Lage und Gleichung von Kreistangenten

Am Berührpunkt senkrecht zum Radius

Stell dir vor, du bewegst dich auf einer kreisförmigen Bahn. Deine $momentane Bewegungsrichtung$ verläuft entlang der Tangente am jeweiligen Punkt. Durch einen Punkt gehen viele Geraden, aber nur eine berührt den Kreis an dieser Stelle.

Mathematisch trifft eine Tangente den Kreis in genau einem Punkt, dem $Berührpunkt$ . Die Tangente steht immer $senkrecht$ $auf dem Radius zu diesem Punkt$ .

Diese senkrechte Beziehung wird in drei Fällen verwendet: bei einer Tangente in einem bekannten Punkt, bei Tangenten mit gegebener Steigung und bei den beiden Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kreises.

Tangente durch einen Punkt auf dem Kreis

Prüfe zuerst, ob der angegebene Berührpunkt wirklich auf dem Kreis liegt. Sein Radiusvektor wird dann zum Normalenvektor der Tangente.

Tangente durch einen Punkt auf dem Kreis

Der Radius zum bekannten Berührpunkt ist ein Normalenvektor der Tangente.

Für den Kreis $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ mit Mittelpunkt $C(a,b)$ und den Berührpunkt $T(x_1,y_1)$ gehen wir so vor.

$Schritt 1$ : Prüfe, ob $T$ auf dem Kreis liegt.

(x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2

$Schritt 2$ : Der Radiusvektor ist ein Normalenvektor der Tangente.

\overrightarrow{CT}=(x_1-a,\,y_1-b)

$Schritt 3$ : Setze diesen Normalenvektor in die Geradengleichung durch $T$ ein.

\begin{aligned} &(x_1-a)(x-x_1) +(y_1-b)(y-y_1) \\ &=0 \end{aligned}

Mit der Punktbedingung aus Schritt 1 erhalten wir die $Berührpunktform$ :

\begin{aligned} &(x - a)(x_1 - a) + (y - b)(y_1 - b) \\ &= r^2 \end{aligned}

Weil diese Herleitung mit einem Normalenvektor arbeitet, funktionieren auch vertikale und horizontale Tangenten ohne Sonderfall.

Tangente mit gegebener Steigung

Ist der Berührpunkt unbekannt, aber die Steigung gegeben, muss der Achsenabschnitt die Gerade genau einen Radius vom Mittelpunkt entfernt platzieren. Dieser Fall tritt etwa auf, wenn die Tangente zu einer anderen Geraden parallel sein soll.

Tangente mit gegebener Steigung

Eine Steigung bestimmt zwei parallele Tangenten auf beiden Seiten des Mittelpunkts.

Für den Kreis $x^2 + y^2 = r^2$ und die bekannte Steigung $m$ setzen wir die Geradengleichung $y = mx + c$ in die Kreisgleichung ein:

x^2 + (mx + c)^2 = r^2

Da die Gerade den Kreis tangiert, muss die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung Null sein:

\begin{aligned} \Delta &= (2mc)^2 - 4(1 + m^2)(c^2 - r^2) \\ &= 0 \end{aligned}

Für den Achsenabschnitt ergibt sich:

c = \pm r\sqrt{1 + m^2}

Für jede endliche Steigung $m$ besitzt der Kreis um den Ursprung damit $zwei parallele Tangenten$ :

y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}

Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kreises

Ein Punkt außerhalb des Kreises bestimmt genau $zwei Tangenten$ . Ihre beiden Berührpunkte liegen auf einer gemeinsamen Hilfsgeraden, der Polaren des äußeren Punkts.

Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kreises

Ein äußerer Punkt bestimmt zwei Berührpunkte und zwei Tangenten.

Der Punkt $P(x_0,y_0)$ liege außerhalb des Kreises $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ . Seine $Polare$ lautet:

\begin{aligned} &(x-a)(x_0-a) + (y-b)(y_0-b) \\ &= r^2 \end{aligned}

Für einen äußeren Punkt ist die Polare die $Berührsehne$ , also die Gerade durch beide Berührpunkte. Die Konstruktion lautet:

Stelle die Gleichung der Polaren auf.
Schneide sie mit dem Kreis, um beide Berührpunkte zu finden.
Konstruiere mit jedem Berührpunkt eine Tangente durch $P$ .

Die Polare ist nicht selbst eine der beiden Tangenten. Sie verbindet deren Berührpunkte.

Zwei Tangenten mit der Polargeraden bestimmen

Bestimme beide Tangenten von $B(2,6)$ an den Kreis $L \equiv (x+1)^2+(y-2)^2=9$ .

$Schritt 1$ : Stelle die Polare von $B(2,6)$ bezüglich des Kreises auf.

\begin{aligned} &(x-(-1))(2-(-1)) \\ &\quad{}+ (y-2)(6-2) = 9 \end{aligned}

$Schritt 2$ : $Schneide die Polare$ $3x+4y=14$ mit dem Kreis. Aus der Geradengleichung folgt $x=\frac{14-4y}{3}$ . Setze diesen Ausdruck in die Kreisgleichung ein.

(\frac{14-4y}{3} + 1)^2 + (y-2)^2 = 9

$Schritt 3$ : Löse die quadratische Gleichung für die beiden möglichen $y$ -Koordinaten.

(17-4y)^2+9(y-2)^2=81

$Schritt 4$ : Setze beide Werte in die Polare ein, um die Berührpunkte zu erhalten.

x_1=\frac{14-4\left(\frac{122}{25}\right)}{3}=-\frac{46}{25}

$Schritt 5$ : Setze jeden Berührpunkt in die $Berührpunktform$ des Kreises ein.

\begin{aligned} &-\frac{21}{25}(x+1)+\frac{72}{25}(y-2)=9 \\ &\Longrightarrow \\ &-7x+24y=130 \end{aligned}

Beide Geraden verlaufen durch $B(2,6)$ und berühren den Kreis genau einmal. Damit sind sie die gesuchten Tangenten.

Übungen

Prüfe, $welche Angaben die Tangenten bestimmen$ . Ein Punkt auf dem Kreis legt eine Tangente fest. Eine Steigung bestimmt zwei parallele Tangenten, ein äußerer Punkt zwei Tangenten durch diesen Punkt. Bei Bedarf bestimmst du die Steigung aus der Parallelität oder dem rechten Winkel.

Bestimme die Tangente an den Kreis $x^2 + y^2 = 25$ im Punkt $(3, 4)$ .
Finde die Tangenten an den Kreis $x^2 + y^2 = 16$ , die parallel zur Geraden $y = 2x + 5$ verlaufen.
Bestimme die Tangenten an den Kreis $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 8$ , die durch den Punkt $(4, 2)$ verlaufen.
Ein Kreis hat die Gleichung $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ . Bestimme die Tangenten, die senkrecht zur Geraden $x + 2y = 7$ stehen.

Ausführliche Lösungen

$Lösung 1$ :

Der Kreis $x^2 + y^2 = 25$ hat den Mittelpunkt $O(0,0)$ und den Radius $r=5$ . Der Berührpunkt ist $T(3,4)$ .

Setze diese Werte in die Berührpunktform $(x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2$ ein.

\begin{aligned} &(x-0)(3-0) + (y-0)(4-0) \\ &= 25 \end{aligned}

Daher lautet die Tangentengleichung $3x + 4y = 25$ .

$Lösung 2$ :

Eine Gerade parallel zu $y = 2x + 5$ hat die Steigung $m = 2$ .

Für den Kreis $x^2 + y^2 = 16$ mit $r=4$ verwenden wir:

y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}

y = 2x \pm 4\sqrt{1 + 4}

Daher gibt es zwei Tangenten: $y = 2x + 4\sqrt{5}$ und $y = 2x - 4\sqrt{5}$ .

$Lösung 3$ :

Kreis $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 8$ hat Mittelpunkt $(1,-2)$ und $r^2 = 8$ .

Die Polare des Punkts $(4,2)$ lautet:

\begin{aligned} &(x-1)(4-1) \\ &\quad{}+ (y-(-2))(2-(-2)) = 8 \end{aligned}

Verschiebe den Mittelpunkt mit $u=x-1$ und $v=y+2$ in den Ursprung. Kreis und Polare werden zu:

u^2+v^2=8,\qquad 3u+4v=8

Durch Rücksubstitution erhalten wir die beiden Berührpunkte:

T_1\left(\frac{49-8\sqrt{34}}{25},\frac{-18+6\sqrt{34}}{25}\right)

Die Steigungen von $(4,2)$ zu diesen Punkten sind $12-2\sqrt{34}$ und $12+2\sqrt{34}$ . Damit lauten die gesuchten Tangenten:

Berechne für jeden Berührpunkt die $Höhendifferenz geteilt durch die waagerechte Differenz$ zum äußeren Punkt $(4,2)$ :

m_1=\frac{y_{T_1}-2}{x_{T_1}-4}=\frac{-68+6\sqrt{34}}{-51-8\sqrt{34}}=12-2\sqrt{34}

y-2=(12-2\sqrt{34})(x-4)

$Lösung 4$ :

Wandle die Kreisgleichung in die Standardform um, indem du das Quadrat vervollständigst:

x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0

Mittelpunkt $(2,-3)$ , Radius $r = 4$ .

Die Gerade $x+2y=7$ lässt sich als $y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$ schreiben. Ihre Steigung ist daher $m_1=-\frac{1}{2}$ .

Eine dazu senkrechte Gerade hat die Steigung $m = 2$ .

Für den Kreis mit Mittelpunkt $(2,-3)$ gilt die Tangentengleichung mit Steigung $2$ :

y - (-3) = 2(x - 2) \pm 4\sqrt{1 + 4}

Die beiden Tangenten sind $y = 2x - 7 + 4\sqrt{5}$ und $y = 2x - 7 - 4\sqrt{5}$ .

Am Berührpunkt senkrecht zum Radius

Mathematisch trifft eine Tangente den Kreis in genau einem Punkt, dem $Berührpunkt$ . Die Tangente steht immer $senkrecht$ $auf dem Radius zu diesem Punkt$ .

Tangente durch einen Punkt auf dem Kreis

Prüfe zuerst, ob der angegebene Berührpunkt wirklich auf dem Kreis liegt. Sein Radiusvektor wird dann zum Normalenvektor der Tangente.

Tangente durch einen Punkt auf dem Kreis

Der Radius zum bekannten Berührpunkt ist ein Normalenvektor der Tangente.

Für den Kreis $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ mit Mittelpunkt $C(a,b)$ und den Berührpunkt $T(x_1,y_1)$ gehen wir so vor.

$Schritt 1$ : Prüfe, ob $T$ auf dem Kreis liegt.

(x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2

$Schritt 2$ : Der Radiusvektor ist ein Normalenvektor der Tangente.

\overrightarrow{CT}=(x_1-a,\,y_1-b)

$Schritt 3$ : Setze diesen Normalenvektor in die Geradengleichung durch $T$ ein.

\begin{aligned} &(x_1-a)(x-x_1) +(y_1-b)(y-y_1) \\ &=0 \end{aligned}

Mit der Punktbedingung aus Schritt 1 erhalten wir die $Berührpunktform$ :

\begin{aligned} &(x - a)(x_1 - a) + (y - b)(y_1 - b) \\ &= r^2 \end{aligned}

Weil diese Herleitung mit einem Normalenvektor arbeitet, funktionieren auch vertikale und horizontale Tangenten ohne Sonderfall.

Tangente mit gegebener Steigung

Eine Steigung bestimmt zwei parallele Tangenten auf beiden Seiten des Mittelpunkts.

Für den Kreis $x^2 + y^2 = r^2$ und die bekannte Steigung $m$ setzen wir die Geradengleichung $y = mx + c$ in die Kreisgleichung ein:

x^2 + (mx + c)^2 = r^2

Da die Gerade den Kreis tangiert, muss die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung Null sein:

\begin{aligned} \Delta &= (2mc)^2 - 4(1 + m^2)(c^2 - r^2) \\ &= 0 \end{aligned}

Für den Achsenabschnitt ergibt sich:

c = \pm r\sqrt{1 + m^2}

Für jede endliche Steigung $m$ besitzt der Kreis um den Ursprung damit $zwei parallele Tangenten$ :

y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}

Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kreises

Ein Punkt außerhalb des Kreises bestimmt genau $zwei Tangenten$ . Ihre beiden Berührpunkte liegen auf einer gemeinsamen Hilfsgeraden, der Polaren des äußeren Punkts.

Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kreises

Ein äußerer Punkt bestimmt zwei Berührpunkte und zwei Tangenten.

Der Punkt $P(x_0,y_0)$ liege außerhalb des Kreises $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ . Seine $Polare$ lautet:

\begin{aligned} &(x-a)(x_0-a) + (y-b)(y_0-b) \\ &= r^2 \end{aligned}

Für einen äußeren Punkt ist die Polare die $Berührsehne$ , also die Gerade durch beide Berührpunkte. Die Konstruktion lautet:

Stelle die Gleichung der Polaren auf.
Schneide sie mit dem Kreis, um beide Berührpunkte zu finden.
Konstruiere mit jedem Berührpunkt eine Tangente durch $P$ .

Die Polare ist nicht selbst eine der beiden Tangenten. Sie verbindet deren Berührpunkte.

Zwei Tangenten mit der Polargeraden bestimmen

Bestimme beide Tangenten von $B(2,6)$ an den Kreis $L \equiv (x+1)^2+(y-2)^2=9$ .

$Schritt 1$ : Stelle die Polare von $B(2,6)$ bezüglich des Kreises auf.

\begin{aligned} &(x-(-1))(2-(-1)) \\ &\quad{}+ (y-2)(6-2) = 9 \end{aligned}

$Schritt 2$ : $Schneide die Polare$ $3x+4y=14$ mit dem Kreis. Aus der Geradengleichung folgt $x=\frac{14-4y}{3}$ . Setze diesen Ausdruck in die Kreisgleichung ein.

(\frac{14-4y}{3} + 1)^2 + (y-2)^2 = 9

$Schritt 3$ : Löse die quadratische Gleichung für die beiden möglichen $y$ -Koordinaten.

(17-4y)^2+9(y-2)^2=81

$Schritt 4$ : Setze beide Werte in die Polare ein, um die Berührpunkte zu erhalten.

x_1=\frac{14-4\left(\frac{122}{25}\right)}{3}=-\frac{46}{25}

$Schritt 5$ : Setze jeden Berührpunkt in die $Berührpunktform$ des Kreises ein.

\begin{aligned} &-\frac{21}{25}(x+1)+\frac{72}{25}(y-2)=9 \\ &\Longrightarrow \\ &-7x+24y=130 \end{aligned}

Beide Geraden verlaufen durch $B(2,6)$ und berühren den Kreis genau einmal. Damit sind sie die gesuchten Tangenten.

Übungen

Bestimme die Tangente an den Kreis $x^2 + y^2 = 25$ im Punkt $(3, 4)$ .
Finde die Tangenten an den Kreis $x^2 + y^2 = 16$ , die parallel zur Geraden $y = 2x + 5$ verlaufen.
Bestimme die Tangenten an den Kreis $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 8$ , die durch den Punkt $(4, 2)$ verlaufen.
Ein Kreis hat die Gleichung $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ . Bestimme die Tangenten, die senkrecht zur Geraden $x + 2y = 7$ stehen.

Ausführliche Lösungen

$Lösung 1$ :

Der Kreis $x^2 + y^2 = 25$ hat den Mittelpunkt $O(0,0)$ und den Radius $r=5$ . Der Berührpunkt ist $T(3,4)$ .

Setze diese Werte in die Berührpunktform $(x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2$ ein.

\begin{aligned} &(x-0)(3-0) + (y-0)(4-0) \\ &= 25 \end{aligned}

Daher lautet die Tangentengleichung $3x + 4y = 25$ .

$Lösung 2$ :

Eine Gerade parallel zu $y = 2x + 5$ hat die Steigung $m = 2$ .

Für den Kreis $x^2 + y^2 = 16$ mit $r=4$ verwenden wir:

y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}

y = 2x \pm 4\sqrt{1 + 4}

Daher gibt es zwei Tangenten: $y = 2x + 4\sqrt{5}$ und $y = 2x - 4\sqrt{5}$ .

$Lösung 3$ :

Kreis $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 8$ hat Mittelpunkt $(1,-2)$ und $r^2 = 8$ .

Die Polare des Punkts $(4,2)$ lautet:

\begin{aligned} &(x-1)(4-1) \\ &\quad{}+ (y-(-2))(2-(-2)) = 8 \end{aligned}

Verschiebe den Mittelpunkt mit $u=x-1$ und $v=y+2$ in den Ursprung. Kreis und Polare werden zu:

u^2+v^2=8,\qquad 3u+4v=8

Durch Rücksubstitution erhalten wir die beiden Berührpunkte:

T_1\left(\frac{49-8\sqrt{34}}{25},\frac{-18+6\sqrt{34}}{25}\right)

Die Steigungen von $(4,2)$ zu diesen Punkten sind $12-2\sqrt{34}$ und $12+2\sqrt{34}$ . Damit lauten die gesuchten Tangenten:

Berechne für jeden Berührpunkt die $Höhendifferenz geteilt durch die waagerechte Differenz$ zum äußeren Punkt $(4,2)$ :

m_1=\frac{y_{T_1}-2}{x_{T_1}-4}=\frac{-68+6\sqrt{34}}{-51-8\sqrt{34}}=12-2\sqrt{34}

y-2=(12-2\sqrt{34})(x-4)

$Lösung 4$ :

Wandle die Kreisgleichung in die Standardform um, indem du das Quadrat vervollständigst:

x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0

Mittelpunkt $(2,-3)$ , Radius $r = 4$ .

Die Gerade $x+2y=7$ lässt sich als $y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$ schreiben. Ihre Steigung ist daher $m_1=-\frac{1}{2}$ .

Eine dazu senkrechte Gerade hat die Steigung $m = 2$ .

Für den Kreis mit Mittelpunkt $(2,-3)$ gilt die Tangentengleichung mit Steigung $2$ :

y - (-3) = 2(x - 2) \pm 4\sqrt{1 + 4}

Die beiden Tangenten sind $y = 2x - 7 + 4\sqrt{5}$ und $y = 2x - 7 - 4\sqrt{5}$ .