Komplexe Matrix

Realteil und Imaginärteil der Matrixeinträge

Komplexe Matrizen folgen denselben Regeln für Zeilen, Spalten, Addition und Multiplikation wie reelle Matrizen. Der Unterschied besteht darin, dass jeder Eintrag einen Realteil und einen Imaginärteil besitzen kann.

Eine komplexe Matrix mit $m \in \mathbb{N}$ Zeilen und $n \in \mathbb{N}$ Spalten lässt sich schreiben als

\begin{aligned} A &= \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \\ &= (a_{ij})_{\substack{i=1,\ldots,m \\ j=1,\ldots,n}} \end{aligned}

Jeder $Koeffizient$ $a_{ij} \in \mathbb{C}$ hat Indizes $i = 1, \ldots, m$ und $j = 1, \ldots, n$ . Die Menge aller komplexen $m \times n$ -Matrizen wird als $\mathbb{C}^{m \times n}$ geschrieben.

Einträge wie $2+3i$ und $-1-4i$ gehören beispielsweise zu $\mathbb C$ . Da die Konjugation für Längen und Winkel entscheidend ist, eignet sich die gewöhnliche Transposition nicht mehr für jede geometrische Rechnung.

Adjungierte Matrix

Bei komplexen Matrizen ist die $Adjungierte$ , auch konjugiert transponierte Matrix genannt, das geometrische Gegenstück zur Transposition. Dabei wird die Matrix transponiert und $jeder Eintrag komplex konjugiert$ .

Sei $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ eine komplexe $m \times n$ -Matrix. Die $adjungierte Matrix$ (komplexe konjugierte Transponierungsmatrix) $A^H$ von $A$ ist die komplexe $n \times m$ -Matrix, die man erhält, indem man die Zeilen und Spalten von $A$ vertauscht und die komplexe Konjugierte jedes Eintrags nimmt:

\begin{aligned} A^H &= \overline{A^T} \\ &= \overline{A}^T \\ &= \begin{pmatrix} \overline{a_{11}} & \cdots & \overline{a_{m1}} \\ \vdots & & \vdots \\ \overline{a_{1n}} & \cdots & \overline{a_{mn}} \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{n \times m} \end{aligned}

Zum Beispiel gilt

A=\begin{pmatrix}1+i&2\\-i&3-2i\end{pmatrix}

Der Eintrag in Zeile $j$ und Spalte $i$ von $A^H$ ist somit $\overline{a_{ij}}$ .

Eigenschaften der adjungierten Matrix

Die Adjungierte $kehrt die Reihenfolge der Faktoren um$ und konjugiert Skalare. Für die folgenden Summen und Produkte müssen die Matrixdimensionen zusammenpassen.

Regel	Identität	Begründung
Reelle Einträge	$A^H=A^T$	Konjugation ändert reelle Einträge nicht.
Zweimal adjungieren	$(A^H)^H=A$	Transposition und Konjugation werden jeweils rückgängig gemacht.
Addition	$(A+B)^H=A^H+B^H$	Konjugation verteilt sich über die Addition.
Skalarmultiplikation	$(\lambda A)^H=\overline\lambda A^H$	Der Skalar wird mit jedem Eintrag konjugiert.
Produkt	$(AB)^H=B^HA^H$	Transposition kehrt die Reihenfolge der Zeilen-Spalten-Zuordnung um.

Vergleiche für die Matrix mit einem Eintrag $A=(1+i)$ die Konjugierte von $iA$ mit dem Produkt aus $i$ und der Konjugierten von $A$ :

(iA)^H=\overline{-1+i}=-1-i

Euklidische Norm für komplexe Räume

Für $v,w\in\mathbb C^n$ lautet das hermitesche Standardskalarprodukt

\langle v,w\rangle=v^Hw=\sum_{i=1}^n\overline{v_i}w_i

Die Konjugation im ersten Argument stellt sicher, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell sowie größer oder gleich null ist.

Für $v \in \mathbb{C}^n$ definieren wir:

v^H v = \sum_{i=1}^n \overline{v_i} v_i = \sum_{i=1}^n |v_i|^2 \in \mathbb{R}_{\geq0}

Die $Euklidische Norm$ wird wie folgt berechnet:

\|v\|_2 = \sqrt{v^H v}

Für $v=(1+i,2-i)^T$ ist die Rechnung unmittelbar:

\begin{aligned} v^Hv &=|1+i|^2+|2-i|^2 \\ &=2+5 \\ &=7 \end{aligned}

Deshalb wäre $v^Tv$ in einem komplexen Raum falsch: Ohne Konjugation muss das Ergebnis weder reell noch positiv sein.

Eigenschaften der euklidischen Norm

$Homogenität$ : $\|\alpha v\|_2 = |\alpha| \|v\|_2$

$Positiv definit$ : $\|v\|_2 \geq 0$ und $\|v\|_2 = 0 \Leftrightarrow v = 0$

$Dreiecksungleichung$ : $\|v + w\|_2 \leq \|v\|_2 + \|w\|_2$

Diese Eigenschaften zeigen, dass $\|\cdot\|_2$ die Definition einer Norm erfüllt. Die Adjungierte im hermiteschen Skalarprodukt sorgt dafür, dass komplexe Längen, Orthogonalität und Projektionen mit ihren reellen Gegenstücken übereinstimmen.