Zusammengesetzte Funktionen verstehen
Bei einer zusammengesetzten Funktion wird das Ergebnis einer Funktion direkt zur Eingabe einer anderen. Ist die und die , dann lautet die Zusammensetzung .
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Bei einer zusammengesetzten Funktion wird das Ergebnis einer Funktion direkt zur Eingabe einer anderen. Ist die und die , dann lautet die Zusammensetzung .
Die Kettenregel zeigt, wie sich diese Verschachtelung ableiten lässt, ohne den Einfluss der inneren Funktion zu übergehen.
Bei einer zusammengesetzten Funktion leiten wir jede Schicht der Reihe nach ab und multiplizieren die entstehenden Ableitungen.
Ist , wobei an der Stelle und an der Stelle differenzierbar sind, dann ist die Ableitung das Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion an der inneren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion.
Setzen wir , so wird daraus . Für die Ableitung gilt:
Das ist die Kettenregel: Wir arbeiten von außen nach innen, lassen jeden inneren Ausdruck stehen, bis er an der Reihe ist, und multiplizieren die Ableitungen.
Die folgenden Beispiele zeigen den Ablauf bei einer und bei mehreren Verschachtelungen.
Bestimme die erste Ableitung von .
Lösung:
Zuerst müssen wir diese Funktion in zwei Teile zerlegen: eine äußere Funktion und eine innere Funktion.
Als Nächstes bestimmen wir die Ableitung jeder Funktion:
Jetzt können wir sie mithilfe der Kettenregel kombinieren:
Zum Schluss setzen wir wieder ein und vereinfachen den Ausdruck:
Bestimme die erste Ableitung von .
Lösung:
Wir können diese Funktion als umschreiben. In diesem Fall müssen wir die Kettenregel mehr als einmal anwenden, da es drei Funktionsebenen gibt.
Dann differenzieren wir jede Schicht:
Multipliziere die drei Ableitungen gemäß der Kettenregel:
Setze nun schrittweise wieder die Ausdrücke für und ein:
Lösung für
Schritt : Identifiziere die Funktionen
Schritt : Bestimme beide Ableitungen
Schritt : Mit der Kettenregel kombinieren
Schritt : Setze den inneren Ausdruck wieder ein
Lösung für
Die Funktion lässt sich als schreiben. Deshalb wird die Kettenregel über drei Schichten angewendet.
Schritt : Identifiziere die Funktionen
Schritt : Bestimme die drei Ableitungen
Schritt : Mit der Kettenregel kombinieren
Schritt : Rücksubstituieren und vereinfachen