Laplacescher Entwicklungssatz

Eine Determinante nach einer Zeile oder Spalte entwickeln

Die Laplace-Entwicklung schreibt eine Determinante als Summe von Einträgen multipliziert mit ihren Kofaktoren $entlang einer beliebigen Zeile oder Spalte$ . Jeder Kofaktor enthält die Determinante einer um eins kleineren Matrix.

Wähle eine Zeile oder Spalte mit vielen Nulleinträgen. Die entsprechenden Terme entfallen, sodass weniger kleinere Determinanten berechnet werden müssen.

Determinante entlang einer Zeile oder Spalte entwickeln

Für die Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ kann die Determinante auf zwei Arten berechnet werden:

Dabei bezeichnet $A_{ij}$ die $(n-1) \times (n-1)$ -Matrix, die entsteht, wenn man aus $A$ die Zeile $i$ und die Spalte $j$ streicht. Die Minordeterminante mit ihrem $wechselnden Vorzeichen$ ist der Kofaktor

C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}

Dieses Vorzeichenmuster für drei Zeilen und Spalten zeigt: Jeder Schritt nach rechts oder unten kehrt das Vorzeichen um.

	j = 1	j = 2	j = 3
i = 1	+	−	+
i = 2	−	+	−
i = 3	+	−	+

Die Entwicklung nach einer beliebigen Spalte $j$ ergibt

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}

Die Formel zur Spaltenentwicklung gilt für jedes $j \in \{1, 2, \ldots, n\}$ .

Die Determinante kann auch anhand der Zeile $i$ berechnet werden:

\det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}

Die Formel zur Zeilenentwicklung gilt für jedes $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ .

Kofaktorentwicklung nach Matrixgröße

Die Entwicklungsregel funktioniert bei jeder Größe gleich, aber die $Anzahl der Terme wächst schnell$ , deshalb zeigen die folgenden Fälle, wie sich die Arbeit mit größer werdender Matrix ändert.

Matrix der Größe zwei mal zwei

Für eine Matrix der Größe $n = 2$ :

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}

$Entwicklung nach der ersten Zeile$ :

\det A = a_{11} \cdot \det(a_{22}) - a_{12} \cdot \det(a_{21})

Matrix der Größe drei mal drei

Für eine Matrix der Größe $n = 3$ :

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

$Entwicklung nach der ersten Zeile$ :

\begin{aligned} \det A &= a_{11} \cdot \det \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \\ &\quad{}- a_{12} \cdot \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} \\ &\quad{}+ a_{13} \cdot \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \end{aligned}

Nach der Berechnung der $2 \times 2$ Determinanten:

\begin{aligned} &= a_{11} \cdot (a_{22} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{32}) \\ &\quad{}- a_{12} \cdot (a_{21} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{31}) \\ &\quad{}+ a_{13} \cdot (a_{21} \cdot a_{32} - a_{22} \cdot a_{31}) \end{aligned}

Wenn wir es vollständig erweitern:

\begin{aligned} &= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} \\ &\quad{}- a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} \\ &\quad{}+ a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} \end{aligned}

Regel von Sarrus

Die Entwicklung oben ergibt denselben Ausdruck wie die $Sarrus-Regel$ . Bei einer $3 \times 3$ -Matrix addiert die Regel die Produkte entlang der drei fallenden Diagonalen und subtrahiert die Produkte entlang der drei steigenden Diagonalen.

Sarrus-Formel für $3 \times 3$ -Matrizen:

\begin{aligned} \det A &= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31} \\ &\quad{}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31} \\ &\quad{}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} \end{aligned}

Die Sarrus-Regel verwendet diagonale Muster, um zu bestimmen, welche Terme addiert und welche subtrahiert werden.

Die Regel von Sarrus gilt ausschließlich für $3 \times 3$ -Matrizen. Bei größeren Matrizen verwendet man die Kofaktorentwicklung oder ein faktorisierungsbasiertes Verfahren, weil das Diagonalmuster dort nicht mehr greift.

Rechenaufwand

Bei einer dichten $n \times n$ -Matrix berechnet eine direkte rekursive Implementierung auf jeder Stufe $n$ Determinanten der Größe $n-1$ . Der Aufwand erfüllt daher die Rekursion

T(n)=nT(n-1)+O(n)

Das $faktorielle Wachstum$ macht die rekursive Laplace-Entwicklung für große dichte Matrizen unpraktisch. Mit dem Gauß-Verfahren oder einer $\mathrm{LU}$ -Zerlegung lässt sich eine Determinante in $O(n^3)$ Rechenoperationen bestimmen.

Nulleinträge nutzen

Enthält eine Matrix viele Nulleinträge, wählt man eine Zeile oder Spalte mit $möglichst vielen Nullen$ . Jeder Term verschwindet, dessen ausgewählter Koeffizient $a_{ij}$ null ist, sodass sein Minor nicht berechnet werden muss.

Eine Zeile mit Nulleinträgen wählen

Angenommen, wir haben eine Matrix:

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

$Entwicklung nach der ersten Zeile$ :

\begin{aligned} \det A &= 0 \cdot \det(\ldots) - 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &\quad{}+ 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

Da das $erste Element Null$ ist, lautet die Berechnung:

\begin{aligned} &= -3 \cdot (2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) \\ &\quad{}+ 3 \cdot (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1) \end{aligned}

Durch die Auswahl von Zeilen oder Spalten mit vielen Nullen können wir Berechnungen einsparen.

Determinante der transponierten Matrix

Aus der Laplace-Entwicklung folgt außerdem:

\det A^T = \det A

Das bedeutet, dass die Determinante einer Matrix gleich der $Determinante ihrer Transponierten$ ist.

Konsequenzen für Zeilen und Spalten

Aufgrund dieser $Transpositionseigenschaft$ gelten alle Determinanteneigenschaften, die für Zeilen der Matrix $A$ gelten, auch für Spalten der Matrix $A$ .

Zum Beispiel:

Wenn zwei Zeilen identisch sind, ist die Determinante Null, ebenso wenn zwei Spalten identisch sind
Das Vertauschen zweier Zeilen ändert das Vorzeichen der Determinante, ebenso das Vertauschen zweier Spalten
Entsprechende elementare Zeilen- und Spaltenoperationen folgen analogen Determinantenregeln

Eine Determinante nach einer Zeile oder Spalte entwickeln

Wähle eine Zeile oder Spalte mit vielen Nulleinträgen. Die entsprechenden Terme entfallen, sodass weniger kleinere Determinanten berechnet werden müssen.

Determinante entlang einer Zeile oder Spalte entwickeln

Für die Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ kann die Determinante auf zwei Arten berechnet werden:

C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}

Dieses Vorzeichenmuster für drei Zeilen und Spalten zeigt: Jeder Schritt nach rechts oder unten kehrt das Vorzeichen um.

	j = 1	j = 2	j = 3
i = 1	+	−	+
i = 2	−	+	−
i = 3	+	−	+

Die Entwicklung nach einer beliebigen Spalte $j$ ergibt

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}

Die Formel zur Spaltenentwicklung gilt für jedes $j \in \{1, 2, \ldots, n\}$ .

Die Determinante kann auch anhand der Zeile $i$ berechnet werden:

\det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}

Die Formel zur Zeilenentwicklung gilt für jedes $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ .

Kofaktorentwicklung nach Matrixgröße

Matrix der Größe zwei mal zwei

Für eine Matrix der Größe $n = 2$ :

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}

$Entwicklung nach der ersten Zeile$ :

\det A = a_{11} \cdot \det(a_{22}) - a_{12} \cdot \det(a_{21})

Matrix der Größe drei mal drei

Für eine Matrix der Größe $n = 3$ :

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

$Entwicklung nach der ersten Zeile$ :

\begin{aligned} \det A &= a_{11} \cdot \det \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \\ &\quad{}- a_{12} \cdot \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} \\ &\quad{}+ a_{13} \cdot \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \end{aligned}

Nach der Berechnung der $2 \times 2$ Determinanten:

\begin{aligned} &= a_{11} \cdot (a_{22} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{32}) \\ &\quad{}- a_{12} \cdot (a_{21} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{31}) \\ &\quad{}+ a_{13} \cdot (a_{21} \cdot a_{32} - a_{22} \cdot a_{31}) \end{aligned}

Wenn wir es vollständig erweitern:

\begin{aligned} &= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} \\ &\quad{}- a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} \\ &\quad{}+ a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} \end{aligned}

Regel von Sarrus

Sarrus-Formel für $3 \times 3$ -Matrizen:

\begin{aligned} \det A &= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31} \\ &\quad{}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31} \\ &\quad{}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} \end{aligned}

Die Sarrus-Regel verwendet diagonale Muster, um zu bestimmen, welche Terme addiert und welche subtrahiert werden.

Rechenaufwand

Bei einer dichten $n \times n$ -Matrix berechnet eine direkte rekursive Implementierung auf jeder Stufe $n$ Determinanten der Größe $n-1$ . Der Aufwand erfüllt daher die Rekursion

T(n)=nT(n-1)+O(n)

Nulleinträge nutzen

Eine Zeile mit Nulleinträgen wählen

Angenommen, wir haben eine Matrix:

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

$Entwicklung nach der ersten Zeile$ :

\begin{aligned} \det A &= 0 \cdot \det(\ldots) - 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &\quad{}+ 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

Da das $erste Element Null$ ist, lautet die Berechnung:

\begin{aligned} &= -3 \cdot (2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) \\ &\quad{}+ 3 \cdot (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1) \end{aligned}

Durch die Auswahl von Zeilen oder Spalten mit vielen Nullen können wir Berechnungen einsparen.

Determinante der transponierten Matrix

Aus der Laplace-Entwicklung folgt außerdem:

\det A^T = \det A

Das bedeutet, dass die Determinante einer Matrix gleich der $Determinante ihrer Transponierten$ ist.

Konsequenzen für Zeilen und Spalten

Aufgrund dieser $Transpositionseigenschaft$ gelten alle Determinanteneigenschaften, die für Zeilen der Matrix $A$ gelten, auch für Spalten der Matrix $A$ .

Zum Beispiel:

Wenn zwei Zeilen identisch sind, ist die Determinante Null, ebenso wenn zwei Spalten identisch sind
Das Vertauschen zweier Zeilen ändert das Vorzeichen der Determinante, ebenso das Vertauschen zweier Spalten
Entsprechende elementare Zeilen- und Spaltenoperationen folgen analogen Determinantenregeln