Komplexe Matrix

Definition einer Matrix mit komplexen Einträgen

Komplexe Matrix

Definition einer Matrix mit komplexen Einträgen

Komplexe Matrizen folgen denselben Regeln für Zeilen, Spalten, Addition und Multiplikation wie reelle Matrizen. Der Unterschied besteht darin, dass jeder Eintrag einen Realteil und einen Imaginärteil besitzen kann.

Ein rechteckiges Schema komplexer Zahlen mit $m \in \mathbb{N}$ Zeilen und $n \in \mathbb{N}$ Spalten wird als komplexe $m \times n$ -Matrix bezeichnet:

A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} = (a_{ij})_{\substack{i=1,\ldots,m \\ j=1,\ldots,n}}

mit Koeffizienten $a_{ij} \in \mathbb{C}$ für $i = 1, \ldots, m$ und $j = 1, \ldots, n$ . Die Menge aller komplexen $m \times n$ -Matrizen wird als $\mathbb{C}^{m \times n}$ geschrieben.

Einträge wie $2+3i$ und $-1-4i$ gehören beispielsweise zu $\mathbb C$ . Da die Konjugation für Längen und Winkel entscheidend ist, eignet sich die gewöhnliche Transposition nicht mehr für jede geometrische Rechnung.

Adjungierte Matrix

Bei komplexen Matrizen ist die Adjungierte, auch konjugiert transponierte Matrix genannt, das geometrische Gegenstück zur Transposition. Dabei wird die Matrix transponiert und jeder Eintrag komplex konjugiert.

Sei $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ eine komplexe $m \times n$ -Matrix. Die adjungierte Matrix (komplexe konjugierte Transponierungsmatrix) $A^H$ von $A$ ist die komplexe $n \times m$ -Matrix, die man erhält, indem man die Zeilen und Spalten von $A$ vertauscht und die komplexe Konjugierte jedes Eintrags nimmt:

A^H = \overline{A^T} = \overline{A}^T = \begin{pmatrix} \overline{a_{11}} & \cdots & \overline{a_{m1}} \\ \vdots & & \vdots \\ \overline{a_{1n}} & \cdots & \overline{a_{mn}} \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{n \times m}

Zum Beispiel gilt

A=\begin{pmatrix}1+i&2\\-i&3-2i\end{pmatrix}

Der Eintrag in Zeile $j$ und Spalte $i$ von $A^H$ ist somit $\overline{a_{ij}}$ .

Eigenschaften der adjungierten Matrix

Die adjungierte Matrix verfügt über mehrere wichtige Eigenschaften, die bei Berechnungen nützlich sind. Hier sind die grundlegenden Eigenschaften, die immer gelten:

Grundlegende Eigenschaften

Beziehung zur echten Transponierung: Für $A \in \mathbb{R}^{m \times n} \subset \mathbb{C}^{m \times n}$ gilt $A^H = A^T$

Dies ist sinnvoll, denn wenn die Matrix nur reelle Einträge enthält, ändert das komplexe Konjugierte seinen Wert nicht.

Involution: $(A^H)^H = A$

Wenn wir den Adjungierten eines Adjungierten nehmen, kehren wir zur ursprünglichen Matrix zurück.

Eigenschaften der linearen Operation

Linearität der Addition: $(A + B)^H = A^H + B^H$
Konjugierte Linearität bezüglich eines Skalars: $(\lambda \cdot A)^H = \overline{\lambda} \cdot A^H$

Beachten Sie, dass wir für die Skalarmultiplikation das Konjugierte des Skalars $\lambda$ nehmen müssen.

Multiplikationseigenschaften

Umkehrung der Produktreihenfolge: $(A \cdot B)^H = B^H \cdot A^H$

Diese Regel ist keine Antikommutativität. Sie besagt, dass das Adjungieren eines Produkts die Reihenfolge seiner Faktoren umkehrt, genau wie die Transposition bei reellen Matrizen.

Euklidische Norm für komplexe Räume

Für $v,w\in\mathbb C^n$ lautet das hermitesche Standardskalarprodukt

\langle v,w\rangle=v^Hw=\sum_{i=1}^n\overline{v_i}w_i

Die Konjugation im ersten Argument stellt sicher, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nicht negativ ist.

Für $v \in \mathbb{C}^n$ definieren wir:

v^H v = \sum_{i=1}^n \overline{v_i} v_i = \sum_{i=1}^n |v_i|^2 \in \mathbb{R}_{\geq0}

Die Euklidische Norm wird wie folgt berechnet:

\|v\|_2 = \sqrt{v^H v}

Für $v=(1+i,2-i)^T$ ist die Rechnung unmittelbar:

v^Hv=|1+i|^2+|2-i|^2=2+5=7

Deshalb wäre $v^Tv$ in einem komplexen Raum falsch: Ohne Konjugation muss das Ergebnis weder reell noch positiv sein.

Eigenschaften der euklidischen Norm

Die euklidische Norm erfüllt die folgenden Eigenschaften:

Homogenität: $\|\alpha v\|_2 = |\alpha| \|v\|_2$

Positiv definit: $\|v\|_2 \geq 0$ und $\|v\|_2 = 0 \Leftrightarrow v = 0$

Dreiecksungleichung: $\|v + w\|_2 \leq \|v\|_2 + \|w\|_2$

Diese Eigenschaften machen $\|\cdot\|_2$ zu einer echten Norm. Die Adjungierte ist also keine bloße Schreibweise: Sie sorgt dafür, dass komplexe Längen, Orthogonalität und Projektionen mit ihren reellen Gegenstücken übereinstimmen.