Spektralsatz für reelle normale Matrizen

Für $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. Es gibt eine Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^n$, die aus Eigenvektoren von $A$ besteht.
2. Die Matrix ist normal und ihr charakteristisches Polynom $\chi_A(t)$ zerfällt über $\mathbb{R}$ vollständig in Linearfaktoren.
3. Es gibt eine reelle orthogonale Matrix $Q$ und eine reelle Diagonalmatrix $\Lambda$ mit $A=Q\Lambda Q^T$.
4. Die Matrix ist symmetrisch: $A^T=A$.

Die Äquivalenz erklärt die zusätzliche Bedingung gegenüber komplexen normalen Matrizen. Eine komplexe normale Matrix besitzt stets eine unitäre Eigenbasis, doch diese Basis und ihre Eigenwerte müssen nicht reell sein.

Der Beweis verbindet die vier Aussagen direkt. Eine orthonormale Eigenbasis liefert die Spalten von $Q$. Aus $A=Q\Lambda Q^T$ mit reeller Diagonalmatrix $\Lambda$ folgt $A^T=A$. Umgekehrt diagonalisiert der reelle Spektralsatz jede reelle symmetrische Matrix orthogonal. Hat schließlich eine reelle normale Matrix nur reelle Eigenwerte, so erfüllt ihre komplexe unitäre Diagonalisierung $A^H=A$. Da $A$ reell ist, bedeutet dies genau $A^T=A$.

Normale Matrix ohne reelle Eigenbasis

Betrachten Sie die Drehung um einen Winkel $\alpha$, der kein ganzzahliges Vielfaches von $\pi$ ist:

Die Matrix ist orthogonal. Daher gilt $R_\alpha^TR_\alpha=I=R_\alpha R_\alpha^T$ und sie ist normal. Ihr charakteristisches Polynom lautet

Seine Diskriminante ist

denn unter der genannten Voraussetzung gilt $\sin\alpha\neq0$. Das Polynom hat daher keine reelle Nullstelle und $R_\alpha$ besitzt keine reelle Eigenvektorbasis. Über $\mathbb{C}$ sind die Eigenwerte $e^{i\alpha}$ und $e^{-i\alpha}$.

Diagonalisierbare Matrix, die nicht normal ist

Betrachten wir nun

Die beiden verschiedenen Eigenwerte $1$ und $2$ garantieren bereits die gewöhnliche Diagonalisierbarkeit. Die zugehörigen Eigenräume sind

Mit diesen Eigenvektoren als Spalten erhält man eine explizite Diagonalisierung:

Die beiden Eigenvektoren sind jedoch nicht orthogonal, denn

und direktes Multiplizieren bestätigt, dass $A$ nicht normal ist:

Dieses Beispiel trennt die beiden Begriffe. Bei einer gewöhnlichen Diagonalisierung darf die Eigenvektormatrix $S$ beliebig invertierbar sein. Eine orthogonale Diagonalisierung verlangt dagegen eine orthonormale Eigenbasis und damit eine reelle symmetrische Matrix.