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Liest man einen Graphen von links nach rechts, kann seine Kurve steigen, fallen oder kurz waagerecht verlaufen. Dieses Verhalten heißt Monotonie und lässt sich mithilfe der ersten Ableitung untersuchen.
Das Vorzeichen der Steigung liefert ein anschauliches Bild:
Eine positive Steigung bedeutet, dass die Funktion steigt.
Eine negative Steigung bedeutet, dass die Funktion fällt.
Eine Steigung von null kennzeichnet einen stationären Punkt, der jedoch nicht unbedingt ein Maximum oder Minimum sein muss.
Geometrisch ist die Tangentensteigung. Ihr Vorzeichen beschreibt daher die lokale Richtung der Kurve.
Die Beziehung zwischen der ersten Ableitung und dem Verhalten einer Funktion lässt sich durch die folgenden Eigenschaften zusammenfassen:
Angenommen, die Funktion ist über ein Intervall stetig und differenzierbar.
Wenn für alle in diesem Intervall gilt, dann ist eine steigende Funktion.
Wenn für alle in diesem Intervall gilt, dann ist eine fallende Funktion.
Wenn an einem bestimmten Punkt ist, dann hat dort einen stationären Punkt.
Stationäre Punkte teilen den Definitionsbereich in prüfbare Intervalle. Sie sind mögliche Stellen für einen Monotoniewechsel. Tatsächlich wechselt die Funktion aber nur dann von steigend zu fallend oder umgekehrt, wenn sich das Vorzeichen der Ableitung ändert.
Das folgende Beispiel zeigt die vollständige Vorzeichenanalyse.
Bestimme die Intervalle, in denen die Funktion steigt und fällt.
Lösung:
Schritt : Erste Ableitung bestimmen
Zunächst differenzieren wir die Funktion .
Schritt : Stationäre Punkte bestimmen
Stationäre Punkte treten auf, wenn .
Daraus erhalten wir die stationären Punkte bei und .
Schritt : Zahlengerade erstellen und Intervalle testen
Wir platzieren die stationären Punkte auf einer Zahlengeraden. Diese Punkte teilen die Linie in drei Intervalle. Wir nehmen einen Testpunkt aus jedem Intervall, um das Vorzeichen von (positiv oder negativ) zu finden.
Intervall :
Für gilt . Die Ableitung ist positiv, also steigt die Funktion.
Intervall :
Für gilt . Die Ableitung ist negativ, also fällt die Funktion.
Intervall :
Für gilt . Die Ableitung ist positiv, also steigt die Funktion.
Schritt : Intervalle zusammenfassen
Die Tests ergeben:
Die Funktion nimmt in den Intervallen oder zu.
Die Funktion nimmt im Intervall ab.
Bestimme die Intervalle, in denen steigt und fällt.
Wenn im gesamten Intervall steigt, bestimme alle möglichen Werte von .
Bestimme die Intervalle, in denen steigt und fällt.
Lösung:
Die erste Ableitung von ist .
Stationäre Punkte werden gefunden, wenn .
Die stationären Punkte liegen bei und .
Durch Testen der Intervalle auf einer Zahlengeraden:
Für ist positiv (steigend).
Für ist negativ, also fällt die Funktion.
Die Funktion nimmt also auf oder zu und im Intervall ab.
Lösung:
Damit diese Funktion im gesamten Intervall steigt, genügt an jeder Stelle des Intervalls.
Lösung:
Verwende die Doppelwinkelidentität .
Also .
Für ist positiv (steigend).
Im Intervall ist der Faktor immer positiv. Daher darf für auch der zweite Faktor nicht negativ sein.
Diese Ungleichung muss für jedes in gelten. Da linear ist, wird ihr kleinster Grenzwert an einem Rand des Intervalls erreicht.
Für gilt . Daher ist im gesamten Intervall positiv.
Für fällt . Da nicht zum Intervall gehört, besitzt dort kein Minimum. Sein Infimum ist jedoch der Grenzwert für . Dieser Grenzwert muss nicht negativ sein.
Wir prüfen die Randbedingung bei :
Zusammen ergeben beide Fälle: Die Funktion steigt im gesamten Intervall genau für .
Seine erste Ableitung ist:
Die Funktion steigt, wenn gilt, also bei beziehungsweise . Dies ist in den Quadranten und der Fall.
Dieses Intervall gilt für jede ganze Zahl .
Die Funktion nimmt ab, wenn , also . Dies geschieht in den Quadranten und .
Dieses Intervall gilt für jede ganze Zahl .
