Orthogonale und unitäre Matrizen

Eine reelle quadratische Matrix $Q\in\mathbb{R}^{n\times n}$ heißt orthogonal, wenn

Eine komplexe quadratische Matrix $U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ heißt unitär, wenn

Dabei ist $U^H=\overline{U}^{,T}$ die adjungierte Matrix. Eine reelle orthogonale Matrix ist eine unitäre Matrix mit ausschließlich reellen Einträgen.

Die definierenden Gleichungen sind gleichbedeutend damit, dass die Spalten eine Orthonormalbasis bilden. Auch die Zeilen sind orthonormal.

Was diese Transformationen erhalten

Für reelle Vektoren $x,y$ und eine orthogonale Matrix $Q$ gilt

Dieselben Aussagen gelten über $\mathbb{C}$ mit komplexen Skalarprodukten und $U^H$. Orthogonale und unitäre Transformationen erhalten daher Längen, Abstände, Winkel und Orthogonalität.

Alle ihre Singulärwerte sind gleich $1$. Somit gilt

Die Multiplikation mit einer solchen Matrix verstärkt relative Fehler in der euklidischen Norm nicht. Deshalb beruhen QR-Faktorisierungen auf Householder-Spiegelungen und Givens-Rotationen.

Determinanten und Orientierung

Für eine unitäre Matrix gilt

Bei einer reellen orthogonalen Matrix ist die Determinante reell. Daher

Der Fall $\det Q=1$ erhält die Orientierung. Der Fall $\det Q=-1$ kehrt die Orientierung um und enthält eine Spiegelungskomponente.

Eigenwerte und Spektralstruktur

Gilt $Uv=\lambda v$ mit $v\ne0$, dann

Jeder Eigenwert liegt daher auf dem komplexen Einheitskreis. Nichtreelle Eigenwerte einer reellen orthogonalen Matrix treten in konjugierten Paaren auf. Eine unitäre Matrix ist normal. Der komplexe Spektralsatz liefert deshalb

mit unitärem $V$. Über den reellen Zahlen lässt sich eine orthogonale Matrix stattdessen auf Blöcke aus $1$, $-1$ und ebenen Rotationen reduzieren.

Rotationsbeispiel

Eine Drehung der Ebene gegen den Uhrzeigersinn um $\alpha$ ist

Ihre Spalten sind orthonormal, und direktes Ausmultiplizieren ergibt

Das charakteristische Polynom lautet

Falls $\alpha$ kein Vielfaches von $\pi$ ist, besitzt die Drehung keinen reellen Eigenvektor. Das ist zu erwarten: Bei einer echten ebenen Drehung bleibt keine reelle Richtung ungleich null fest oder ändert nur ihr Vorzeichen.

Spiegelungsbeispiel

Für einen Einheitsvektor $u\in\mathbb{R}^n$ spiegelt die Householder-Matrix

einen Vektor an der zu $u$ senkrechten Hyperebene. Wegen

gilt $H^TH=I$. In Richtung $u$ hat sie den Eigenwert $-1$. Jeder zu $u$ senkrechte Vektor hat den Eigenwert $1$. Deshalb ist $\det H=-1$.

Gleichwertige Prüfungen und Folgen

Produkte und Inversen bleiben in derselben Klasse:

Diese Abschluss- und Stabilitätseigenschaften machen orthogonale und unitäre Matrizen zu zentralen Werkzeugen für QR-Algorithmen, Ausgleichsprobleme, Fourier-Transformationen, Quantenmechanik und Geometrieverarbeitung.