Ableitung als Änderungsrate

Die Steigung an einem einzelnen Kurvenpunkt

Stell dir ein Fahrrad auf einer hügeligen Straße vor. Manche Abschnitte steigen steil an, andere sind fast eben. Die $Steigung$ ändert sich von Punkt zu Punkt. Bei einem gekrümmten Funktionsgraphen ist es ähnlich.

Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich. Bei einer gekrümmten Linie verändert sie sich dagegen fortlaufend. Die $Ableitung$ liefert die Steigung oder Änderungsrate an $einem bestimmten Punkt$ der Kurve.

Steigung einer Sekantenlinie

Wir beginnen mit einer $Sekante$ , also einer Geraden durch zwei verschiedene Punkte einer Kurve.

Die Kurve stelle $y = f(x)$ dar. Wir wählen darauf zwei verschiedene Punkte, $P(x, f(x))$ und $Q(x+\Delta x, f(x+\Delta x))$ . Dabei ist $\Delta x$ (sprich „Delta x“) die waagerechte Änderung von $P$ nach $Q$ . Daher gilt $\Delta x \ne 0$ .

Die Steigung der Sekante durch $P$ und $Q$ lautet:

\begin{aligned} m_{\text{Sekante}} &= \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ &= \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \end{aligned}

Diese Steigung ist die $mittlere Änderungsrate$ von $f(x)$ zwischen $P$ und $Q$ .

Sekante und Tangente

Die Sekante verbindet zwei verschiedene Punkte der Kurve

y=x^2

. Die Steigung der Tangente stimmt dagegen in

P

mit der lokalen Steigung der Kurve überein. In diesem Beispiel trifft sie die Parabel in

P

. Allgemein kann eine Tangente dieselbe Kurve an anderer Stelle erneut schneiden.

Von der Sekante zur Tangente

Stell dir vor, du wählst $Q$ auf der Parabel immer näher an $P$ . Der waagerechte Abstand $\Delta x$ nähert sich dann null. Wir können die Folgen dieser Punktwahl berechnen, ohne die Parabelgleichung zu ändern.

Für $\Delta x \to 0$ (sprich „Delta x nähert sich Null“) nähern sich die Sekanten der $Tangente$ in $P$ . Die Tangente beschreibt dort die lokale Richtung der Kurve. Wie oft sie die Kurve insgesamt schneidet, ist unerheblich. Entscheidend ist ihr Verhalten in der Umgebung von $P$ .

Die Tangentensteigung ist die $momentane Änderungsrate$ der Kurve in $P$ . Wir bestimmen sie mit einem $Grenzwert$ :

\begin{aligned} m_{\text{Tangente}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \end{aligned}

Für die dargestellte Parabel halten wir $P=(1,1)$ fest und schreiben $h=\Delta x$ . Der zweite Punkt lautet $Q=(1+h,(1+h)^2)$ . Solange $h\ne0$ gilt, lässt sich die Sekantensteigung vereinfachen:

\begin{aligned}\frac{(1+h)^2-1}{h}&=\frac{2h+h^2}{h}\\&=2+h\end{aligned}

Der Faktor $h$ darf gekürzt werden, weil die beiden Punkte noch verschieden sind. Die Tabelle vergleicht Steigungen, wenn $Q$ links oder rechts von $P$ liegt.

$h$	Sekantensteigung $2+h$
$-0{,}5$	$1{,}5$
$-0{,}1$	$1{,}9$
$0{,}1$	$2{,}1$
$0{,}5$	$2{,}5$
$1$	$3$

Wenn der $waagerechte Abstand von beiden Seiten gegen null$ geht, nähert sich die Steigung dem Wert $2$ . Die Tangentensteigung in $P$ beträgt also $2$ . Wir bilden den Grenzwert erst nach dem Kürzen und teilen daher nie durch null.

Definition der Ableitung

$Der Grenzwert der Sekantensteigungen$ für $\Delta x$ gegen Null heißt $Ableitung$ .

Die Ableitung einer Funktion $f(x)$ , bezeichnet als $f'(x)$ (sprich „f prim x“), ist definiert als:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Das Bestimmen einer Ableitung heißt $Differenzieren$ .

Die Ableitung $f'(x)$ ist eine neue Funktion. Für jeden Wert $x$ , an dem der Grenzwert existiert, gibt sie die $momentane Änderungsrate$ von $f(x)$ und damit die dortige Tangentensteigung an. Die Differentialrechnung verwendet die Ableitungsfunktion, um beide Größen zu untersuchen.