Matrixdiagonalisierung

Eine Basis aus Eigenvektoren wählen

Die Diagonalisierung schreibt eine lineare Transformation in einer Basis aus Eigenvektoren. In dieser Basis wird jede Koordinate mit ihrem Eigenwert multipliziert, ohne sich mit den anderen Koordinaten zu vermischen.

Das Hauptziel besteht darin, eine Basis zu finden, in der die lineare Transformation $y = A \cdot x$ durch die Diagonalmatrix $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$ dargestellt wird. Lässt sich die Eigenbasis orthonormal wählen, dann gilt $S^{-1} = S^T$ im reellen und $S^{-1} = S^H$ im komplexen Fall.

Definition der Diagonalisierung

Eine Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ heißt diagonalisierbar, wenn sie einer Diagonalmatrix $\Lambda \in \mathbb{K}^{n \times n}$ ähnlich ist, das heißt, wenn es eine invertierbare Matrix $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ gibt, so dass:

Äquivalent dazu gilt $A = S\Lambda S^{-1}$. Wiederholte Anwendungen haben dann die Form:

Für jede nichtnegative ganze Zahl $m$:

Da $\Lambda^m$ entsteht, indem jeder Diagonaleintrag mit $m$ potenziert wird, führt die Diagonalisierung ein Matrixpotenzproblem auf Skalarrechnung zurück.

Bedingungen für die Diagonalisierung

Eine Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn sich eine Basis von $\mathbb{K}^n$ aus Eigenvektoren $v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{K}^n$ von $A$ mit zugehörigen Eigenwerten $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K}$ finden lässt.

Die Diagonalmatrix $\Lambda$ ist:

Die Matrix $S$ enthält die Eigenvektoren als Spalten:

Wenn $A$ diagonalisierbar ist, dann bilden die Spalten $v_1, \ldots, v_n$ von $S$ eine Basis von Eigenvektoren. Aus $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$ erhalten wir $A \cdot S = S \cdot \Lambda$ und somit $A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$ für $i = 1, \ldots, n$.

Wenn umgekehrt $v_1, \ldots, v_n$ eine Basis von Eigenvektoren ist, dann ist $S$ invertierbar und aus $A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$ für $i = 1, \ldots, n$ erhalten wir $A \cdot S = S \cdot \Lambda$ und damit $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$.

Nichtdiagonalisierbare Matrix

Betrachten wir die Matrix:

Diese Matrix hat den Eigenwert $\lambda = 1$ mit der algebraischen Multiplizität $\mu_A(1) = 2$. Ihr Eigenraum ist der Kern von $A - I$:

Die oben angegebene lineare Hülle enthält alle skalaren Vielfachen des dargestellten Vektors und hat die Dimension $1$. Damit liefert der Eigenraum nur einen unabhängigen Eigenvektor, eine Basis von $\mathbb{K}^2$ benötigt aber zwei. Daher ist $A$ nicht diagonalisierbar.

Voraussetzungen für die Matrixdiagonalisierung

Wenn eine Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ diagonalisierbar ist, dann faktorisiert das charakteristische Polynom $\chi_A(t)$ von $A$ über $\mathbb{K}$ in lineare Faktoren:

Die Matrix $A$ besitzt insgesamt $n$ Eigenwerte $\lambda_i \in \mathbb{K}$, wenn die Multiplizitäten mitgezählt werden. Die Eigenwerte müssen nicht paarweise verschieden sein.

Der gewählte Körper ist entscheidend. Eine reelle Matrix kann über $\mathbb{R}$ nicht diagonalisierbar sein, aber über $\mathbb{C}$ diagonalisierbar werden, sobald ihr charakteristisches Polynom dort zerfällt.

Bei lauter verschiedenen Eigenwerten entfällt der Vergleich von algebraischer und geometrischer Multiplizität. Das charakteristische Polynom $\chi_A(t)$ von $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ zerfalle über $\mathbb{K}$ wie folgt.

Sind die Eigenwerte paarweise verschieden, gilt also $\lambda_i \neq \lambda_j$ für $i \neq j$ mit $i, j \in \{1, \ldots, n\}$, dann ist $A$ diagonalisierbar.

Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten von $A$ sind linear unabhängig. Bei $n$ solchen Eigenwerten bilden sie daher eine Basis von $\mathbb{K}^n$.

Wiederholte Eigenwerte erfordern eine zusätzliche Prüfung. Jeder Eigenwert hat eine algebraische Multiplizität $\mu_A(\lambda_i)$ und eine geometrische Multiplizität $\dim E_A(\lambda_i)$ mit der Beziehung:

Charakterisierungssatz

Für eine Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. $A$ ist diagonalisierbar.

2. Beide der folgenden Bedingungen sind erfüllt. Zunächst muss das charakteristische Polynom von $A$ in lineare Faktoren zerlegt werden:

   $$\begin{aligned} &\chi_A(t) \\ &=(\lambda_1-t)^{\mu_A(\lambda_1)}\cdots(\lambda_k-t)^{\mu_A(\lambda_k)} \end{aligned}$$

   mit paarweise unterschiedlichen Eigenwerten $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$ von $A$. Zweitens muss für alle Eigenwerte von $A$ die algebraische Multiplizität gleich der geometrischen Multiplizität sein:

   $$\begin{aligned} &\mu_A(\lambda_i) = \dim E_A(\lambda_i) \\ &(i = 1, \ldots, k) \end{aligned}$$

3. Die direkte Summe aller Eigenräume ist der gesamte Vektorraum:

   $$E_A(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus E_A(\lambda_k) = \mathbb{K}^n$$

   Dies bedeutet, dass es eine Basis von $\mathbb{K}^n$ gibt, die aus Eigenvektoren von $A$ besteht.

Für jedes $i = 1, \ldots, k$ sei $v_1^{(i)}, \ldots, v_{d_i}^{(i)}$ eine Basis des Eigenraums $E_A(\lambda_i)$. Dann:

Diese Vektoren bilden eine Basis von $\mathbb{K}^n$ aus Eigenvektoren von $A$. Daher ist $A$ diagonalisierbar.