Parabel

Parabelformen bei Würfen und Spiegeln

Wenn wir den Luftwiderstand vernachlässigen und die Erdbeschleunigung als konstant annehmen, verläuft die Flugbahn eines Basketballs parabelförmig. Wasser, das einen Springbrunnen schräg verlässt, folgt demselben Modell, solange diese Annahmen passen.

Ihre Form ist auch technisch nützlich. Parabolantennen bündeln Signale, Scheinwerferreflektoren lenken Licht und parabolische Bögen erscheinen in Brücken und moderner Architektur.

Besonders wichtig ist die Reflexionseigenschaft. Strahlen, die parallel zur Symmetrieachse eintreffen, werden durch einen parabolischen Spiegel zum Brennpunkt reflektiert. Umgekehrt verlassen Strahlen aus dem Brennpunkt den Spiegel parallel zur Achse. Deshalb eignen sich Parabeln zum Sammeln oder gezielten Aussenden von Energie.

Parabel aus einem festen Punkt und einer festen Geraden

Eine Parabel besteht aus Punkten mit gleichen Abständen zu Brennpunkt und Leitlinie. Der Brennpunkt ist ein fester Punkt außerhalb der Leitlinie, die Leitlinie eine feste Gerade. Den Abstand zu einer Geraden misst du immer senkrecht zu dieser Geraden.

Im ersten Graphen nehmen wir $P(2\mid0{,}8)$, den Brennpunkt $F(0\mid1{,}25)$ und den Lotfußpunkt $Q(2\mid-1{,}25)$. Die beiden Strecken zeigen gleiche Abstände.

Für die allgemeine Gleichung legen wir den Brennpunkt auf $F(p,0)$ und die Leitlinie auf $x=-p$, mit $p \ne 0$. Gleiche Abstände für $P(x,y)$ bedeuten:

Quadriere die beiden nicht negativen Abstände. Wenn du gleiche Terme kürzt, bleibt die horizontale Standardform.

Vertausche die Rollen der Koordinaten. Dann liegt der Brennpunkt bei $(0,p)$ und die Leitlinie lautet $y=-p$. Daraus ergibt sich die vertikale Form $x^2=4y$.

Standardparabelgleichungen

Zunächst betrachten wir eine Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung $O(0,0)$. Je nach Öffnungsrichtung entstehen vier Standardformen.

Die beiden achsenparallelen Standardgleichungen verwenden einen vorzeichenbehafteten Parameter $p$:

Für $p > 0$ öffnet sich die Parabel nach rechts oder oben, für $p < 0$ nach links oder unten. Der Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt ist $|p|$. Je größer $|p|$ ist, desto weiter öffnet sich die Parabel.

Für die nach rechts geöffnete Parabel $y^2 = 4px$ gilt beispielsweise:

Parabel mit beliebigem Scheitelpunkt

Eine Parabel muss nicht im Ursprung liegen. Befindet sich ihr Scheitelpunkt bei $(h, k)$, verwenden wir die verschobene Standardform.

Für einen Scheitelpunkt $(h, k)$ lauten die beiden Grundformen:

Für die vertikale Parabel $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ gilt:

Für die horizontale Parabel $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ gilt:

Das Vorzeichen von $p$ bestimmt die Öffnungsrichtung. In der horizontalen Form bedeutet ein positives Vorzeichen rechts und ein negatives links. In der vertikalen Form bedeutet ein positives Vorzeichen oben und ein negatives unten.

Bestimmung von Parabelelementen

Aus einer Parabelgleichung lassen sich Scheitelpunkt, Brennpunkt, Leitlinie und Öffnungsrichtung systematisch bestimmen. Zuerst erkennen wir die Ausrichtung der Parabel:

• Ist $x$ quadriert, ist die Parabel vertikal und öffnet sich nach oben oder unten.
• Ist $y$ quadriert, ist die Parabel horizontal und öffnet sich nach links oder rechts.

Im folgenden Beispiel wird die Gleichung durch quadratische Ergänzung in die Standardform gebracht. Aus der Standardform bestimmen wir Scheitelpunkt, Brennpunkt, Leitlinie und Symmetrieachse.

Beispiel: Gegeben sei eine Parabel mit der Gleichung $x^2 - 4x - 8y + 12 = 0$

Durch quadratische Ergänzung bringen wir die Gleichung in Standardform:

Aus $(x-2)^2 = 8(y-1)$ lesen wir ab:

• $h = 2$, $k = 1$
• $4p = 8$, also $p = 2$

Damit stehen die Parabelelemente fest:

Aus dieser Analyse erhalten wir:

Die Parabel öffnet sich nach oben, denn $p=2>0$.

Parabelgleichungen Scheitelpunkte und Brennpunkte bestimmen

Zwei Aufgaben verbinden nun die Standardform mit Scheitelpunkt und Brennpunkt.

Aufgabe 1: Bestimme die Gleichung einer Parabel mit Scheitelpunkt $(1, -2)$ und Brennpunkt $(4, -2)$.

Lösung:

Da Scheitelpunkt und Fokus die gleiche $y$-Koordinate haben, ist diese Parabel horizontal.

Aus der Brennpunktbedingung folgt $h + p = 4$. Mit $h = 1$ erhalten wir:

Die Gleichung für eine horizontale Parabel lautet $(y-k)^2 = 4p(x-h)$:

Aufgabe 2: Bestimme für die Parabel $y^2 - 6y - 4x + 13 = 0$ die Koordinaten von Scheitelpunkt und Brennpunkt.

Lösung:

Wir ergänzen den Term in $y$ zu einem vollständigen Quadrat:

Aus $(y-3)^2 = 4(x-1)$ lesen wir ab:

Damit folgt: