Orthogonale und unitäre Matrizen

Was eine Matrix orthogonal oder unitär macht

Eine reelle quadratische Matrix $Q\in\mathbb{R}^{n\times n}$ heißt orthogonal, wenn

Q^TQ=QQ^T=I

Eine komplexe quadratische Matrix $U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ heißt unitär, wenn

U^HU=UU^H=I

Dabei ist $U^H=\overline{U}^{T}$ die adjungierte Matrix. Eine reelle orthogonale Matrix ist eine $unitäre Matrix mit reellen Einträgen$ .

Die definierenden Gleichungen sind gleichbedeutend damit, dass die Spalten eine Orthonormalbasis bilden. Auch die Zeilen sind orthonormal.

Was orthogonale und unitäre Transformationen erhalten

Für reelle Vektoren $x,y$ und eine orthogonale Matrix $Q$ gilt

\begin{aligned} \langle Qx,Qy\rangle &=(Qx)^T(Qy) \\ &=x^TQ^TQy \\ &=x^Ty \end{aligned}

Dieselben Aussagen gelten über $\mathbb{C}$ mit komplexen Skalarprodukten und $U^H$ . Orthogonale und unitäre Transformationen $erhalten daher Längen, Abstände, Winkel und Orthogonalität$ .

Alle ihre Singulärwerte sind gleich $1$ . Somit gilt

\|Q\|_2=1,\qquad\kappa_2(Q)=1

Die Multiplikation mit einer solchen Matrix verstärkt relative Fehler in der euklidischen Norm nicht. Deshalb beruhen $\mathrm{QR}$ -Faktorisierungen auf Householder-Spiegelungen und Givens-Rotationen.

Determinanten und Orientierung

Für eine unitäre Matrix gilt

\begin{aligned} 1 &=\det(U^HU) \\ &=\overline{\det U}\det U \\ &=|\det U|^2 \end{aligned}

Bei einer reellen orthogonalen Matrix ist die Determinante reell. Daher

\det Q\in\{-1,1\}

Der Fall $\det Q=1$ $erhält die Orientierung$ . Der Fall $\det Q=-1$ kehrt die Orientierung um und enthält eine Spiegelungskomponente.

Eigenwerte und Spektralstruktur

Gilt $Uv=\lambda v$ mit $v\ne0$ , dann

\|v\|_2=\|Uv\|_2=\|\lambda v\|_2=|\lambda|\|v\|_2

Jeder Eigenwert liegt daher auf dem $komplexen Einheitskreis$ . Nichtreelle Eigenwerte einer reellen orthogonalen Matrix treten in konjugierten Paaren auf. Eine unitäre Matrix ist normal. Der komplexe Spektralsatz liefert deshalb

U=V\operatorname{diag}(e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n})V^H

In dieser Zerlegung ist $V$ unitär. Über den reellen Zahlen lässt sich eine orthogonale Matrix auf Blöcke aus $1$ , $-1$ und ebenen Rotationen reduzieren.

Rotationsbeispiel

Eine Drehung der Ebene gegen den Uhrzeigersinn um $\alpha$ ist

R(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}

Ihre Spalten sind orthonormal, und direktes Ausmultiplizieren ergibt

R(\alpha)^TR(\alpha)=I

Das charakteristische Polynom lautet

\chi_R(t)=t^2-2t\cos\alpha+1

Falls $\alpha$ kein Vielfaches von $\pi$ ist, besitzt die Drehung $keinen reellen Eigenvektor$ . Das ist zu erwarten: Bei einer echten ebenen Drehung bleibt keine reelle Richtung ungleich null fest oder ändert nur ihr Vorzeichen.

Spiegelungsbeispiel

Für einen Einheitsvektor $u\in\mathbb{R}^n$ definieren wir die Householder-Matrix

H=I-2uu^T

Die Matrix $H$ spiegelt einen Vektor an der zu $u$ $senkrechten Hyperebene$ . Ihre Orthogonalität lässt sich mit den folgenden Identitäten prüfen:

H^T=H

Aus den beiden Identitäten folgt $H^TH=I$ . In Richtung $u$ hat die Matrix den Eigenwert $-1$ . Jeder zu $u$ senkrechte Vektor hat den Eigenwert $1$ . Deshalb ist $\det H=-1$ .

Gleichwertige Prüfungen und Folgen

Aussage	Orthogonaler Fall	Unitärer Fall
Inverse	$Q^{-1}=Q^T$	$U^{-1}=U^H$
Spalten	reelle Orthonormalbasis	komplexe Orthonormalbasis
Determinante	$\pm1$	Betrag $1$
Eigenwerte	Einheitskreis, bei nichtreellen Werten konjugierte Paare	Einheitskreis
Singulärwerte	alle $1$	alle $1$
Konditionszahl in der Zweinorm	$1$	$1$

$Produkte und Inversen$ bleiben in derselben Klasse:

(Q_1Q_2)^T(Q_1Q_2)=I

Da orthogonale und unitäre Matrizen Normen erhalten, verändern die orthogonalen Transformationen in der $\mathrm{QR}$ -Zerlegung und in Ausgleichsrechnungen die Vektorlängen nicht. Fourier-Transformationen, Quantenmechanik und Geometrieverarbeitung nutzen dieselbe Eigenschaft, um Skalarprodukte und Normen zu erhalten.