Grundlegendes Verfahren zur Diagonalisierung

Die Diagonalisierung verändert nicht die lineare Transformation selbst. Sie wechselt die Koordinatenbasis so, dass die Transformation entlang der Eigenvektorrichtungen unabhängig wirkt. Die resultierende Diagonaldarstellung lässt sich leichter ablesen und berechnen.

Um eine Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ zu diagonalisieren, verwenden wir ein systematisches Verfahren, das ermittelt, ob und wie die Matrix vereinfacht werden kann.

Diagonalisierungsschritte

Das Verfahren besteht aus drei aufeinander aufbauenden Schritten:

1. Charakteristisches Polynom berechnen. Daraus folgen alle Eigenwerte $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$ und ihre algebraischen Multiplizitäten $\mu_A(\lambda_1), \ldots, \mu_A(\lambda_k)$.

   Über dem gewählten Körper $\mathbb{K}$ muss das charakteristische Polynom $\chi_A(t)$ vollständig in lineare Faktoren zerfallen:

   $$\chi_A(t) = \prod_{i=1}^k (\lambda_i - t)^{\mu_A(\lambda_i)}$$

   Zerfällt das Polynom nicht vollständig, ist die Matrix über diesem Körper nicht diagonalisierbar.

2. Eigenräume bestimmen. Für jeden Eigenwert lösen wir das homogene lineare System:

   $$(A - \lambda_i \cdot I) \cdot v = 0$$

   Gesucht sind alle Vektoren, die die Matrix $A$ auf ein skalares Vielfaches ihrer selbst abbildet. Der Faktor ist der Eigenwert . Ein negativer Faktor kehrt die Richtung um, lässt den Vektor aber auf derselben Geraden.

3. Diagonalisierbarkeit prüfen. Für jeden Eigenwert muss die algebraische Multiplizität mit der geometrischen Multiplizität übereinstimmen. Für alle $i = 1, \ldots, k$ muss also $\mu_A(\lambda_i) = \dim E_A(\lambda_i)$ gelten.

Beispielanwendung des Verfahrens

Betrachten wir die Matrix:

Nun führen wir die drei Schritte durch:

1. Zuerst berechnen wir das charakteristische Polynom:

   $$\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I) = -t^3 + t^2 + t - 1$$

   Nach Faktorisierung erhalten wir:

   $$\chi_A(t) = (1 - t)^2 \cdot (-1 - t)$$

   Damit ist $\lambda_1 = 1$ ein Eigenwert mit algebraischer Multiplizität $\mu_A(1) = 2$ und $\lambda_2 = -1$ ein Eigenwert mit algebraischer Multiplizität . Die Summe stimmt mit der Matrixdimension überein.

2. Für jeden Eigenwert bestimmen wir den zugehörigen Eigenraum:

   $$E_A(1) = \ker(A - I) = \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}$$

3. Wir prüfen, ob die Diagonalisierungsbedingungen erfüllt sind. Für den Eigenwert $\lambda_1 = 1$ beträgt seine algebraische Multiplizität $2$ und sein Eigenraum hat die Dimension $2$ (zwei unabhängige Basisvektoren). Für den Eigenwert $\lambda_2 = -1$ beträgt seine algebraische Multiplizität und sein Eigenraum hat die Dimension .

Jetzt können wir die Transformationsmatrix $S$ bilden, indem wir alle Eigenvektoren als Spalten anordnen, und die Diagonalmatrix $\Lambda$ mit Eigenwerten auf der Hauptdiagonale:

Die Spalten von $S$ und die zugehörigen Diagonaleinträge von $\Lambda$ müssen in derselben Reihenfolge bleiben. Hier ist die Konstruktion gültig, denn:

Somit wird die Matrix $A$ zu $\Lambda$ diagonalisiert, und zwar durch die Transformation $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$.

Das Verfahren weist damit beide Voraussetzungen nach: Die Eigenvektoren bilden eine Basis, und die Matrixdarstellung in dieser Basis ist diagonal.

Diese Bedingung stellt sicher, dass wir genügend unabhängige Eigenvektoren haben, um eine vollständige Basis zu bilden. Wenn erfüllt, bilden die Basisvektoren aller Eigenräume die Spalten der Transformationsmatrix $S$ und ergeben:

Der Kern oder Nullraum enthält alle Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Die lineare Hülle einer Vektormenge umfasst dagegen alle Linearkombinationen dieser Vektoren.

Da $\mu_A(1) = 2 = \dim E_A(1)$ und $\mu_A(-1) = 1 = \dim E_A(-1)$ gelten, sind beide Bedingungen erfüllt.