Lage einer Geraden zu einem Kreis

Schnittpunkte von Gerade und Kreis zählen

Zeichnen wir einen Kreis und eine Gerade in dieselbe Ebene, sind genau drei Lagebeziehungen möglich.

Die Gerade kann den Kreis in zwei Punkten schneiden, ihn in genau einem Punkt berühren oder ihn vollständig verfehlen. Lege einen Bleistift über einen Ring. Je nach Lage verläuft er durch den Ring, berührt nur den Rand oder bleibt vollständig außerhalb.

Setzt du die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein, entsteht eine quadratische Gleichung. Zwei reelle Lösungen bedeuten zwei Schnittpunkte, eine doppelte Lösung bedeutet Tangentialberührung und keine reelle Lösung bedeutet, dass die Gerade den Kreis verfehlt. Dieselbe Prüfung kann modellieren, ob eine geplante Straße ein kreisförmiges Schutzgebiet durchquert oder ob eine Flugbahn eine festgelegte Zone berührt.

Die drei Lagebeziehungen

Die Grafik zeigt alle drei Fälle gleichzeitig:

Die oberste Gerade besitzt keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis. Die mittlere berührt ihn in genau einem Punkt. Die untere verläuft durch den Kreis und hat deshalb zwei Schnittpunkte.

1. Eine Sekante verläuft durch das Kreisinnere und trifft den Kreisrand in zwei verschiedenen Punkten.

2. Eine Tangente berührt den Kreisrand in genau einem Punkt.

3. Eine Passante liegt vollständig außerhalb des Kreises und besitzt keinen Schnittpunkt mit ihm.

Entscheidung mit der Diskriminante

Um die Anzahl der Schnittpunkte rechnerisch zu bestimmen, setzen wir die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein. Dadurch entsteht eine quadratische Gleichung. Das Vorzeichen ihrer Diskriminante bestimmt, ob Gerade und Kreis zwei, einen oder keinen reellen Schnittpunkt besitzen.

Gegeben seien eine Gerade $y = mx + c$ und ein Kreis $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$.

Im ersten Schritt wird jedes $y$ der Kreisgleichung durch $mx + c$ ersetzt:

Nach der Substitution entsteht eine quadratische Gleichung der Form $Ax^2 + Bx + C = 0$. Die Großbuchstaben unterscheiden diese Koeffizienten von der Konstanten $c$ in der Geradengleichung:

Anschließend berechnen wir die Diskriminante aus den Koeffizienten $A$, $B$ und $C$:

Für eine senkrechte Gerade gilt die Form $y=mx+c$ nicht. Setze $x=k$ direkt in die Kreisgleichung ein und löse die quadratische Gleichung in $y$. Beispielsweise ergibt $x=3$ im Kreis $x^2+y^2=9$ die Gleichung $9+y^2=9$, also $y=0$. Die Gerade berührt den Kreis in $(3,0)$.

Das Vorzeichen geometrisch deuten

Jede reelle Lösung für $x$ gehört zu einem Schnittpunkt. Deshalb ergeben sich drei Fälle:

Eine Sekante mit der Diskriminante erkennen

Betrachten wir die Gerade $y = 2x - 1$ und den Kreis $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$.

Wir setzen $y = 2x - 1$ in die Kreisgleichung ein:

Aus $5x^2 - 4x - 5 = 0$ lesen wir $a = 5$, $b = -4$ und $c = -5$ ab.

Damit folgt für die Diskriminante:

Weil $\Delta = 116 > 0$ gilt, schneidet die Gerade $y = 2x - 1$ den Kreis in zwei Punkten.

Um die Schnittpunkte zu bestimmen, verwenden wir die Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Danach setzen wir jede waagerechte Koordinate in die Geradengleichung ein:

Kombiniere jeweils die oberen beziehungsweise die unteren Vorzeichen. Jedes Koordinatenpaar erfüllt sowohl die Geraden- als auch die Kreisgleichung.

Das Vorzeichen der Diskriminante bestimmt die Zahl der Schnittpunkte. Ihre Größe allein ist jedoch kein geometrischer Abstand der Geraden von der Tangente, denn sie hängt auch von der Skalierung der Gleichung ab.

Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung

Beim Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung, $x^2 + y^2 = r^2$, sind beide Mittelpunktkoordinaten null. Beim Einsetzen von $y=mx+c$ entstehen daher keine horizontalen oder vertikalen Verschiebungsterme.

Wir setzen die Gerade in die Kreisgleichung ein:

Die Diskriminante für diesen Fall ist:

Nach der Vereinfachung:

Das Vorzeichen bestimmt die Anzahl der Schnittpunkte: positiv für zwei, null für einen und negativ für keinen.

Übungen mit vollständigen Lösungen

In jeder Aufgabe sind eine Gerade und ein Kreis gegeben, und du entscheidest, ob sie sich in zwei Punkten schneiden, berühren oder nicht treffen. Setze die Gerade in die Kreisgleichung ein und lies die Diskriminante ab.

1. Bestimme die Lage der Geraden $y = x + 3$ zum Kreis $x^2 + y^2 = 8$.

2. Untersuche die Lage der Geraden $y = -2x + 5$ zum Kreis $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0$.

3. Gegeben sind die Gerade $2x + y - 4 = 0$ und der Kreis $x^2 + y^2 = 5$. Welche Lagebeziehung haben sie?

4. Bestimme $k$ so, dass die Gerade $y = x + k$ den Kreis $x^2 + y^2 = 18$ berührt.

Lösungen

Lösung 1:

Setze $y = x + 3$ in $x^2 + y^2 = 8$ ein:

Diskriminante: $\Delta = 6^2 - 4(2)(1) = 36 - 8 = 28$

Weil $\Delta = 28 > 0$ gilt, schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten.

Lösung 2:

Setze $y = -2x + 5$ in $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0$ ein:

Diskriminante: $\Delta = (-34)^2 - 4(5)(54) = 1156 - 1080 = 76$

Weil $\Delta = 76 > 0$ gilt, schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten.

Lösung 3:

Stelle die Gerade $2x + y - 4 = 0$ nach $y$ um. Dadurch entsteht $y = -2x + 4$.

Setze diese Form in $x^2 + y^2 = 5$ ein:

Diskriminante: $\Delta = (-16)^2 - 4(5)(11) = 256 - 220 = 36$

Weil $\Delta = 36 > 0$ gilt, schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten.

Lösung 4:

Damit die Gerade den Kreis tangiert, muss die Diskriminante gleich Null sein.

Setze $y = x + k$ in $x^2 + y^2 = 18$ ein:

Diskriminante: $\Delta = (2k)^2 - 4(2)(k^2 - 18) = 4k^2 - 8k^2 + 144 = -4k^2 + 144$

Für $\Delta = 0$:

Damit sind $k = 6$ und $k = -6$ die beiden möglichen Werte.