Hauptachsentransformation

Quadratische Formen mit symmetrischen Matrizen

Eine quadratische Gleichung mit einem $gemischten Term$ nennt ihre Hauptachsenrichtungen nicht direkt. Ihre quadratische Form fasst die Koeffizienten in einer symmetrischen Matrix zusammen. Die Eigenvektoren dieser Matrix geben die Hauptachsenrichtungen an. In zwei Dimensionen sei

A = \begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix}

Da $A$ reell und symmetrisch ist, besitzt die Matrix reelle Eigenwerte $\lambda_1,\lambda_2$ und eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren $v_1,v_2$ . Wir setzen $S=(v_1\quad v_2)$ . Dann gelten $S^TS=I$ und $S^TAS=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)$ .

Für die Gleichung $x^TAx+p^Tx+f=0$ verwenden wir die gedrehten Koordinaten $\xi=S^Tx$ und den gedrehten linearen Koeffizienten $(\delta,\epsilon)^T=S^Tp$ . Dadurch verschwindet der gemischte Term:

\lambda_1 \xi_1^2 + \lambda_2 \xi_2^2 + \delta \xi_1 + \epsilon \xi_2 + f = 0

Quadratische Ergänzung

Für beide Variablen mit $\lambda_1, \lambda_2 \neq 0$ wird die Vervollständigung des Quadratprozesses separat durchgeführt:

Benenne die Klammern der quadratischen Ergänzung, damit die $addierten und subtrahierten Terme$ sichtbar bleiben:

B_1=\xi_1^2+2\frac\delta{2\lambda_1}\xi_1 +\frac{\delta^2}{4\lambda_1^2}

Nach dem Zusammenfassen erhalten wir

\begin{aligned} 0 &= \lambda_1 \left( \xi_1 + \frac{\delta}{2\lambda_1} \right)^2 \\ &\quad{}+ \lambda_2 \left( \xi_2 + \frac{\epsilon}{2\lambda_2} \right)^2 \\ &\quad{}+ \left( f - \frac{\delta^2}{4\lambda_1} - \frac{\epsilon^2}{4\lambda_2} \right) \end{aligned}

Wir definieren den Mittelpunkt in den gedrehten Koordinaten und die verschobene Konstante durch

(m_1,m_2)=\left(-\frac{\delta}{2\lambda_1},-\frac{\epsilon}{2\lambda_2}\right)

Damit gilt

\begin{aligned} &\lambda_1 (\xi_1 - m_1)^2 + \lambda_2 (\xi_2 - m_2)^2 - \gamma \\ &= 0 \end{aligned}

Die Vorzeichen von $\lambda_1$ , $\lambda_2$ und $\gamma$ entscheiden, ob die reelle Lösungsmenge eine Ellipse, Hyperbel, Parabel, ein entarteter Kegelschnitt oder leer ist. Die nächsten beiden Fälle setzen $\gamma>0$ voraus.

Kurvenklassifizierung

Bei $positiver verschobener Konstante$ $\gamma$ ergeben zwei positive Eigenwerte eine Ellipse, Eigenwerte mit entgegengesetzten Vorzeichen eine Hyperbel. Bei einem Eigenwert null muss der verbleibende lineare Term geprüft werden: Nur mit einem Koeffizienten ungleich null entsteht eine Parabel.

Beide Eigenwerte positiv

Wenn $\lambda_1 > 0$ und $\lambda_2 > 0$ , dann ist der gebildete Kegelschnitt eine $Ellipse$ :

\frac{(\xi_1 - m_1)^2}{r_1^2} + \frac{(\xi_2 - m_2)^2}{r_2^2} = 1

Mit Halbachsenlängen $r_1 = \sqrt{\frac{\gamma}{\lambda_1}}$ in Richtung $v_1$ und $r_2 = \sqrt{\frac{\gamma}{\lambda_2}}$ in Richtung $v_2$ .

Ellipse in den Koordinaten

\xi_1,\xi_2

Ellipsenkurve mit positiven Eigenwerten und Hauptachsen, die an den Eigenvektorrichtungen ausgerichtet sind.

$x$: $[-4; 4]$
$y$: $[-4; 4]$

Eigenwerte mit entgegengesetzten Vorzeichen

Wenn $\lambda_1 > 0$ und $\lambda_2 < 0$ , ist der gebildete Kegelschnitt eine $Hyperbel$ :

\frac{(\xi_1 - m_1)^2}{r_1^2} - \frac{(\xi_2 - m_2)^2}{r_2^2} = 1

Mit Halbachsenlängen $r_1 = \sqrt{\frac{\gamma}{\lambda_1}}$ in Richtung $v_1$ und $r_2 = \sqrt{\frac{\gamma}{-\lambda_2}}$ in Richtung $v_2$ .

Hyperbel in den Koordinaten

\xi_1,\xi_2

Hyperbelkurve mit an Eigenvektorrichtungen ausgerichteten Hauptachsen und Zentrumstransformation.

$x$: $[-4; 4]$
$y$: $[-4{,}24; 4{,}24]$

Ein Eigenwert Null

Ein Sonderfall liegt bei $\lambda_1\neq0$ , $\lambda_2=0$ und $\epsilon\neq0$ vor. Die quadratische Ergänzung ergibt

Benenne dieselben Klammern der quadratischen Ergänzung, damit sich die addierten und subtrahierten Terme getrennt aufheben:

B_1=\xi_1^2+2\frac\delta{2\lambda_1}\xi_1 +\frac{\delta^2}{4\lambda_1^2}

Wegen des zweiten Eigenwerts null ergänzen wir nur das erste Quadrat. Setze daher:

m_1=-\frac{\delta}{2\lambda_1},\qquad \gamma=\frac{\delta^2}{4\lambda_1}-f

Nach dem Auflösen nach $\xi_2$ ist die $Parabelform$ unmittelbar erkennbar:

\xi_2 = -\frac{\lambda_1}{\epsilon} (\xi_1 - m_1)^2 + \frac{\gamma}{\epsilon}

Parabel in den Koordinaten

\xi_1,\xi_2

Parabelkurve mit einem Null-Eigenwert und an Eigenvektoren ausgerichteter Koordinatenachsentransformation.

$x$: $[-3{,}5; 3{,}5]$
$y$: $[-1; 4]$

Einen zweidimensionalen Kegelschnitt drehen und verschieben

Wir betrachten die Gleichung

5x_1^2+4x_1x_2+2x_2^2-6x_1-9=0

Die Eigenpaare lauten

\begin{aligned} &\lambda_1=6, \\ &v_1=\frac1{\sqrt5}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}, \\ &\lambda_2=1, \\ &v_2=\frac1{\sqrt5}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix} \end{aligned}

Der $Mittelpunkt in den ursprünglichen Koordinaten$ ist $h=(1,-1)^T$ , denn $2Ah+p=0$ . In den gedrehten Koordinaten gilt $m=S^Th=(1/\sqrt5,-3/\sqrt5)^T$ . Mit $\eta=\xi-m$ wird die Gleichung zu

6\eta_1^2+\eta_2^2=12

Die Kurve ist eine Ellipse mit Mittelpunkt $(1,-1)$ . Ihre Halbachsen haben die Längen $\sqrt2$ in Richtung $v_1$ und $2\sqrt3$ in Richtung $v_2$ . Setzt man den Mittelpunkt in die ursprüngliche Gleichung ein, erhält man $-12$ , passend zur rechten Seite nach der Verschiebung.

Quadratische Flächen und Transformation

Für eine symmetrische Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , einen Vektor $b \in \mathbb{R}^n$ und einen Skalar $c \in \mathbb{R}$ ist die $quadratische Oberfläche$ $Q$ als Lösungsmenge der allgemeinen quadratischen Gleichung definiert:

x^T A x + b^T x + c = 0

Schreibt man dieselbe Gleichung eintragsweise aus, erhält man:

\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n x_ja_{jk}x_k +\sum_{j=1}^n b_jx_j+c=0

Wenn $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ symmetrisch und $v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^n$ eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren mit $A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$ ist, dann ermöglicht die Orthonormalmatrix $S = (v_1 \quad \ldots \quad v_n)$ die Diagonalisierung $A \cdot S = S \cdot \Lambda$ oder $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S = S^T \cdot A \cdot S$ .

Verwende die gedrehten Koordinaten $\xi=S^Tx$ und setze $\mu=S^Tb$ . Die Koordinaten $\xi\in\mathbb R^n$ der Punkte auf $Q$ erfüllen:

\xi^T S^T A S \xi + b^T S \xi + c = 0

Die Diagonalisierung von $A$ ergibt:

\xi^T\Lambda\xi+\mu^T\xi+c=0

Eintragsweise ausgeschrieben:

\sum_{j=1}^n\lambda_j\xi_j^2 +\sum_{j=1}^n\mu_j\xi_j+c=0

Fasse die Terme zusammen und bringe $c$ auf die rechte Seite:

\sum_{j=1}^n (\lambda_j \xi_j^2 + \mu_j \xi_j) = -c

In der Orthonormalbasis von Eigenvektoren hat die quadratische Form eine Diagonalstruktur. Diese Transformation wird $Hauptachsentransformation$ genannt, da die neuen Koordinatenachsen $an den Richtungen der Matrixeigenvektoren ausgerichtet$ sind.