Komplexer Vektorraum

Aufbau einer komplexen Zahl

Die imaginäre Einheit $i$ erfüllt $i^2=-1$ . Eine komplexe Zahl verbindet eine reelle und eine imaginäre Koordinate. Dadurch kann ein einziger Skalar sowohl eine Streckung als auch eine Drehung ausdrücken.

Die Menge der komplexen Zahlen ist als $\mathbb{C} := \{z = x + iy : x, y \in \mathbb{R}\}$ definiert. In jeder komplexen Zahl $z = x + iy$ wird der Teil $x = \text{Re}(z)$ $Realteil$ und der Teil $y = \text{Im}(z)$ $Imaginärteil$ genannt.

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durch eine Zahl ungleich null bleiben in $\mathbb C$ . Mit diesen Operationen bildet $(\mathbb{C}, +, \cdot)$ einen $Körper$ , dessen Elemente als Skalare eines Vektorraums dienen können.

Konjugation und Betrag

Für $z=x+iy$ ist die $komplex konjugierte Zahl$ $\overline z=x-iy$ . Da $z\overline z=x^2+y^2$ gilt, können wir mit der Konjugation sowohl Beträge als auch Kehrwerte berechnen, zum Beispiel $z^{-1}=\overline z/|z|^2$ für $z\neq0$ .

Der $Betrag$ einer komplexen Zahl wird mit der Formel berechnet:

|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}} = \sqrt{x^2 + y^2}

Dieser Betrag ist der Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung in der komplexen Ebene.

Für $z=3+4i$ ändert die Konjugation das Vorzeichen der imaginären Koordinate und erhält den Abstand vom Ursprung. Vergleiche die beiden Strecken im Diagramm.

\overline z=3-4i

Konjugation spiegelt an der reellen Achse

Waagerecht steht der Realteil, senkrecht der Imaginärteil. Die Punkte

3+4i

und

3-4i

haben denselben Abstand vom Ursprung.

$x$: $[0; 3]$
$y$: $[-4; 4]$

Fundamentalsatz der Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten eine komplexe Nullstelle besitzt.

Sei $p$ ein nichtkonstantes Polynom mit komplexer Variable $z$ . Die Schreibweise $z\in\mathbb{C}$ bedeutet, dass $z$ jede komplexe Zahl annehmen darf. Das Polynom hat die Form:

\begin{aligned} p(z) &= a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots \\ &\quad{}+ a_1 z + a_0 \end{aligned}

Wenn $n \geq 1$ gilt und die komplexen Koeffizienten $a_k \in \mathbb{C}$ für $k = 0, 1, \ldots, n$ die Bedingung $a_n \neq 0$ erfüllen, besitzt $p$ mindestens eine komplexe Nullstelle. Es gibt also ein $z_* \in \mathbb{C}$ mit $p(z_*) = 0$ .

Wiederholtes Anwenden des Satzes zeigt, dass ein Polynom vom Grad $n$ über $\mathbb C$ vollständig zerfällt:

p(z)=a_n\prod_{j=1}^n(z-z_j)

Es besitzt also genau $n$ komplexe Nullstellen, wenn $Vielfachheiten mitgezählt werden$ . Die Voraussetzung "nichtkonstant" ist wichtig: Ein von null verschiedenes konstantes Polynom hat keine Nullstelle.

Definition und Axiome des komplexen Vektorraums

Ein komplexer Vektorraum verwendet Zahlen aus $\mathbb C$ als Skalare. Seine beiden Operationen müssen in den angegebenen Mengen abgeschlossen sein und dieselben algebraischen Verträglichkeitsregeln wie bei einem reellen Vektorraum erfüllen.

Die Addition auf einer Menge $V$ ist definiert durch

+ : V \times V \to V : (x, y) \mapsto x + y

Die Skalarmultiplikation auf $V$ ist definiert durch

\cdot : \mathbb{C} \times V \to V : (\lambda, x) \mapsto \lambda \cdot x

Die Menge $V$ mit diesen beiden Operationen heißt $komplexer Vektorraum$ , wenn sie die folgenden Axiome erfüllt:

Vektoradditionsaxiome

Diese vier Axiome prüfen nur die Addition, deshalb nennt jedes die Eigenschaft, die die Addition für jede Wahl von Vektoren aus $V$ erfüllen muss.

$Assoziativ$ : $(x + y) + z = x + (y + z)$ für alle $x, y, z \in V$
$Kommutativ$ : $x + y = y + x$ für alle $x, y \in V$
$Identitätselement$ : Es gibt ein Element $0 \in V$ , so dass $x + 0 = x = 0 + x$ für alle $x \in V$
$Inverses Element$ : Zu jedem $x \in V$ gibt es ein Element $-x \in V$ mit $x + (-x) = 0 = (-x) + x$

Skalare Multiplikationsaxiome

Die beiden Axiome hier betreffen die Multiplikation mit einem komplexen Skalar, deshalb bleibt bei jedem die Rolle von Skalar und Vektor getrennt.

$Assoziative Multiplikation$ : $(\lambda \mu) \cdot x = \lambda \cdot (\mu \cdot x)$ für alle $\lambda, \mu \in \mathbb{C}, x \in V$
$Einheitselement$ : $1 \cdot x = x$ für alle $x \in V$

Distributive Axiome

Die beiden Verteilungsgesetze verbinden Addition und Skalarmultiplikation, sodass du eine Summe vor oder nach dem Skalieren aufteilen darfst. Ohne sie wäre die Skalarmultiplikation nur auf einzelnen Vektoren erklärt und nicht mit der Vektoraddition verträglich.

$Verteilend über Vektoraddition$ : $\lambda \cdot (x + y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$ für alle $\lambda \in \mathbb{C}, x, y \in V$
$Verteilung über skalare Addition$ : $(\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$ für alle $\lambda, \mu \in \mathbb{C}, x \in V$

Die Elemente $x \in V$ werden $Vektoren$ genannt, und die Elemente $\lambda \in \mathbb{C}$ werden $Skalare$ genannt.

Komplexe Skalarmultiplikation in zwei Dimensionen

Die Menge $V=\mathbb C^2$ ist mit komponentenweisen Operationen ein komplexer Vektorraum. Zum Beispiel gilt

\begin{aligned} (1+i)\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}(1+i)\cdot1\\(1+i)(-i)\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}1+i\\-i-i^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+i\\1-i\end{pmatrix} \end{aligned}

$Der Skalarkörper verändert die Dimension$ . Die Menge $\mathbb C$ besitzt als komplexer Vektorraum die Basis $\{1\}$ , als reeller Vektorraum dagegen die Basis $\{1,i\}$ :

Gleiche Vektormenge	Zulässige Skalare	Dimension
$\mathbb C$	$\mathbb C$	$1$
$\mathbb C$	$\mathbb R$	$2$

Unterschiede zu realen Vektorräumen

Rein algebraische Ergebnisse aus den Vektorraumaxiomen gelten sowohl über $\mathbb R$ als auch über $\mathbb C$ . Ergebnisse, die eine Ordnung oder ein rein reelles Skalarprodukt verwenden, benötigen angepasste Voraussetzungen. Komplexe Skalarprodukte verwenden beispielsweise die Konjugation, und die komplexen Zahlen besitzen keine mit ihrer Arithmetik verträgliche Körperordnung.

Der $Skalarkörper$ entscheidet außerdem, welche Abbildungen linear sind. Die komplexe Konjugation ist über $\mathbb R$ linear, über $\mathbb C$ jedoch nicht, denn $\overline{iz}=-i\overline z$ statt $i\overline z$ . Vor Aussagen über Basis, Dimension oder lineare Abbildungen muss der Skalarkörper deshalb immer feststehen.