Spektralsatz für reelle normale Matrizen

Wann eine reelle normale Matrix eine reelle Eigenbasis besitzt

Für $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Es gibt eine Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^n$ , die aus Eigenvektoren von $A$ besteht.
Die Matrix ist normal und ihr charakteristisches Polynom $\chi_A(t)$ zerfällt über $\mathbb{R}$ vollständig in Linearfaktoren.
Es gibt eine reelle orthogonale Matrix $Q$ und eine reelle Diagonalmatrix $\Lambda$ mit $A=Q\Lambda Q^T$ .
Die Matrix ist symmetrisch: $A^T=A$ .

Die Äquivalenz erklärt die zusätzliche Bedingung gegenüber komplexen normalen Matrizen. Eine komplexe normale Matrix besitzt stets eine unitäre Eigenbasis, doch $diese Basis und ihre Eigenwerte müssen nicht reell sein$ .

Der Beweis verbindet die vier Aussagen direkt. Eine orthonormale Eigenbasis liefert die Spalten von $Q$ . Aus $A=Q\Lambda Q^T$ mit reeller Diagonalmatrix $\Lambda$ folgt $A^T=A$ . Umgekehrt diagonalisiert der reelle Spektralsatz jede reelle symmetrische Matrix orthogonal. Hat schließlich eine reelle normale Matrix nur reelle Eigenwerte, so erfüllt ihre komplexe unitäre Diagonalisierung $A^H=A$ . Da $A$ reell ist, bedeutet dies genau $A^T=A$ .

Matrixklasse	Körper	Garantierte Spektralform
Komplex und normal	$\mathbb{C}$	Unitäre Diagonalisierung. Die Eigenwerte dürfen komplex sein
Komplex und hermitesch	$\mathbb{C}$	Unitäre Diagonalisierung mit reellen Eigenwerten
Reell und symmetrisch	$\mathbb{R}$	Orthogonale Diagonalisierung mit reellen Eigenwerten
Reell und orthogonal	$\mathbb{R}$	Im Allgemeinen entstehen reelle Rotationsblöcke. Eine reelle Diagonalform entsteht nur, wenn alle Eigenwerte reell sind

Normale Matrix ohne reelle Eigenbasis

Betrachte die Drehung um einen Winkel $\alpha$ , der kein ganzzahliges Vielfaches von $\pi$ ist:

R_\alpha=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}

Die Matrix ist orthogonal. Daher gilt $R_\alpha^TR_\alpha=I=R_\alpha R_\alpha^T$ und sie ist normal. Ihr charakteristisches Polynom lautet

\chi_{R_\alpha}(t)=(t-\cos\alpha)^2+\sin^2\alpha

Seine Diskriminante ist

\Delta=4\cos^2\alpha-4=-4\sin^2\alpha<0

Da $\alpha$ kein ganzzahliges Vielfaches von $\pi$ ist, gilt $\sin\alpha\neq0$ . Das charakteristische Polynom hat daher $keine reelle Nullstelle$ und $R_\alpha$ besitzt keine reelle Eigenvektorbasis. Über $\mathbb{C}$ sind die Eigenwerte $e^{i\alpha}$ und $e^{-i\alpha}$ .

Bei $\alpha=\pi/2$ wird der blaue Vektor $v=(1,1)^T$ zum orangen Vektor $Rv=(-1,1)^T$ . Ihr Skalarprodukt ist null. Allgemein gilt $(x,y)\cdot(-y,x)=0$ : Jeder reelle Vektor ungleich null wird um 90° gedreht und bleibt daher nicht auf seiner ursprünglichen Geraden.

Eine Vierteldrehung ändert jede reelle Richtung

Der blaue Vektor und sein orangefarbenes Bild stehen senkrecht aufeinander. Eine Vierteldrehung erhält keine Richtungslinie eines reellen Vektors ungleich null.

$x$: $[-1; 1]$
$y$: $[0; 1]$

Eine diagonalisierbare nicht normale Matrix

Die folgende Matrix ist über $\mathbb{R}$ diagonalisierbar, aber nicht normal:

A=\begin{pmatrix}1&3\\0&2\end{pmatrix}

Die Eigenwerte $1$ und $2$ sind verschieden, daher ist die Matrix diagonalisierbar. Die zugehörigen Eigenräume sind

E_A(1)=\ker(A-I)=\operatorname{span}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}

Mit diesen Eigenvektoren als Spalten erhält man eine explizite Diagonalisierung:

S=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}

Die beiden Eigenvektoren sind jedoch nicht orthogonal, denn

\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=3\neq0

Direktes Multiplizieren zeigt außerdem, dass $A$ nicht normal ist:

AA^T=\begin{pmatrix}10&6\\6&4\end{pmatrix}

Dieses Beispiel trennt die beiden Begriffe. Bei einer gewöhnlichen Diagonalisierung darf die Eigenvektormatrix $S$ beliebig invertierbar sein. Eine orthogonale Diagonalisierung $verlangt dagegen eine orthonormale Eigenbasis$ und damit eine reelle symmetrische Matrix.

Wann eine reelle normale Matrix eine reelle Eigenbasis besitzt

Für $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Es gibt eine Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^n$ , die aus Eigenvektoren von $A$ besteht.
Die Matrix ist normal und ihr charakteristisches Polynom $\chi_A(t)$ zerfällt über $\mathbb{R}$ vollständig in Linearfaktoren.
Es gibt eine reelle orthogonale Matrix $Q$ und eine reelle Diagonalmatrix $\Lambda$ mit $A=Q\Lambda Q^T$ .
Die Matrix ist symmetrisch: $A^T=A$ .

Matrixklasse	Körper	Garantierte Spektralform
Komplex und normal	$\mathbb{C}$	Unitäre Diagonalisierung. Die Eigenwerte dürfen komplex sein
Komplex und hermitesch	$\mathbb{C}$	Unitäre Diagonalisierung mit reellen Eigenwerten
Reell und symmetrisch	$\mathbb{R}$	Orthogonale Diagonalisierung mit reellen Eigenwerten
Reell und orthogonal	$\mathbb{R}$	Im Allgemeinen entstehen reelle Rotationsblöcke. Eine reelle Diagonalform entsteht nur, wenn alle Eigenwerte reell sind

Normale Matrix ohne reelle Eigenbasis

Betrachte die Drehung um einen Winkel $\alpha$ , der kein ganzzahliges Vielfaches von $\pi$ ist:

R_\alpha=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}

Die Matrix ist orthogonal. Daher gilt $R_\alpha^TR_\alpha=I=R_\alpha R_\alpha^T$ und sie ist normal. Ihr charakteristisches Polynom lautet

\chi_{R_\alpha}(t)=(t-\cos\alpha)^2+\sin^2\alpha

Seine Diskriminante ist

\Delta=4\cos^2\alpha-4=-4\sin^2\alpha<0

Eine Vierteldrehung ändert jede reelle Richtung

Der blaue Vektor und sein orangefarbenes Bild stehen senkrecht aufeinander. Eine Vierteldrehung erhält keine Richtungslinie eines reellen Vektors ungleich null.

$x$: $[-1; 1]$
$y$: $[0; 1]$

Eine diagonalisierbare nicht normale Matrix

Die folgende Matrix ist über $\mathbb{R}$ diagonalisierbar, aber nicht normal:

A=\begin{pmatrix}1&3\\0&2\end{pmatrix}

Die Eigenwerte $1$ und $2$ sind verschieden, daher ist die Matrix diagonalisierbar. Die zugehörigen Eigenräume sind

E_A(1)=\ker(A-I)=\operatorname{span}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}

Mit diesen Eigenvektoren als Spalten erhält man eine explizite Diagonalisierung:

S=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}

Die beiden Eigenvektoren sind jedoch nicht orthogonal, denn

\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=3\neq0

Direktes Multiplizieren zeigt außerdem, dass $A$ nicht normal ist:

AA^T=\begin{pmatrix}10&6\\6&4\end{pmatrix}