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Setzt du die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein, entsteht eine quadratische Gleichung. Zwei reelle Lösungen bedeuten zwei Schnittpunkte, eine doppelte Lösung bedeutet Tangentialberührung und keine reelle Lösung bedeutet, dass die Gerade den Kreis verfehlt. Dieselbe Prüfung kann modellieren, ob eine geplante Straße ein kreisförmiges Schutzgebiet durchquert oder ob eine Flugbahn eine festgelegte Zone berührt.
Die Grafik zeigt alle drei Fälle gleichzeitig:
Die oberste Gerade besitzt keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis. Die mittlere berührt ihn in genau einem Punkt. Die untere verläuft durch den Kreis und hat deshalb zwei Schnittpunkte.
Eine Sekante verläuft durch das Kreisinnere und trifft den Kreisrand in zwei verschiedenen Punkten.
Eine Tangente berührt den Kreisrand in genau einem Punkt.
Eine Passante liegt vollständig außerhalb des Kreises und besitzt keinen Schnittpunkt mit ihm.
Um die Anzahl der Schnittpunkte rechnerisch zu bestimmen, setzen wir die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein. Dadurch entsteht eine quadratische Gleichung. Das Vorzeichen ihrer Diskriminante bestimmt, ob Gerade und Kreis zwei, einen oder keinen reellen Schnittpunkt besitzen.
Gegeben seien eine Gerade und ein Kreis .
Im ersten Schritt wird jedes der Kreisgleichung durch ersetzt:
Nach der Substitution entsteht eine quadratische Gleichung der Form . Die Großbuchstaben unterscheiden diese Koeffizienten von der Konstanten in der Geradengleichung:
Anschließend berechnen wir die Diskriminante aus den Koeffizienten , und :
Für eine senkrechte Gerade gilt die Form nicht. Setze direkt in die Kreisgleichung ein und löse die quadratische Gleichung in . Beispielsweise ergibt im Kreis die Gleichung , also . Die Gerade berührt den Kreis in .
Jede reelle Lösung für gehört zu einem Schnittpunkt. Deshalb ergeben sich drei Fälle:
| Diskriminante | Reelle Lösungen | Lage der Geraden |
|---|---|---|
| Zwei verschiedene | Zwei Schnittpunkte | |
| Eine doppelte | Tangente an einem Punkt | |
| Keine | Kein Schnittpunkt |
Betrachten wir die Gerade und den Kreis .
Wir setzen in die Kreisgleichung ein:
Aus lesen wir , und ab.
Damit folgt für die Diskriminante:
Weil gilt, schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten.
Um die Schnittpunkte zu bestimmen, verwenden wir die Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Danach setzen wir jede waagerechte Koordinate in die Geradengleichung ein:
Kombiniere jeweils die oberen beziehungsweise die unteren Vorzeichen. Jedes Koordinatenpaar erfüllt sowohl die Geraden- als auch die Kreisgleichung.
Das Vorzeichen der Diskriminante bestimmt die Zahl der Schnittpunkte. Ihre Größe allein ist jedoch kein geometrischer Abstand der Geraden von der Tangente, denn sie hängt auch von der Skalierung der Gleichung ab.
Beim Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung, , sind beide Mittelpunktkoordinaten null. Beim Einsetzen von entstehen daher keine horizontalen oder vertikalen Verschiebungsterme.
Wir setzen die Gerade in die Kreisgleichung ein:
Die Diskriminante für diesen Fall ist:
Nach der Vereinfachung:
Das Vorzeichen bestimmt die Anzahl der Schnittpunkte: positiv für zwei, null für einen und negativ für keinen.
In jeder Aufgabe sind eine Gerade und ein Kreis gegeben, und du entscheidest, ob sie sich in zwei Punkten schneiden, berühren oder nicht treffen. Setze die Gerade in die Kreisgleichung ein und lies die Diskriminante ab.
Bestimme die Lage der Geraden zum Kreis .
Untersuche die Lage der Geraden zum Kreis .
Gegeben sind die Gerade und der Kreis . Welche Lagebeziehung haben sie?
Bestimme so, dass die Gerade den Kreis berührt.
Lösung 1:
Setze in ein:
Diskriminante:
Weil gilt, schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten.
Lösung 2:
Setze in ein:
Diskriminante:
Weil gilt, schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten.
Lösung 3:
Stelle die Gerade nach um. Dadurch entsteht .
Setze diese Form in ein:
Diskriminante:
Weil gilt, schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten.
Lösung 4:
Damit die Gerade den Kreis tangiert, muss die Diskriminante gleich Null sein.
Setze in ein:
Diskriminante:
Für :
Damit sind und die beiden möglichen Werte.
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