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Zeichnen wir einen Kreis und eine Gerade in dieselbe Ebene, sind genau drei Lagebeziehungen möglich.
Die Gerade kann den Kreis in zwei Punkten schneiden, ihn oder ihn . Ein Bleistift über einem Ring liefert ein einfaches Bild dafür: Er kann durch die Ringfläche verlaufen, nur den Rand berühren oder ganz außerhalb liegen.
Diese Lagebeziehung ist ein Grundproblem der analytischen Geometrie. Mit demselben Verfahren lässt sich etwa prüfen, ob eine geplante Straße ein kreisförmiges Schutzgebiet durchquert oder ob eine Flugbahn eine festgelegte Zone berührt.
Die Grafik zeigt alle drei Fälle gleichzeitig:
Die oberste Gerade besitzt keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis. Die mittlere berührt ihn in genau einem Punkt. Die untere verläuft durch den Kreis und hat deshalb zwei Schnittpunkte.
Eine Sekante verläuft durch das Kreisinnere und trifft den Kreisrand in zwei verschiedenen Punkten.
Eine Tangente berührt den Kreisrand in genau einem Punkt.
Eine Passante liegt vollständig außerhalb des Kreises und besitzt keinen Schnittpunkt mit ihm.
Um die Lage rechnerisch zu bestimmen, setzen wir die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein. Dadurch entsteht eine quadratische Gleichung. Ihre Diskriminante verrät, wie viele reelle Schnittpunkte existieren.
Gegeben seien eine Gerade und ein Kreis .
Im ersten Schritt wird jedes der Kreisgleichung durch ersetzt:
Nach der Substitution entsteht eine quadratische Gleichung der Form . Die Großbuchstaben unterscheiden diese Koeffizienten von der Konstanten in der Geradengleichung:
Anschließend berechnen wir die Diskriminante. Ihr Vorzeichen bestimmt die Anzahl der reellen Lösungen:
Jede reelle Lösung für gehört zu einem Schnittpunkt. Deshalb ergeben sich drei Fälle:
Bei positiver Diskriminante () hat die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen. Die Gerade ist eine Sekante und schneidet den Kreis in zwei Punkten.
Bei Diskriminante null () gibt es eine doppelte reelle Lösung. Die Gerade ist eine Tangente und berührt den Kreis in einem Punkt.
Bei negativer Diskriminante () gibt es keine reelle Lösung. Die Gerade ist eine Passante und schneidet den Kreis nicht.
Betrachten wir die Gerade und den Kreis .
Wir setzen in die Kreisgleichung ein:
Aus lesen wir , und ab.
Damit folgt für die Diskriminante:
Weil gilt, schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten.
Das Vorzeichen der Diskriminante bestimmt die Zahl der Schnittpunkte. Ihre Größe allein ist jedoch kein geometrischer Abstand der Geraden von der Tangente, denn sie hängt auch von der Skalierung der Gleichung ab.
Für einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung, , und eine Gerade wird die Rechnung kürzer.
Wir setzen die Gerade in die Kreisgleichung ein:
Die Diskriminante für diesen Fall ist:
Nach der Vereinfachung:
Das Vorzeichen wird genauso gedeutet wie zuvor: positiv für zwei, null für einen und negativ für keinen Schnittpunkt.
Bestimme die Lage der Geraden zum Kreis .
Untersuche die Lage der Geraden zum Kreis .
Gegeben sind die Gerade und der Kreis . Welche Lagebeziehung haben sie?
Bestimme so, dass die Gerade den Kreis berührt.
Lösung:
Setze in ein:
Diskriminante:
Weil gilt, schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten.
Lösung:
Setze in ein:
Lösung:
Stelle die Gerade nach um. Dadurch entsteht .
Lösung:
Damit die Gerade den Kreis tangiert, muss die Diskriminante gleich Null sein.
Setze in ein:
Diskriminante:
Weil gilt, schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten.
Setze diese Form in ein:
Diskriminante:
Weil gilt, schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten.
Diskriminante:
Für :
Damit sind und die beiden möglichen Werte.
