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Für eine Diagonalisierung braucht man eine Basis, die vollständig aus Eigenvektoren besteht. Eine solche Basis existiert nicht immer. Ein schwächeres Ergebnis bleibt jedoch erhalten: Zerfällt das charakteristische Polynom von über in Linearfaktoren, so transformiert eine invertierbare Matrix die Matrix in eine obere Dreiecksmatrix.
Die Diagonaleinträge sind die Eigenwerte, jeweils entsprechend ihrer algebraischen Vielfachheit wiederholt. Über zerfällt jedes charakteristische Polynom. Über kann diese Voraussetzung bei nicht reellen Eigenwerten scheitern.
Die Jordan-Normalform präzisiert diese Dreiecksform. Sie erfasst nicht nur die Eigenwerte, sondern zeigt auch genau, warum die vorhandenen Eigenvektoren keine Basis bilden.
Ein Jordan-Block der Größe zum Eigenwert lautet
Die nilpotente Matrix besitzt Einsen auf der Superdiagonalen und sonst nur Nullen. Ein Block der Größe ist einfach . Ein größerer Block zeigt, dass ein Eigenvektor durch verallgemeinerte Eigenvektoren ergänzt werden muss.
Die Vektoren bilden eine Jordan-Kette zu , wenn
Der erste Vektor ist ein gewöhnlicher Eigenvektor. Jeder folgende Vektor wird durch auf seinen Vorgänger abgebildet. In der geordneten Basis wird die Einschränkung von auf diese Kette durch dargestellt.
Es gelte
und dieses Polynom zerfalle über , wobei verschiedene Eigenwerte sind. Dann existiert eine invertierbare Matrix mit
Für jeden Eigenwert erfüllen die Blockgrößen
Die Anzahl der Blöcke zu entspricht der geometrischen Vielfachheit . Die Blockgrößen werden durch eindeutig bestimmt, ihre Reihenfolge auf der Diagonalen jedoch nicht.
| Frage | Aussage der Jordan-Blöcke |
|---|---|
| Ist diagonalisierbar? | Genau dann, wenn jeder Jordan-Block die Größe hat. |
| Wie viele linear unabhängige Eigenvektoren gehören zu ? | Einer für jeden Jordan-Block zu . |
| Warum entscheidet ein mehrfacher Eigenwert noch nicht über die Diagonalisierbarkeit? | Dieselbe algebraische Vielfachheit kann auf Blöcke unterschiedlicher Größe verteilt sein. |
Betrachten wir
Das charakteristische Polynom ist
Für gilt
Der Eigenwert hat die algebraische Vielfachheit , aber nur einen linear unabhängigen Eigenvektor. Deshalb ist nicht diagonalisierbar. Die Vektoren
bilden eine Kette, denn und . Der Eigenwert liefert den separaten Block .
Die Darstellung mit macht Potenzen explizit berechenbar:
Die Formel erklärt, warum Potenzen einer nicht diagonalisierbaren Matrix neben Eigenwertpotenzen auch Polynomfaktoren in enthalten. Das ist bei der exakten Analyse von Rekursionen und Differentialgleichungen nützlich.
Die Jordan-Form dient vor allem der exakten algebraischen Klassifikation. Sie reagiert sehr empfindlich auf kleine numerische Störungen. Numerische Software berechnet deshalb gewöhnlich eine Schur-Zerlegung statt einer Jordan-Form.
