Zusammengesetzte Funktionen
Bei einer zusammengesetzten Funktion wird das Ergebnis einer Funktion direkt zur Eingabe einer anderen. Ist die und die , dann lautet die Zusammensetzung .
Nakafa
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Die Kettenregel zeigt, wie sich diese Verschachtelung ableiten lässt, ohne den Einfluss der inneren Funktion zu übergehen.
Die innere Funktion bleibt in der äußeren Funktion enthalten, sodass die Ableitung der zusammengesetzten Funktion zwei Raten multipliziert, die nacheinander wirken.
Ist , wobei an der Stelle und an der Stelle differenzierbar sind, dann ist die Ableitung das Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion an der inneren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion.
Setzen wir , so wird daraus . Für die Ableitung gilt:
Das ist die Kettenregel: Wir arbeiten von außen nach innen, lassen jeden inneren Ausdruck stehen, bis er an der Reihe ist, und multiplizieren die Ableitungen.
Die folgenden Beispiele zeigen den Ablauf bei einer und bei mehreren Verschachtelungen. Benenne in jedem Beispiel zuerst die äußere und die innere Funktion, denn die Kettenregel multipliziert die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung.
Bestimme die erste Ableitung von .
Lösung:
Zuerst müssen wir diese Funktion in zwei Teile zerlegen: eine äußere Funktion und eine innere Funktion.
Als Nächstes bestimmen wir die Ableitung jeder Funktion:
Jetzt können wir sie mithilfe der Kettenregel kombinieren:
Zum Schluss setzen wir wieder ein und vereinfachen den Ausdruck:
Die Winkel der trigonometrischen Funktionen werden im Bogenmaß angegeben. Deshalb gelten die Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus ohne einen zusätzlichen Umrechnungsfaktor.
Bestimme die erste Ableitung von .
Lösung:
Wir können diese Funktion als umschreiben. In diesem Fall müssen wir die Kettenregel mehr als einmal anwenden, da es drei Funktionsebenen gibt.
Dann differenzieren wir jede Schicht:
Multipliziere die drei Ableitungen gemäß der Kettenregel:
Setze nun schrittweise wieder die Ausdrücke für und ein:
Jede Aufgabe schachtelt eine Funktion in eine andere, sodass die Kettenregel nötig ist. Bestimme zuerst die äußere und die innere Funktion.
Aufgabe 1. Bei ist die dritte Potenz die äußere und der quadratische Ausdruck die innere Funktion. Lass den quadratischen Ausdruck beim Ableiten der dritten Potenz stehen.
Schritt 1: Identifiziere die Funktionen
Schritt 2: Bestimme beide Ableitungen
Schritt 3: Mit der Kettenregel kombinieren
Schritt 4: Setze den inneren Ausdruck wieder ein
Aufgabe 2. Bei liefern drei Funktionsebenen drei Ableitungsfaktoren. Schreibe die lineare Funktion, den Sinus und die dritte Potenz getrennt auf, damit der Faktor der linearen Funktion erhalten bleibt.
Schritt 1: Identifiziere die Funktionen
Schritt 2: Bestimme die drei Ableitungen
Schritt 3: Mit der Kettenregel kombinieren
Schritt 4: Rücksubstituieren und vereinfachen
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