Triangularisierung und Jordansche Normalform

Wenn eine Diagonalisierung nicht möglich ist

Für eine Diagonalisierung braucht man eine Basis, die vollständig aus Eigenvektoren besteht. Eine solche Basis existiert nicht immer. Ein schwächeres Ergebnis bleibt jedoch erhalten: Zerfällt das charakteristische Polynom von $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ über $\mathbb{K}$ in Linearfaktoren, so transformiert eine invertierbare Matrix $S$ die Matrix $A$ in eine obere Dreiecksmatrix.

R=S^{-1}AS

Die Diagonaleinträge sind die Eigenwerte, jeweils entsprechend ihrer algebraischen Vielfachheit wiederholt. Über $\mathbb{C}$ zerfällt jedes charakteristische Polynom. Über $\mathbb{R}$ kann diese Voraussetzung bei nicht reellen Eigenwerten scheitern.

Die Jordan-Normalform beschreibt diese Dreiecksform genauer. Sie erfasst die Eigenwerte und zeigt, $wie viele Eigenvektoren für eine Basis fehlen$ .

Ein Jordanblock

Ein Jordan-Block der Größe $s$ zum Eigenwert $\lambda$ lautet

J_s(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda&1&0&\cdots&0\\0&\lambda&1&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\0&\cdots&0&\lambda&1\\0&\cdots&\cdots&0&\lambda\end{pmatrix}

Die $nilpotente Matrix$ $N_s$ besitzt Einsen auf der Superdiagonalen und sonst nur Nullen. Ein Block der Größe $1$ ist einfach $(\lambda)$ . Ein größerer Block zeigt, dass ein Eigenvektor durch verallgemeinerte Eigenvektoren ergänzt werden muss.

Verallgemeinerte Eigenvektorketten

Die Vektoren $v_1,\ldots,v_s$ bilden eine Jordan-Kette zu $\lambda$ , wenn

(A-\lambda I)v_1=0

Der $erste Vektor$ ist ein gewöhnlicher Eigenvektor. Dabei gilt $v_1\neq0$ . Die Rekursion garantiert dann die lineare Unabhängigkeit der Kettenvektoren. Jeder folgende Vektor wird durch $A-\lambda I$ auf seinen Vorgänger abgebildet. In der geordneten Basis $(v_1,\ldots,v_s)$ wird die Einschränkung von $A$ auf diese Kette durch $J_s(\lambda)$ dargestellt.

Die vollständige Jordanform

Das charakteristische Polynom von $A$ habe die folgende Form.

\chi_A(t)=\prod_{i=1}^{k}(\lambda_i-t)^{a_i}

Zerfällt dieses Polynom über $\mathbb{K}$ mit den verschiedenen Eigenwerten $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ , existiert eine invertierbare Matrix $S$ mit der folgenden Blockdiagonalform. Fasse Blöcke zum selben Eigenwert zusammen:

\begin{aligned} &D_i=\operatorname{diag}\bigl(J_{s_{i1}}(\lambda_i), \\ &\ldots,J_{s_{iq_i}}(\lambda_i)\bigr) \\ &i=1,\ldots,k \end{aligned}

Für jeden Eigenwert erfüllen die Blockgrößen

s_{i1}+\cdots+s_{iq_i}=a_i

Die $Anzahl der Blöcke$ zu $\lambda_i$ entspricht der geometrischen Vielfachheit $\dim\ker(A-\lambda_iI)$ . Die Blockgrößen werden durch $A$ eindeutig bestimmt, ihre Reihenfolge auf der Diagonalen jedoch nicht.

Frage	Aussage der Jordan-Blöcke
Ist $A$ diagonalisierbar?	Genau dann, wenn jeder Jordan-Block die Größe $1$ hat.
Wie viele linear unabhängige Eigenvektoren gehören zu $\lambda_i$ ?	Einer für jeden Jordan-Block zu $\lambda_i$ .
Warum entscheidet ein mehrfacher Eigenwert noch nicht über die Diagonalisierbarkeit?	Dieselbe algebraische Vielfachheit kann auf Blöcke unterschiedlicher Größe verteilt sein.

Jordanblöcke aus einer Matrix ablesen

Betrachten wir

A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}=J_2(1)\oplus J_1(2)

Das charakteristische Polynom ist

\chi_A(t)=(1-t)^2(2-t)

Für $\lambda=1$ gilt

A-I=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}

Der Eigenwert $1$ hat die algebraische Vielfachheit $2$ , aber $nur einen linear unabhängigen Eigenvektor$ . Deshalb ist $A$ nicht diagonalisierbar. Wir betrachten die beiden folgenden Vektoren.

v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}

Die beiden Vektoren bilden eine Jordankette, denn $(A-I)v_1=0$ und $(A-I)v_2=v_1$ . Der Eigenwert $2$ liefert den separaten Block $J_1(2)$ .

Matrixpotenzen aus Jordanblöcken

Die Darstellung $J_s(\lambda)=\lambda I+N$ mit $N^s=0$ macht Potenzen explizit berechenbar:

Für ganze Zahlen $m\ge0$ und $\lambda\neq0$ :

J_s(\lambda)^m=\sum_{j=0}^{\min(m,s-1)}\binom{m}{j}\lambda^{m-j}N^j

Für $\lambda=0$ verwendest du direkt $J_s(0)^m=N^m$ mit $N^0=I$ . Zum Beispiel wächst der Superdiagonaleintrag mit jeder Multiplikation:

\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^3=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}

Die Formel erklärt, warum Potenzen einer nicht diagonalisierbaren Matrix neben Eigenwertpotenzen auch $Polynomfaktoren$ in $m$ enthalten. Sie liefert die exakten Matrixpotenzen, die zur Analyse von Rekursionen und Differentialgleichungen benötigt werden.

Die Jordan-Form dient vor allem der exakten algebraischen Klassifikation. Sie reagiert sehr empfindlich auf kleine numerische Störungen. Numerische Software berechnet deshalb gewöhnlich eine Schur-Zerlegung, weil sie auf diese Störungen stabiler reagiert.