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Für eine reelle symmetrische Matrix betrachten wir die quadratische Form
Die komplexe Variante verwendet eine hermitesche Matrix und . Das Vorzeichen dieses Skalars klassifiziert die Matrix:
| Klasse | Bedingung für jedes ungleich null |
|---|---|
| Positiv definit | |
| Positiv semidefinit | |
| Negativ definit | |
| Negativ semidefinit | |
| Indefinit | die quadratische Form nimmt positive und negative Werte an |
Symmetrie gehört zur üblichen Definition. Für eine nicht symmetrische reelle Matrix gilt
Diese Identität zeigt, dass die quadratische Form nur vom symmetrischen Anteil von abhängt.
Nach dem Spektralsatz lässt sich eine reelle symmetrische Matrix schreiben als
In dieser Zerlegung ist orthogonal und eine reelle Diagonalmatrix. Die Substitution ergibt
Daher gilt:
Jeder Diagonaleintrag einer positiv definiten Matrix ist positiv, denn
Eine Matrix kann positive Diagonaleinträge besitzen und trotzdem nicht positiv definit sein, weil auch die gemischten Terme beeinflussen.
Ist positiv definit, dann ist
Die Menge ist ein Ellipsoid mit Mittelpunkt im Ursprung. In Eigenvektorkoordinaten lautet seine Gleichung
Diese Gleichung zeigt, dass die Hauptachsen des Ellipsoids den Eigenvektoren von folgen. Die Halbachse mit dem Index hat die Länge . Kleine Eigenwerte ergeben längere Halbachsen, große Eigenwerte kürzere Halbachsen.
Sei der linke obere -Block einer reellen symmetrischen oder komplexen hermiteschen Matrix. Das Sylvester-Kriterium lautet
Dieser Test der führenden Hauptminoren lässt sich nicht durch bloßes Ersetzen von durch erweitern. Bei positiver Semidefinitheit müssen alle Hauptminoren nichtnegativ sein. Die führenden Hauptminoren allein reichen dafür nicht aus.
Betrachte
Die führenden Hauptminoren sind
Beide führenden Hauptminoren sind positiv, daher ist positiv definit. Beide Eigenwerte sind ebenfalls positiv:
Vergleiche nun
Obwohl beide Diagonaleinträge positiv sind, gilt
Die negative Determinante zeigt, dass die beiden Eigenwerte von verschiedene Vorzeichen haben. Daher ist indefinit.
Eine reelle symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn sie eine Cholesky-Faktorisierung besitzt:
In dieser Faktorisierung ist eine untere Dreiecksmatrix mit ausschließlich positiven Diagonaleinträgen. Dann gilt
Umgekehrt läuft der Cholesky-Algorithmus für jede positiv definite Matrix ohne nichtpositiven Pivot vollständig durch. Bei einer symmetrischen Eingabe prüft dieser erfolgreiche Ablauf in exakter Arithmetik die positive Definitheit. Nach löst du zuerst und danach .
Für jede reelle Matrix gilt
Diese Gleichung zeigt, dass immer positiv semidefinit ist. Die Matrix ist genau dann positiv definit, wenn
Voller Spaltenrang impliziert automatisch . Dies muss für die Aussage über Semidefinitheit nicht vorab angenommen werden.
Allgemeiner ist eine Gram-Matrix positiv semidefinit. Sie ist genau dann positiv definit, wenn die Vektoren linear unabhängig sind.
Betrachte die quadratische Zielfunktion
Ihr Gradient und ihre Hesse-Matrix sind
Ist positiv definit, dann ist streng konvex und besitzt den eindeutigen Minimierer
Der numerische Aufwand hängt außerdem von der Konditionszahl ab. Sie ist das Verhältnis des größten zum kleinsten Eigenwert:
Eine große Konditionszahl führt zu langgestreckten Konturen. Numerische Algorithmen können dann langsam oder empfindlich gegenüber Rundungsfehlern werden.
Für eine hermitesche Matrix sind die Eigenwerte von gleich . Folglich
Aus folgt außerdem mit Eigenwerten . In numerischen Algorithmen werden lineare Gleichungssysteme direkt gelöst, weil die explizite Bildung einer Inversen mehr Operationen erfordert und Rundungsfehler verstärken kann.
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