Spektralsatz

Der komplexe Spektralsatz besagt, dass sich eine Matrix genau dann mithilfe einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren diagonalisieren lässt, wenn sie normal ist. In Matrixform gilt

wobei $U$ unitär und $\Lambda$ diagonal ist. Eine solche Basis zerlegt die Transformation in unabhängige Eigenvektorrichtungen und bewahrt dabei Längen und Winkel. Im reellen symmetrischen Fall kann $U$ reell und orthogonal gewählt werden, sodass $U^{-1}=U^T$ gilt.

Eine komplexe Matrix $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ heißt normal, wenn sie mit ihrer konjugierten Transponierten die Kommutativitätsbedingung erfüllt:

Diese algebraische Bedingung hat eine starke geometrische Folge: Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal, und über $\mathbb{C}$ lässt sich die Matrix unitär diagonalisieren.

Spezielle Eigenschaften von Eigenräumen normaler Matrizen

Normale Matrizen haben interessante Eigenschaften, die beliebige Matrizen nicht besitzen. Bei normalen Matrizen erweisen sich der Nullraum der Matrix und der Nullraum ihrer konjugierten Transponierten als identisch.

Der Kern ist die Menge aller Vektoren $x$, die $Ax=0$ erfüllen. Aus der Normalität folgt für jedes $x$ die Normidentität

Damit gilt $Ax=0$ genau dann, wenn $A^Hx=0$ ist. Folglich

Wenden wir dieselbe Kerngleichheit auf die normale Matrix $A-\lambda I$ an, erhalten wir für jeden Eigenwert $\lambda \in \mathbb{C}$ die zugehörige Eigenraumbeziehung:

Gilt also $Av=\lambda v$, dann gilt $A^H v=\overline{\lambda}v$. Der Eigenvektor bleibt derselbe, der Eigenwert wird komplex konjugiert.

Diese Identität beweist zugleich die Orthogonalität. Gelten $Av=\lambda v$ und $Aw=\mu w$ mit $\lambda\neq\mu$, so folgt

Hermitesche und Unitäre Matrizen als Beispiele für Normalmatrizen

Zwei wichtige Klassen normaler Matrizen sind hermitesche und unitäre Matrizen. Die definierenden Gleichungen zeigen unmittelbar, warum beide normal sind.

Hermitesche Matrizen und reelle Eigenwerte

Hermitesche Matrizen haben die Eigenschaft $A^H = A$. Aufgrund der Normaldefinition $A \cdot A^H = A^H \cdot A$ gilt für hermitesche Matrizen $A \cdot A = A \cdot A$, was offensichtlich immer wahr ist.

Eigenwerte hermitescher Matrizen sind immer reell. Gilt $Av=\lambda v$ mit $v\neq0$, dann liefert die hermitesche Symmetrie:

Die Gleichheit $\lambda=\overline{\lambda}$ bedeutet genau, dass $\lambda$ reell ist.

Vollständig gerechnetes hermitesches Beispiel

Betrachten wir

Die konjugierte Transponierte ergibt wieder dieselbe Matrix, also $H^H=H$. Das charakteristische Polynom ist $(2-\lambda)^2-1$ und liefert die reellen Eigenwerte $1$ und $3$. Zugehörige normierte Eigenvektoren sind

Die Vektoren sind orthonormal, denn $u_1^Hu_3=0$ und beide haben die Norm $1$. So zeigt sich der Spektralsatz an einem konkreten $2\times2$-Beispiel.

Unitäre Matrizen und Eigenwerte auf dem Einheitskreis

Unitäre Matrizen erfüllen $A^H = A^{-1}$. Eingesetzt in die Definition der Normalität ergibt sich $A \cdot A^H = A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A = A^H \cdot A$.

Eigenwerte unitärer Matrizen haben den Betrag $1$ und liegen daher auf dem Einheitskreis. Gilt $Av=\lambda v$ mit $v\neq0$, bewahrt die unitäre Abbildung die Norm:

Damit hat jeder Eigenwert einer unitären Matrix den Betrag $1$. Geometrisch bewahren unitäre Transformationen Vektorlängen, und ihre Eigenwerte liegen auf dem Einheitskreis.