lambda_1 \cdot \lambda_2 \end{aligned}

Diese beiden Identitäten eignen sich zur Ergebniskontrolle, bestimmen für eine allgemeine Matrix mit $n > 2$ aber noch nicht alle Eigenwerte. Eine unmittelbare Folgerung lautet:

\det A = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 0 \in \sigma(A)

Eine quadratische Matrix ist also genau dann singulär, wenn null einer ihrer Eigenwerte ist.

Diagonalmatrizen und ihre besonderen Eigenschaften

Die drei folgenden Formen zeigen eine Diagonal-, eine obere Dreiecks- und eine untere Dreiecksmatrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ .

A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}

Bei allen drei Formen sind die Eigenwerte die Einträge der Hauptdiagonale:

\lambda_1 = a_{11}, \ldots, \lambda_n = a_{nn}

Warum ist das wahr? Da $\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I) = (a_{11} - t) \cdots (a_{nn} - t)$ mit Wurzeln $a_{11}, \ldots, a_{nn}$ .

Damit sind für eine Dreiecksmatrix weder eine vollständige Determinantenentwicklung noch ein Verfahren zur Nullstellensuche nötig.

Obere und untere Dreiecksmatrizen

Dreiecksmatrizen haben die gleichen Eigenschaften wie Diagonalmatrizen. Sowohl für obere als auch für untere Dreiecksmatrizen sind die Eigenwerte immer noch die Einträge der Hauptdiagonale.

Zum Beispiel können sich Einträge außerhalb der Diagonale ändern, während die $Eigenwerte gleich bleiben$ :

T=\begin{pmatrix}2&4&1\\0&2&3\\0&0&-1\end{pmatrix},\qquad \chi_T(t)=(2-t)^2(-1-t)

Damit tritt 2 zweimal und −1 einmal auf. Das bestimmt die Eigenwerte, beweist aber noch keine Diagonalisierbarkeit.

Eigenwerte nicht dreieckiger Matrizen berechnen

Komplexe Eigenwerte

Betrachte die Matrix:

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Ihr charakteristisches Polynom lautet:

\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 1-t & -1 \\ 1 & 1-t \end{pmatrix}

t^2-2t+2=0\iff(t-1)^2=-1\iff t=1\pm i

$Die Nullstellen dieses charakteristischen Polynoms$ sind $\lambda_1 = 1 + i$ und $\lambda_2 = 1 - i$ .

Eigenwerte gleich null

Betrachte die Matrix:

A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}

Ihr charakteristisches Polynom lautet:

\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 1-t & -i \\ i & 1-t \end{pmatrix}

$Die Nullstellen dieses charakteristischen Polynoms$ sind $\lambda_1 = 2$ und $\lambda_2 = 0$ .

Charakteristische Polynomfaktorisierung

Hat $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ die $mit algebraischer Multiplizität gezählten$ Eigenwerte $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ , dann faktorisiert das charakteristische Polynom als:

\chi_A(t) = (\lambda_1 - t) \cdots (\lambda_n - t)

Mit $\sigma(A)$ bezeichnen wir die endliche Menge der verschiedenen Eigenwerte von $A$ . Ihre algebraischen Multiplizitäten summieren sich zu $n$ :

\sum_{\lambda \in \sigma(A)} \mu_A(\lambda) = n

In kompakterer Form:

\chi_A(t) = \prod_{\lambda \in \sigma(A)} (\lambda - t)^{\mu_A(\lambda)}

Diese Eigenschaft gilt natürlich für komplexe Eigenwerte von Matrizen mit reellen Einträgen. Eigenwerte können reelle Zahlen oder komplex konjugierte Paare sein.

Beziehung zwischen Determinante und Spur

\det A = \prod_{i=1}^n \lambda_i

$Die Determinante ist das Produkt$ aller Eigenwerte und $die Spur ist die Summe$ aller Eigenwerte.

Prüfen wir anhand unserer vorherigen Beispiele:

Für die folgende Matrix mit den Eigenwerten $\lambda_1 = 1 + i$ und $\lambda_2 = 1 - i$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Mit Determinante und Spur prüfen wir die Eigenwerte:

\begin{aligned} \det A &= 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) \\ &= 2 \\ &= \lambda_1 \cdot \lambda_2 \end{aligned}

Für die folgende Matrix mit den Eigenwerten $\lambda_1 = 2$ und $\lambda_2 = 0$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}

Mit Determinante und Spur prüfen wir die Eigenwerte:

\begin{aligned} \det A &= 1 \cdot 1 - i \cdot (-i) \\ &= 0 \\ &= \lambda_1 \cdot \lambda_2 \end{aligned}

Diese beiden Identitäten eignen sich zur Ergebniskontrolle, bestimmen für eine allgemeine Matrix mit $n > 2$ aber noch nicht alle Eigenwerte. Eine unmittelbare Folgerung lautet:

\det A = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 0 \in \sigma(A)

Eine quadratische Matrix ist also genau dann singulär, wenn null einer ihrer Eigenwerte ist.