Komplexer Vektorraum

Die imaginäre Einheit $i$ erfüllt $i^2=-1$. Eine komplexe Zahl verbindet eine reelle und eine imaginäre Koordinate. Dadurch kann ein einziger Skalar sowohl eine Streckung als auch eine Drehung ausdrücken.

Die Menge der komplexen Zahlen ist als $\mathbb{C} := \{z = x + iy : x, y \in \mathbb{R}\}$ definiert. In jeder komplexen Zahl $z = x + iy$ wird der Teil $x = \text{Re}(z)$ Realteil und der Teil $y = \text{Im}(z)$ Imaginärteil genannt.

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durch eine Zahl ungleich null bleiben in $\mathbb C$. Mit diesen Operationen bildet $(\mathbb{C}, +, \cdot)$ einen Körper, dessen Elemente als Skalare eines Vektorraums dienen können.

Konjugation und Betrag

Für $z=x+iy$ ist die komplex konjugierte Zahl $\overline z=x-iy$. Da $z\overline z=x^2+y^2$ gilt, können wir mit der Konjugation sowohl Beträge als auch Kehrwerte berechnen, zum Beispiel $z^{-1}=\overline z/|z|^2$ für $z\neq0$.

Der Betrag einer komplexen Zahl wird mit der Formel berechnet:

Dieser Betrag ist der Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung in der komplexen Ebene.

Fundamentalsatz der Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten eine komplexe Nullstelle besitzt.

Betrachten wir nun ein sehr wichtiges Ergebnis. Jedes nicht konstante Polynom

mit Grad $n \geq 1$ und komplexen Koeffizienten $a_k \in \mathbb{C}$ für $k = 0, 1, \ldots, n$ mit $a_n \neq 0$, hat mindestens eine komplexe Wurzel. Das bedeutet, dass es eine Zahl $z_* \in \mathbb{C}$ mit $p(z_*) = 0$ gibt.

Wiederholtes Anwenden des Satzes zeigt, dass ein Polynom vom Grad $n$ über $\mathbb C$ vollständig zerfällt:

Es besitzt also genau $n$ komplexe Nullstellen, wenn Vielfachheiten mitgezählt werden. Die Voraussetzung "nichtkonstant" ist wichtig: Ein von null verschiedenes konstantes Polynom hat keine Nullstelle.

Definition und Axiome des komplexen Vektorraums

Ein komplexer Vektorraum verwendet Zahlen aus $\mathbb C$ als Skalare. Seine beiden Operationen müssen in den angegebenen Mengen abgeschlossen sein und dieselben algebraischen Verträglichkeitsregeln wie bei einem reellen Vektorraum erfüllen.

Eine Menge $V$ mit einer Additionsoperation

und eine Skalarmultiplikationsoperation

wird ein komplexer Vektorraum genannt, wenn er die folgenden Axiome erfüllt:

Vektoradditionsaxiome

1. Assoziativ: $(x + y) + z = x + (y + z)$ für alle $x, y, z \in V$

2. Kommutativ: $x + y = y + x$ für alle $x, y \in V$

3. Identitätselement: Es gibt ein Element $0 \in V$, so dass $x + 0 = x = 0 + x$ für alle $x \in V$

4. Inverses Element: Zu jedem $x \in V$ gibt es ein Element $-x \in V$ mit $x + (-x) = 0 = (-x) + x$

Skalare Multiplikationsaxiome

5. Assoziative Multiplikation: $(\lambda \mu) \cdot x = \lambda \cdot (\mu \cdot x)$ für alle $\lambda, \mu \in \mathbb{C}, x \in V$

6. Einheitselement: $1 \cdot x = x$ für alle $x \in V$

Distributive Axiome

7. Verteilend über Vektoraddition: $\lambda \cdot (x + y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$ für alle $\lambda \in \mathbb{C}, x, y \in V$

8. Verteilung über skalare Addition: $(\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$ für alle $\lambda, \mu \in \mathbb{C}, x \in V$

Die Elemente $x \in V$ werden Vektoren genannt, und die Elemente $\lambda \in \mathbb{C}$ werden Skalare genannt.

Ein konkretes Beispiel

Die Menge $V=\mathbb C^2$ ist mit komponentenweisen Operationen ein komplexer Vektorraum. Zum Beispiel gilt

Der Skalarkörper verändert die Dimension. Die Menge $\mathbb C$ besitzt als komplexer Vektorraum die Basis $\{1\}$, als reeller Vektorraum dagegen die Basis $\{1,i\}$:

Unterschiede zu realen Vektorräumen

Rein algebraische Ergebnisse aus den Vektorraumaxiomen gelten sowohl über $\mathbb R$ als auch über $\mathbb C$. Ergebnisse, die eine Ordnung oder ein rein reelles Skalarprodukt verwenden, benötigen angepasste Voraussetzungen. Komplexe Skalarprodukte verwenden beispielsweise die Konjugation, und die komplexen Zahlen besitzen keine mit ihrer Arithmetik verträgliche Körperordnung.

Der Skalarkörper entscheidet außerdem, welche Abbildungen linear sind. Die komplexe Konjugation ist über $\mathbb R$ linear, über $\mathbb C$ jedoch nicht, denn $\overline{iz}=-i\overline z$ statt $i\overline z$. Vor Aussagen über Basis, Dimension oder lineare Abbildungen muss der Skalarkörper deshalb immer feststehen.