Eigenwerte von Diagonal- und Dreiecksmatrizen

Bei Diagonal- und Dreiecksmatrizen lässt sich jeder Eigenwert zusammen mit seiner algebraischen Multiplizität direkt von der Hauptdiagonale ablesen. Die Matrix kann eine der folgenden Formen haben:

Die Eigenwerte einer quadratischen Diagonalmatrix oder Dreiecksmatrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$

sind seine wichtigsten diagonalen Einträge:

Warum ist das wahr? Da $\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I) = (a_{11} - t) \cdots (a_{nn} - t)$ mit Wurzeln $a_{11}, \ldots, a_{nn}$.

Damit sind für eine Dreiecksmatrix weder eine vollständige Determinantenentwicklung noch ein Verfahren zur Nullstellensuche nötig.

Obere und untere Dreiecksmatrizen

Dreiecksmatrizen haben die gleichen Eigenschaften wie Diagonalmatrizen. Sowohl für obere als auch für untere Dreiecksmatrizen sind die Eigenwerte immer noch die wichtigsten Diagonaleinträge.

Dies liegt daran, dass bei der Berechnung von $\det(A - tI)$ die Einträge oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonale keinen Einfluss auf die Determinantenberechnung haben. Die Dreiecksstruktur ermöglicht die Berechnung der Determinante als Produkt diagonaler Einträge.

Beispiele für direkte Berechnungen

Die Diagonalregel gilt speziell für Dreiecksmatrizen. Zum Vergleich müssen wir bei den folgenden nicht dreieckigen Matrizen jeweils das charakteristische Polynom berechnen.

Komplexe Eigenwerte

Angenommen $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Sein charakteristisches Polynom ist:

welches Wurzeln $\lambda_1 = 1 + i$ und $\lambda_2 = 1 - i$ hat.

Null-Eigenwerte

Für $A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}$ ist das charakteristische Polynom:

mit Wurzeln $\lambda_1 = 2$ und $\lambda_2 = 0$.

Charakteristische Polynomfaktorisierung

Hat $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ die mit algebraischer Multiplizität gezählten Eigenwerte $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$, dann faktorisiert das charakteristische Polynom als:

Mit $\sigma(A)$ bezeichnen wir die endliche Menge der verschiedenen Eigenwerte von $A$. Ihre algebraischen Multiplizitäten summieren sich zu $n$:

In kompakterer Form:

Diese Eigenschaft gilt natürlich für komplexe Eigenwerte von Matrizen mit reellen Einträgen. Eigenwerte können reelle Zahlen oder komplex konjugierte Paare sein.

Beziehung zwischen Determinante und Spur

Es besteht eine grundlegende Beziehung zwischen Eigenwerten und der Determinante und Spur einer Matrix. Wenn das charakteristische Polynom $\chi_A(t)$ linear in $\mathbb{K}$ faktorisiert werden kann, was bedeutet, dass die Matrix $A$ $n$ Eigenwerte $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K}$ hat, dann:

Die Determinante ist das Produkt aller Eigenwerte und die Spur ist die Summe aller Eigenwerte.

Prüfen wir anhand unserer vorherigen Beispiele:

Für $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ mit $\lambda_1 = 1 + i$, $\lambda_2 = 1 - i$:

Für $A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}$ mit $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = 0$:

Diese beiden Identitäten eignen sich zur Ergebniskontrolle, bestimmen für eine allgemeine Matrix mit $n > 2$ aber noch nicht alle Eigenwerte. Eine unmittelbare Folgerung lautet:

Eine quadratische Matrix ist also genau dann singulär, wenn null einer ihrer Eigenwerte ist.