Matrixdiagonalisierung

In der Matrixtheorie schreibt die Diagonalisierung eine lineare Transformation auf einer Basis um, bei der sich die Koordinaten nicht mehr vermischen. Diese einfachere Darstellung erleichtert sowohl die Analyse als auch wiederholte Berechnungen.

Das Hauptziel besteht darin, eine Basis zu finden, in der die lineare Transformation $y = A \cdot x$ durch die Diagonalmatrix $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$ dargestellt wird. Lässt sich die Eigenbasis orthonormal wählen, dann gilt $S^{-1} = S^T$ im reellen und $S^{-1} = S^H$ im komplexen Fall.

Definition der Diagonalisierung

Eine Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ heißt diagonalisierbar, wenn sie einer Diagonalmatrix $\Lambda \in \mathbb{K}^{n \times n}$ ähnlich ist, das heißt, wenn es eine invertierbare Matrix $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ gibt, so dass:

Äquivalent dazu gilt $A = S\Lambda S^{-1}$. Diese Form vereinfacht wiederholte Anwendungen erheblich:

Da $\Lambda^m$ entsteht, indem jeder Diagonaleintrag mit $m$ potenziert wird, führt die Diagonalisierung ein Matrixpotenzproblem auf Skalarrechnung zurück.

Bedingungen für die Diagonalisierung

Eine Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn sich eine Basis von $\mathbb{K}^n$ aus Eigenvektoren $v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{K}^n$ von $A$ mit zugehörigen Eigenwerten $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K}$ finden lässt.

Die Diagonalmatrix $\Lambda$ ist:

und $S$ ist die Matrix mit Spalten:

Wenn $A$ diagonalisierbar ist, dann bilden die Spalten $v_1, \ldots, v_n$ von $S$ eine Basis von Eigenvektoren. Aus $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$ erhalten wir $A \cdot S = S \cdot \Lambda$ und somit $A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$ für $i = 1, \ldots, n$.

Wenn umgekehrt $v_1, \ldots, v_n$ eine Basis von Eigenvektoren ist, dann ist $S$ invertierbar und aus $A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$ für $i = 1, \ldots, n$ erhalten wir $A \cdot S = S \cdot \Lambda$ und damit $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$.

Beispiel für einen nicht diagonalisierbaren Fall

Betrachten wir die Matrix:

Diese Matrix hat den Eigenwert $\lambda = 1$ mit der algebraischen Multiplizität $\mu_A(1) = 2$. Ihr Eigenraum ist der Kern von $A - I$:

Die lineare Hülle von $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ enthält alle skalaren Vielfachen dieses Vektors und hat die Dimension $1$. Damit liefert der Eigenraum nur einen unabhängigen Eigenvektor, eine Basis von $\mathbb{K}^2$ benötigt aber zwei. Daher ist $A$ nicht diagonalisierbar.

Voraussetzungen für die Matrixdiagonalisierung

Wenn eine Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ diagonalisierbar ist, dann faktorisiert das charakteristische Polynom $\chi_A(t)$ von $A$ über $\mathbb{K}$ in lineare Faktoren:

wobei $A$ insgesamt $n$ Eigenwerte mit Multiplizitäten besitzt; die Werte $\lambda_i \in \mathbb{K}$ müssen also nicht paarweise verschieden sein.

Der gewählte Körper ist entscheidend. Eine reelle Matrix kann über $\mathbb{R}$ nicht diagonalisierbar sein, aber über $\mathbb{C}$ diagonalisierbar werden, sobald ihr charakteristisches Polynom dort zerfällt.

Sind alle Eigenwerte verschieden, vereinfacht sich das Kriterium. Für $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ zerfalle das charakteristische Polynom $\chi_A(t)$ von $A$ über $\mathbb{K}$ in lineare Faktoren:

mit paarweise unterschiedlichen Eigenwerten $\lambda_i \neq \lambda_j$ für $i \neq j$ mit $i, j \in \{1, \ldots, n\}$, dann ist $A$ sicher diagonalisierbar.

Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten von $A$ sind linear unabhängig. Bei $n$ solchen Eigenwerten bilden sie daher eine Basis von $\mathbb{K}^n$.

Was aber, wenn $A$ wiederholte Eigenwerte hat? Das müssen wir genauer prüfen. Eigenwerte haben eine algebraische Multiplizität $\mu_A(\lambda_i)$ und eine geometrische Multiplizität $\dim E_A(\lambda_i)$ mit der Beziehung:

Charakterisierungssatz

Für eine Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. $A$ ist diagonalisierbar.

2. Beide der folgenden Bedingungen sind erfüllt. Zunächst muss das charakteristische Polynom von $A$ in lineare Faktoren zerlegt werden:

   $$\chi_A(t) = (\lambda_1 - t)^{\mu_A(\lambda_1)} \cdots (\lambda_k - t)^{\mu_A(\lambda_k)}$$

   mit paarweise unterschiedlichen Eigenwerten $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$ von $A$. Zweitens muss für alle Eigenwerte von $A$ die algebraische Multiplizität gleich der geometrischen Multiplizität sein:

   $$\mu_A(\lambda_i) = \dim E_A(\lambda_i) \quad (i = 1, \ldots, k)$$

3. Die direkte Summe aller Eigenräume ist der gesamte Vektorraum:

   $$E_A(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus E_A(\lambda_k) = \mathbb{K}^n$$

Für jedes $i = 1, \ldots, k$ sei $v_1^{(i)}, \ldots, v_{d_i}^{(i)}$ eine Basis des Eigenraums $E_A(\lambda_i)$. Dann:

ist eine Basis von $\mathbb{K}^n$ bestehend aus Eigenvektoren von $A$. Daher ist $A$ diagonalisierbar.

Dies bedeutet, dass es eine Basis von $\mathbb{K}^n$ gibt, die aus Eigenvektoren von $A$ besteht.