Hauptachsentransformation

Der gemischte Term einer quadratischen Gleichung kann ihre Geometrie verdecken. In Matrixform wird die symmetrische Matrix sichtbar, welche die Hauptachsen bestimmt. In zwei Dimensionen sei

Da $A$ reell und symmetrisch ist, besitzt die Matrix reelle Eigenwerte $\lambda_1,\lambda_2$ und eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren $v_1,v_2$. Wir setzen $S=(v_1\quad v_2)$. Dann gelten $S^TS=I$ und $S^TAS=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)$.

Für die Gleichung $x^TAx+p^Tx+f=0$ verwenden wir die gedrehten Koordinaten $\xi=S^Tx$ und den gedrehten linearen Koeffizienten $(\delta,\epsilon)^T=S^Tp$. Dadurch verschwindet der gemischte Term:

Quadratische Ergänzung

Für beide Variablen mit $\lambda_1, \lambda_2 \neq 0$ wird die Vervollständigung des Quadratprozesses separat durchgeführt:

Nach dem Zusammenfassen erhalten wir

Wir definieren den Mittelpunkt in den gedrehten Koordinaten und die verschobene Konstante durch

Damit gilt

Die Vorzeichen von $\lambda_1$, $\lambda_2$ und $\gamma$ entscheiden, ob die reelle Lösungsmenge eine Ellipse, Hyperbel, Parabel, ein entarteter Kegelschnitt oder leer ist. Die nächsten beiden Fälle setzen $\gamma>0$ voraus.

Kurvenklassifizierung

Beide Eigenwerte positiv

Wenn $\lambda_1 > 0$ und $\lambda_2 > 0$, dann ist der gebildete Kegelschnitt eine Ellipse:

Mit Halbachsenlängen $r_1 = \sqrt{\frac{\gamma}{\lambda_1}}$ in Richtung $v_1$ und $r_2 = \sqrt{\frac{\gamma}{\lambda_2}}$ in Richtung $v_2$.

Eigenwerte mit entgegengesetzten Vorzeichen

Wenn $\lambda_1 > 0$ und $\lambda_2 < 0$, ist der gebildete Kegelschnitt eine Hyperbel:

Mit Halbachsenlängen $r_1 = \sqrt{\frac{\gamma}{\lambda_1}}$ in Richtung $v_1$ und $r_2 = \sqrt{\frac{\gamma}{-\lambda_2}}$ in Richtung $v_2$.

Ein Eigenwert Null

Ein Sonderfall liegt bei $\lambda_1\neq0$, $\lambda_2=0$ und $\epsilon\neq0$ vor. Die quadratische Ergänzung ergibt

Nach dem Auflösen nach $\xi_2$ ist die Parabelform unmittelbar erkennbar:

Vollständig gerechnetes Beispiel

Wir betrachten die Gleichung

Die Eigenpaare lauten

Der Mittelpunkt in den ursprünglichen Koordinaten ist $h=(1,-1)^T$, denn $2Ah+p=0$. In den gedrehten Koordinaten gilt $m=S^Th=(1/\sqrt5,-3/\sqrt5)^T$. Mit $\eta=\xi-m$ wird die Gleichung zu

Die Kurve ist eine Ellipse mit Mittelpunkt $(1,-1)$. Ihre Halbachsen haben die Längen $\sqrt2$ in Richtung $v_1$ und $2\sqrt3$ in Richtung $v_2$. Setzt man den Mittelpunkt in die ursprüngliche Gleichung ein, erhält man $-12$, passend zur rechten Seite nach der Verschiebung.

Quadratische Flächen und Transformation

Für eine symmetrische Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, einen Vektor $b \in \mathbb{R}^n$ und einen Skalar $c \in \mathbb{R}$ ist die quadratische Oberfläche $Q$ als Lösungsmenge der allgemeinen quadratischen Gleichung definiert:

Äquivalent dazu gilt

Wenn $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ symmetrisch und $v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^n$ eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren mit $A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$ ist, dann ermöglicht die Orthonormalmatrix $S = (v_1 \quad \ldots \quad v_n)$ die Diagonalisierung $A \cdot S = S \cdot \Lambda$ oder $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S = S^T \cdot A \cdot S$.

In der neuen Koordinatenbasis $\xi = S^T x$ und $\mu = S^T b$ hat die quadratische Fläche Diagonalform:

In der Orthonormalbasis von Eigenvektoren hat die quadratische Form eine Diagonalstruktur. Diese Transformation wird Hauptachsentransformation genannt, da die neuen Koordinatenachsen an den Richtungen der Matrixeigenvektoren ausgerichtet sind.