Spektralsatz

Grundkonzepte normaler Matrizen

Der komplexe Spektralsatz besagt, dass sich eine Matrix genau dann mithilfe einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren diagonalisieren lässt, $wenn sie normal ist$ . In Matrixform gilt

$A$ ist genau dann normal, wenn es diese Zerlegung mit unitärem $U$ und diagonalem $\Lambda$ besitzt:

A=U\Lambda U^H

In dieser Form ist $U$ unitär und $\Lambda$ diagonal. Die Spalten von $U$ bilden eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Da $U$ unitär ist, erhält dieser Basiswechsel Längen und Winkel. Im reellen symmetrischen Fall kann $U$ reell und orthogonal gewählt werden, sodass $U^{-1}=U^T$ gilt.

Eine komplexe Matrix $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ heißt normal, wenn sie mit ihrer konjugierten Transponierten die Kommutativitätsbedingung erfüllt:

A \cdot A^H = A^H \cdot A

Diese algebraische Bedingung macht Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal. Über $\mathbb{C}$ erlaubt sie außerdem eine unitäre Diagonalisierung.

Spezielle Eigenschaften von Eigenräumen normaler Matrizen

Bei einer normalen Matrix stimmt der Nullraum der Matrix mit dem Nullraum ihrer konjugierten Transponierten überein.

Der Kern ist die Menge aller Vektoren $x$ , die $Ax=0$ erfüllen. Aus der Normalität folgt für jedes $x$ die $Normidentität$

\lVert Ax\rVert_2^2=x^HA^HAx

Damit gilt $Ax=0$ genau dann, wenn $A^Hx=0$ ist. Folglich

\ker A=\ker A^H

Für die normale Matrix $A-\lambda I$ liefert dieselbe Kerngleichheit für jeden Eigenwert $\lambda \in \mathbb{C}$ die zugehörige Eigenraumbeziehung:

E_A(\lambda)=E_{A^H}(\overline{\lambda})

Gilt also $Av=\lambda v$ , dann gilt $A^H v=\overline{\lambda}v$ . Der Eigenvektor bleibt derselbe, der Eigenwert wird komplex konjugiert.

Diese Identität beweist zugleich die Orthogonalität. Gelten $Av=\lambda v$ und $Aw=\mu w$ mit $\lambda\neq\mu$ , so folgt

\overline{\lambda}v^Hw=(Av)^Hw=v^HA^Hw

Hermitesche und Unitäre Matrizen als Beispiele für Normalmatrizen

Eine hermitesche Matrix stimmt mit ihrer eigenen Adjungierten überein, und bei einer unitären Matrix ist die Inverse gleich der Adjungierten, sodass beide Seiten der Normalitätsbedingung zum $selben Produkt$ werden.

Hermitesche Matrizen und reelle Eigenwerte

Für eine hermitesche Matrix gilt $A^H=A$ , daher sind beide Seiten der Normalitätsbedingung gleich $A^2$ .

Eigenwerte hermitescher Matrizen sind $immer reell$ . Gilt $Av=\lambda v$ mit $v\neq0$ , dann liefert die hermitesche Symmetrie:

\begin{aligned} \lambda v^H v &= v^HAv \\ &= v^HA^Hv \\ &= (Av)^Hv \\ &= \overline{\lambda}v^Hv \\ &\Rightarrow \lambda \\ &=\overline{\lambda} \end{aligned}

Die Gleichheit $\lambda=\overline{\lambda}$ bedeutet genau, dass $\lambda$ reell ist.

Vollständig gerechnetes hermitesches Beispiel

Betrachten wir

H=\begin{pmatrix}2&i\\-i&2\end{pmatrix}

Die konjugierte Transponierte ergibt wieder dieselbe Matrix, also $H^H=H$ . Das charakteristische Polynom ist $(2-\lambda)^2-1$ und liefert die reellen Eigenwerte $1$ und $3$ . Zugehörige normierte Eigenvektoren sind

\begin{aligned} &u_1=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}-i\\1\end{pmatrix}, \\ &u_3=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix} \end{aligned}

Die Vektoren sind $orthonormal, denn$ $u_1^Hu_3=0$ und beide haben die Norm $1$ . So zeigt sich der Spektralsatz an einem konkreten $2\times2$ -Beispiel.

u_1^Hu_3=\frac{(i)(i)+1}{2}=0,\qquad Hu_1=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}-2i+i\\(-i)(-i)+2\end{pmatrix}=u_1

Unitäre Matrizen und Eigenwerte auf dem Einheitskreis

Unitäre Matrizen erfüllen $A^H = A^{-1}$ . Eingesetzt in die Definition der Normalität ergibt sich $A \cdot A^H = A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A = A^H \cdot A$ .

Eigenwerte unitärer Matrizen haben den Betrag $1$ und liegen daher auf dem $Einheitskreis$ . Gilt $Av=\lambda v$ mit $v\neq0$ , bewahrt die unitäre Abbildung die Norm:

\lVert v\rVert^2 = \lVert Av\rVert^2 = \lVert \lambda v\rVert^2 = |\lambda|^2\lVert v\rVert^2

Damit hat jeder Eigenwert einer unitären Matrix den Betrag $1$ . Geometrisch bewahren unitäre Transformationen Vektorlängen, und ihre Eigenwerte liegen auf dem Einheitskreis.